基于一道向量問題的解題思考

陳揚帆

【摘要】向量所具備的“幾何”與“代數(shù)”屬性讓向量問題更值得研究.向量問題一直是這幾年浙江高考的熱門問題，其中對“向量的模”的考查更為豐富，本文以此為切入點，從數(shù)與形兩個角度解析向量問題.

【關(guān)鍵詞】向量;模;數(shù)形結(jié)合

近幾年向量問題仍是高考的重要考查內(nèi)容，不少試題呈現(xiàn)出高立意、寬角度、多視點的特點.由于向量同時具備著“代數(shù)”和“幾何”的兩重性，因此學(xué)生對向量問題往往難以把控和掌握.筆者將通過一道向量問題，談?wù)剮追N平面向量問題的解題策略.

例1 設(shè)向量a，b滿足|a+b|=2|a-b|，|a|=3，則b的最大值是，最小值是.

策略1：小題小做，取特殊位置——a與b共線.

（1）當(dāng)a與b同向時，若|a|≥|b|，則|a|+|b|=2（|a|-|b|），即|a|=3|b|=3|b|=1;

若|a|<|b|，則|a|+|b|=2（|b|-|a|），即|b|=3|a||b|=9.

（2）當(dāng)a與b反向時，若|a|≥|b|，則|a|-|b|=2（|a|+|b|），即|a|=-3|b|=3不存在;

若|a|<|b|，則|b|-|a|=2（|b|+|a|），即|b|=-3|a|不存在.

∴|b|∈[1，9].故|b|的最大值是9，最小值是1.

分析：這種解法對于小題而言顯得“性價比”極高.學(xué)生從平時的題海訓(xùn)練中可以發(fā)現(xiàn)：向量問題的最值往往在特殊位置取到，如共線、垂直等.學(xué)生如果抓住這點，那么很多題目都可以迅速抓到“要害”，快速并且準(zhǔn)確地求解.當(dāng)然，特殊位置法有風(fēng)險，需要進一步驗證和證明，但不失為考試解題的一個方向.

策略2：代數(shù)想法：向量模的問題——平方策略.

（a+b）2=4（a-b）23|a|2+3|b|2-10|a|·|b|cos θ=0

27+3|b|2-30|b|cos θ=0

cos θ=27+3|b|230|b|=9+|b|210|b|∈[-1，1]，

∴|b|∈[1，9].故|b|的最大值是9，最小值是1.

分析：這是本題的常規(guī)想法，模的問題可以利用平方轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的問題，化簡得到關(guān)于b與cos θ的關(guān)系，再借助三角函數(shù)的有界性，得到b的范圍.

策略3：巧用圖形，用幾何解釋.

令OA=a，OB=b，如圖1，

|OD|=2|AB||OE|=2|AE|.

想法3.1：已知三角形邊長之間的關(guān)系，求其中一邊的范圍——余弦定理.

設(shè)∠OEB=θ，|AE|=m，則|OE|=2m，在△OEB與△OEA中，

cos θ=m2+4m2-|b|24m2，cos（π-θ）=m2+4m2-324m2，得到|b|2=10m2-9，

因為2m+m≥3，2m-m≤3，所以1≤m≤3，

所以|b|2∈[1，81]，所以|b|∈[1，9].故|b|的最大值為9，最小值為1.

想法3.2：建立平面直角坐標(biāo)系，回歸坐標(biāo)運算.

以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖2，A（3，0），設(shè)B（x，y），則D（x+3，y）.

想法3.2.1： 由|OD|=2|AB|，得（x+3）2+y2=4[（x-3）2+y2]，即（x-5）2+y2=16，

即B點的軌跡為以（5，0）為圓心，4為半徑的圓（如圖2），∴|b|∈[1，9].故|b|的最大值為9，最小值為1.

想法3.2.2：由|OE|=2|AE|，且|OA|=3，可知E點的軌跡為以（4，0）為圓心，2為半徑的圓，即E：（x-4）2+y2=4（如圖2），

因為E是A，B的中點，故設(shè)B（x，y），則Ex+32，y2，代入（x-4）2+y2=4，

故B：（x-5）2+y2=16，∴|b|∈[1，9].故|b|的最大值為9，最小值為1.

分析：幾何特征是向量的重要特征，用好向量的幾何意義往往能使問題劍走偏鋒，迎刃而解.策略3的兩個想法均基于幾何角度，將向量的模轉(zhuǎn)化為平行四邊形的邊長.切入點一旦找到，接下來的想法就源源不斷了.這里筆者給了兩個方向，一是根據(jù)平行四邊形與三角形邊長之間的關(guān)系，利用余弦定理及函數(shù)思想，得到b的范圍;二是將問題坐標(biāo)化，坐標(biāo)化之后，由|OE|=2|AE|，可以看出E點的軌跡為以（4，0）為圓心，半徑為2的圓，借助E點的軌跡方程求出B點的軌跡，再求b的范圍，也可以直接由|OD|=2|AB|設(shè)B點坐標(biāo)得到B點的軌跡.

策略4：換元調(diào)整.

令x=a+b，y=a-ba=x+y2，b=x-y2，則|x|=2|y|，|x+y|=6，求x-y2的范圍.

想法4.1：三角不等式.

|y|=|x|-|y|≤|x+y|=6≤|x|+|y|=3|y|，即2≤|y|≤6;

∴2≤|y|=|x|-|y|≤|x-y|≤|x|+|y|=3|y|≤18，

∴x-y2∈[1，9]，即|b|∈[1，9].故|b|的最大值為9，最小值為1.

想法4.2：再次換元——三角換元.

設(shè)x=（2acos θ，2asin θ），y=（acos α，asin α），

則x+y=（2acos θ+acos α，2asin θ+asin α），

∴（2acos θ+acos α）2+（2asin θ+asin α）2=36，化簡得5a2+4a2cos（θ-α）=36;

∴cos（θ-α）=36-5a24a2∈[-1，1]，∴a2∈[4，36]，

∵x-y=（2acos θ-acos α，2asin θ-asin α），∴|x-y|2=5a2-4a2cos（θ-α）=10a2-36∈[4，324]，∴x-y2∈[1，9]，即|b|∈[1，9].故|b|的最大值為9，最小值為1.

分析：這種換元其實是一種仿射變換，通過這樣的變換，將已知條件簡單化，模與模的關(guān)系更加清晰，給這道題帶來了新的突破口.這里筆者提供了兩個思路，一是借助三角不等式，二是再借助三角換元.

我們可以發(fā)現(xiàn)，這道向量題與2017年浙江數(shù)學(xué)高考第15題有著異曲同工之妙，上述的諸多解題策略同樣適用于高考題，教師也可以順著這條思路再談?wù)剬Ω呖枷蛄款}的想法.

例2 （2017浙江高考15）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

策略1：三角換元：令b=（2cos θ，2sin θ），a=（1，0），

|a+b|+|a-b|=5+4cos θ+5-4cos θ∈[4，25]，故最小值是4，最大值是25.

策略2：令x=a+b，y=a-ba=x+y2，b=x-y2，已知|x+y|=2，|x-y|=4，求|x|+|y|的范圍.

想法2.1：平方，|x+y|2+|x-y|2=20，得到|x|2+|y|2=10，

由基本不等式得（|x|+|y|）2≤2（|x|2+|y|2）=20，∴|x|+|y|≤25，

由三角不等式得：|x|+|y|≥max{|x+y|，|x-y|}=4.故所求的最小值是4，最大值是25.

想法2.2：建系，坐標(biāo)化.此處略.

結(jié) 語其實在解題過程中，如果能抓準(zhǔn)一道題的切入點，就能找到解題的入口.而切入點正是由平時的例題、作業(yè)訓(xùn)練慢慢積累和錯誤中產(chǎn)生的.正如阿貝爾說，“精巧的論證常常不是一蹴而就的，而是人們長期切磋積累的結(jié)果，我也是慢慢學(xué)來的，而且還要繼續(xù)不斷地學(xué)習(xí)”.教師同樣也和學(xué)生一樣，需要在不斷積累中找尋更好的數(shù)學(xué)方法.

【參考文獻】

[1]陳志江.培育四種意識 突破向量解題[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（Z4）.