借助信息技術(shù)讓“隱形軌跡”有跡可循

王遠(yuǎn)帆

【摘要】動點(diǎn)問題是一類常見的綜合性問題，它能全面地考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力、空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.將動態(tài)幾何問題與最值問題相結(jié)合更是近幾年中考試題的亮點(diǎn)，教師在講解時(shí)若結(jié)合信息技術(shù)，將隱形軌跡可視化，可幫助學(xué)生建立“軌跡意識”，提升數(shù)學(xué)思維能力.

【關(guān)鍵詞】中考數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)能力;信息技術(shù)

動點(diǎn)問題探索性更強(qiáng)、綜合性更高，對提高學(xué)生的思維品質(zhì)和各種能力有更大的促進(jìn)作用.

GeoGebra的名稱是由幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）兩個(gè)英文單詞組合而成的，它是 2002 年由美國的 Markus Hohenwarter 教授針對學(xué)校數(shù)學(xué)教育所研發(fā)的一套免費(fèi)和跨平臺的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，包含了幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分等，一般的中學(xué)數(shù)學(xué)課程相關(guān)的圖形均能輕易畫出.

隨著信息化技術(shù)的發(fā)展，“智慧課堂”如雨后春筍般在很多學(xué)校得到推廣，而數(shù)學(xué)課堂也從傳統(tǒng)的教學(xué)模式慢慢轉(zhuǎn)變，GeoGebra繪圖的基本選項(xiàng)有點(diǎn)、線段、切線、中垂線、多邊形、半圓、圓錐曲線和函數(shù)等，提供了方便的動態(tài)演示，顯示和探索軌跡的生成過程，以“動態(tài)”為特色，展示代數(shù)、幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境，使原本抽象、枯燥的內(nèi)容變得具體、生動、形象.

本文從一道利用“隱性圓”求最值的題目出發(fā)，利用GeoGebra讓隱形的動點(diǎn)軌跡可視化，幫助學(xué)生建立“軌跡意識”，提升數(shù)學(xué)思維能力.

一、問題背景

如圖1，△ABC中，AC=3，BC=42，∠ACB=45°，AM∥BC，點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動，連BP交△APC的外接圓于D，求AD的最小值.

解答過程如下：

如圖2，作△BCD的外接圓⊙O，連接BO，CO，AD，AO，DO.

∵△ADO中，有AO-DO

∴當(dāng)A，D，O共線時(shí)，AD最短.

∵AM∥BC，

∴∠PBC=∠APB=∠ACD.

∵∠ACD+∠DCB=45°，

∴∠PBC+∠DCB=45°，

∴∠BDC=135°，

∴∠E=45°，∴∠BOC=90°.

在等腰直角三角形BOC中，∵BC=42，

∴BO=CO=4.

∵∠ACB=∠BCO=45°，

∴∠ACO=90°.

在Rt△ACO中，CO=4，AC=3，

∴AO= AC2+CO2=5.

∴ADmin=AO-DO=5-4=1.

講解過程中，有學(xué)生提出困惑：我怎樣知道點(diǎn)D是在經(jīng)過B，D，C三點(diǎn)的外接圓上？如果不知道點(diǎn)D是在過B，D，C三點(diǎn)的圓上，這題就沒辦法解下去了.

學(xué)生提出這樣的問題，說明學(xué)生的“軌跡意識”還沒有完善，這類復(fù)雜的動點(diǎn)問題對學(xué)生的幾何想象能力要求比較高.由于課堂畫圖的局限性，這類比較復(fù)雜的動點(diǎn)問題在傳統(tǒng)教學(xué)中只能靠教師口述與學(xué)生想象來完成，借助GeoGebra可讓學(xué)生感受點(diǎn)P在移動過程中對點(diǎn)D的影響，通過尋找點(diǎn)D的運(yùn)動規(guī)律，讓點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡直觀顯現(xiàn)在眼前.

二、優(yōu)化策略

對于此題目的講解，我們可以做以下調(diào)整：

第一步——感性認(rèn)知

初步認(rèn)識圖形的幾何結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其中的基本圖形，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，圖中哪些部分變化，哪些部分是不變的，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，A，P，D三點(diǎn)構(gòu)成的圓也隨之發(fā)生改變，帶動點(diǎn)D運(yùn)動，AD的長度也因此發(fā)生變化.

第二步——觀察數(shù)據(jù)

利用GeoGebra“測量線段”的功能，讓學(xué)生有一個(gè)初步認(rèn)知：線段AD的長度會發(fā)生變化.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，遠(yuǎn)離點(diǎn)A的過程中，AD的長度是由長變短，再由短變長的，可以發(fā)現(xiàn)，在移動到某個(gè)特殊的位置時(shí)，AD的長達(dá)到最小值.

第三步——發(fā)現(xiàn)軌跡

要找到使AD最短的特殊位置，必須先知道點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡，很明顯，點(diǎn)D不是在直線上運(yùn)動的，利用“追蹤”功能對點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡進(jìn)行跟蹤，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D 的運(yùn)動軌跡是過點(diǎn)B，D，C的圓上的一段弧，因此問題轉(zhuǎn)化為在圓弧上尋找一點(diǎn)，使AD最小.

第四步——問題轉(zhuǎn)化

找到D的運(yùn)動軌跡后，如何利用軌跡尋求AD的最小值？因?yàn)樵邳c(diǎn)P的運(yùn)動過程中，OD的長度不變，圓心O的位置不變，因此AO的長度不變，所以可以借助三角形ADO的三邊關(guān)系A(chǔ)O-DO

三、變式訓(xùn)練

1.如圖9，以AB為直徑的半⊙O，C為弧AB的中點(diǎn)，P為弧BC上任意一點(diǎn)，CD⊥CP交AP于點(diǎn)D，連接BD，若AB=6，求BD的最小值.

解題思路：發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D軌跡→構(gòu)造△BDO→當(dāng)B，D，O三點(diǎn)共線時(shí)，BD最短→求BO，DO的長.

2.（2019·廣州中考）如圖11，等邊三角形ABC中，AB=6，點(diǎn)D在BC上，BD=4，點(diǎn)E為邊AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），△CDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為△FDE.設(shè)△ACD的面積為S1，△ABF的面積為S2，記S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值;若不存在，請說明理由.

解題思路：要使S最大，則使S2最小→使△ABF中AB邊上的高M(jìn)F最短→發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F軌跡→當(dāng)D，F(xiàn)，M共線時(shí)，MF最短.

四、教學(xué)反思

初中數(shù)學(xué)中與“動”有關(guān)的問題一般都是教學(xué)中的難點(diǎn)，而這類問題對培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和各種能力都有很大的促進(jìn)作用.由于傳統(tǒng)教學(xué)手段的局限，培養(yǎng)學(xué)生“軌跡意識”成為課堂教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是一條直線時(shí)，問題還是比較好想象的，可是當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動是由另一個(gè)點(diǎn)帶動，并且運(yùn)動軌跡不是直線的時(shí)候，對于學(xué)生的思維能力與想象能力將是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)，對于此類“聯(lián)動點(diǎn)問題”，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)突出“軌跡思想”“軌跡意識”的培養(yǎng)與訓(xùn)練，以提升學(xué)生解決問題的能力.教師在教學(xué)中如果能讓學(xué)生看到點(diǎn)的運(yùn)動過程，那么對題目的理解會更加容易，對點(diǎn)的運(yùn)動過程會更清晰.借助信息技術(shù)可將在傳統(tǒng)教學(xué)中只能依靠想象的“隱形軌跡”可視化，讓“隱性”轉(zhuǎn)為“顯性”，發(fā)展學(xué)生的構(gòu)圖能力、想象能力，從而尋求此類問題的突破口.

【參考文獻(xiàn)】

[1]福州教育學(xué)院.優(yōu)秀教師教學(xué)改革的實(shí)踐與研究[M].北京：海洋出版社，2012.

[2]劉培杰.新編中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法全書[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008.

[3]賀福凱.過程引領(lǐng)方向 直觀主導(dǎo)思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（26）.

[4]劉護(hù)靈，羅曉斌.畫圖與分析能力并重：廣州市2019年數(shù)學(xué)中考壓軸題第24題的探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（6）.

[5]王少華.再探利用隱圓，破解最值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（3）.

[6]李玲玲.對于“定線+定角”類隱圓問題的思考[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2019（6）.