Taylor公式求極限時“階”的分析

呂志宇

【摘要】Taylor公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式，其充分運用“無限接近”這一數學理論，將一些復雜的數學函數轉化為簡易的多項式函數，是數學函數中最基本的理論.本文闡述Taylor公式，分析并歸納Taylor公式求極限的具體方法，以期為初學者提供理論參考.

【關鍵詞】Taylor公式;極限;“階”

引 言

在高等數學中，極限通常是討論數學函數的基礎方式，是解析數學函數的基本形式，還是數學微積分中重點學習的內容.在學習數學函數時，學生掌握求取極限的基本方法尤為重要.應用泰勒公式求取函數極限是高等數學學習的重點.Taylor公式作為表達數學函數的一種基本形態，其將“無限接近”作為解析數學函數的基本思想理論，讓繁雜函數以多項式數學函數形態呈現出來，為數學函數解析提供多重解析方法.在運用Taylor公式過程中，未定式極限計算是其重點與難點，更是專升本考試中的一個重要考點.為進一步了解Taylor公式在求極限時的具體應用，本文主要就Taylor公式求極限時“階”的具體計算進行分析.

一、Taylor公式求極限時“階”的具體分析

1.Taylor公式求極限時的具體應用

1.1利用Taylor公式展開求極限

在求極限過程中我們可以將其中一項應用泰勒公式展開，將原復雜函數轉化為多項式函數形式來求極限.

例 求limx→∞x-x2ln1+1x.

解 根據泰勒公式展開，ln1+1x=1x-12x2+13x3-1[]4x4+…，

其中x指數最高為2，

因此原極限=limx→∞x-x2×1x-12x2+o1x2=limx→∞x-x+12-o1x2[]1[]x2=12.

1.2求滿足Taylor公式的θ的極限

例 如果f′（x）在D上存在連續導函數，f ″（x）≠0，那么對于x0+h∈D有 f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0+θh）（0<θ<1），求limh→0 θ.

解 已知f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0+θh），

那么應用泰勒公式可得出

f（x0+h）

=f（x0）+hf′（x0）+12f ″（x0+θ1h）h2，

兩式相減可得到

hf′（x0+θh）-hf′（x0）

=12f ″（x0+θ1h）h2，

limh→0f′（x0+θh）-f′（x0）h

=limh→012f ″（x0+θ1h）=12f ″（x0），

又因為 limh→0f′（x0+θh）-f′（x0）h=limh→0f′（x0+θh）-f′（x0）θh×θ=f ″（x0）limh→0 θ=1[]2f ″（x0），

所以limh→0 θ=12.

同理，如果已知

f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0）+12f ″（x0+θh）h2，

那么應用泰勒公式可得

f（x0+h）=f（x0）+hf′（x0）+12f ″（x0）h2+16f （x0+θ1h）h3，

兩式相減可以得到 f ″（x0+θh）h2-f ″（x0）h2=13f （x0+θ1h）h3，

即f ″（x0+θh）-f ″（x0）θh×θ=13f （x0+θ1h），limh→0f ″（x0+θh）-f ″（x0）θh×θ=limh→013f （x0+θ1h），

最終得到f （x0）limh→0 θ=13f （x0），

所以limh→0 θ=13.

二、Taylor公式求極限時的方法

1.實例分析

在應用泰勒公式求極限時，一般情況下需要解決三個問題：一是函數具體需要在哪個點上進行泰勒展開，即需要明確展開泰勒公式所需要的函數點;二是泰勒公式需要展開到第幾次冪結束，一般情況下，泰勒公式通常是展開至展開系數無法相互抵消為止;三是在應用泰勒公式展開過程中，具體需要應用哪種帶有余項形式的泰勒公式.通常情況下，在計算未定式極限時，使用已知的麥克勞林公式較為常見，且并不需要客觀評估余項，因此只需選擇皮亞諾型余項.

例 求極限limx→∞x-x2ln1+1x.

具體分析 由題目可知從極限變化過程為x→∞，歸屬于∞-0×∞類型，這與洛必達法則定理不相符.其中x和x2皆是x的冪的形式，因此可以將ln1+1x展開成泰勒公式，由于x→∞時，1x→0，因此只需使用ln（1+u）在點u=0處的泰勒公式展開式，同時令u=1x便可.

然而

x2ln1+1x

=x21x-12x2+13x3+o1x3，

將泰勒公式展開至三次冪是因為

x-x2ln1+1x

=x-x21x-12x2+13x3+o1x3=12+o1x

的系數無法相互抵消，因此

limx→∞x-x2ln1+1x

=limx→∞x-x21x-12x2+13x3+o1x3=limx→∞12+o1x=12.

在應用泰勒公式過程中，如果一般形式為f（x）xk或者xkf（x），那么f（x）展開至x的k次方，遵循上下同階原則;如果一般形式為f（x）-g（x），那么將f（x），g（x）分別展開至其系數不相等的最低次冪為止.

2.錯解分析

在計算極限過程中，應用泰勒公式能夠快速解出答案，十分適用.但是在應用泰勒公式時，學生必須要掌握精準的計算技巧.學生在實際計算過程中極易計算錯誤，并且很難發現錯誤之處，這給學生掌握用泰勒公式求極限造成一定難度.再舉一例.

例 用泰勒公式求極限limx→0ex（x-2）+x+2sin 3x.

錯誤解答 原式=limx→01+x+x22（x-2）+x+2x3=limx→012x3x3=12.

具體分析 以上解答表面看上去十分正確，實則存在多處錯誤.如在展開時沒有寫余項，此處乃初學者常犯錯誤之一.其實，按照正確計算方式將展開

至二階ex=1+x+x22+o（x2），

ex（x-2）+x+2=1+x+x22+o（x2）（x-2）+x+2=x32+o（x2）=o（x2），（x→0）

此刻再代入原式中問題便凸顯出來了，實際上，

limx→0ex（x-2）+x+2sin 3x=limx→01+x+x22+o（x2）（x-2）+x+2x3=limx→012x3+o（x2）x3≠12.

討論：泰勒公式求極限時具體展開至幾階才算合適？

將ex泰勒公式展開至一階，ex=1+x+o（x），那么

ex（x-2）+x+2=1+x+o（x）（x-2）+x+2=x-2+x2-2x+o（x）+x+2=x2+o（x）=o（x），（x→0）

進而

limx→0ex（x-2）+x+2sin 3x[ZK（]=limx→0（1+x+o（x））（x-2）+x+2x3=limx→0o（x）x3，[ZK）]

不存在正常極限.

將ex泰勒公式展開至三階

ex=1+x+12！x2+13！x3+o（x3），

則ex（x-2）+x+2=1+x+12！x2+13！x3+o（x3）（x-2）+x+2=16x3+o（x3），（x→0）（1）將ex泰勒公式展開至nn≥4階，那么

ex=1+x+12！x2+13！x3+14！x4+…+1n！xn+o（xn），

ex（x-2）+x+2=1+x+12！x2+13！x3+14！x4+…+1n！xn+o（xn）（x-2）+x+2=12x3-26x3+13！x4-24！x4+14！x5+…+o（xn+1）=16x3+o（x3），（x→0）（2）

因此，由（1）（2）綜合可得

limx→0ex（x-2）+x+2sin 3x=limx→016x3+o（x3）x3=16+limx→0o（x3）x3=16.

綜上所得，應用泰勒公式求00型的limx→0f（x）-g（x）xa形式的極限，具體有以下幾點結論：一是如果將分子展開至小于a階時，那么得不到正確極限;二是如果將分子展開至a階，那么可以得到正確極限，而且計算快速方便，較為節約時間;三是如果將分子展開至大于a階，那么可以得到正確極限，但是比較浪費時間，精力.

3.題型分類探討

類型1

limx→0f（x）-g（x）xa=limx→0cxa+oxaxa=c.（1.1）

例 使用泰勒公式求極限：

limx→0exsin x-xx+1xsin x·tan x.

解 原式=limx→01+x+x22+o（x2）x-16x3+o（x3）-xx+1x3=limx→0x-16x3+x2+12x3+o（x3）-x-x2x3=13.

類型2

limx→0xaf（x）-g（x）=limx→0xadxa+oxa=limx→01d+oxaxa=1d.（1.2）

例2 使用泰勒公式求極限：

limx→0x4ln1+sin 2x-632-cos x-1.

解

原式=limx→0x4x2-56x4+o（x4）-616x2-124x4+o（x4）=limx→0x4-712x4+o（x4）=-127.

公式（1.1），（1.2）的積為類型3：

limx→0f（x）-g（x）u（x）-v（x）=limx→0cxa+oxadxa+oxa=limx→0c+oxaxad+oxaxa=cd.

4.結論

根據以上分析討論可得以下幾點結論：一是對于單側極限x→0+，x→0-，以上分析討論完全有效;二是當存在x→+∞，x→-∞，x→∞情況時，可以將變量進行替換，如t=1x，將其轉化為x→0+，x→0-，x→0;三是當出現極限為0和無窮情況時，仍然可以使用泰勒展開式求極限，分別對應（1.1）中c=0和（1.2）中d=0的情況.

例 使用泰勒公式求極限：

limx→0cos x-e-x22x2.

解 由于cos x-e-x22=1-x22！+o（x2）-1-x22+o（x2）=o（x2），

同時根據公式（1.1）可得知

limx→0cos x-e-x22x2=limx→0o（x2）x2=0.

注：應用洛必達法則可以驗證此結論，實際上有

limx→0cos x-e-x22x2=limx→0-sin x+xe-x222x=limx→0-cos x+e-x22-x2e-x222=0.

根據公式（1.2）可得知

limx→0x2cos x-e-x22=limx→0x2o（x2）=∞.

結 語綜上所述，泰勒公式是一種將復雜函數轉化為多項式函數的公式，在求取函數極限時發揮著至關重要的作用.在應用泰勒公式求極限過程中，泰勒公式應用條件較為苛刻，限制性較大，函數必須是n階可連續函數，且求取的函數值與函數階數息息相關，階數越小，最終結果誤差便會越大.因此，在應用泰勒公式求極限時，要注意分析題意，了解題目特點與函數形式，準確把握泰勒公式基本規律，熟練掌握應用泰勒公式求取極限時的方法與技巧.

【參考文獻】

[1]陳叻，趙向青，吳濤.Taylor公式求極限時“階”的分析[J].高等數學研究，2019（05）：16-18.

[2]黃輝.巧用等價無窮小與泰勒公式求極限[J].江西電力職業技術學院學報，2019（04）：50-51，54.

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