HPM視角下數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)的探索

孫慶峰

【摘要】數(shù)學(xué)分析是高校數(shù)學(xué)專業(yè)一門十分重要的必修課程.在HPM視角下，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)可提升課程的教學(xué)效果，有助于學(xué)生了解整個(gè)數(shù)學(xué)概貌.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，以“無窮大量”為例，從數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的角度對數(shù)學(xué)分析教學(xué)進(jìn)行了探討.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)史;HPM;數(shù)論;無窮大量;融合

【基金項(xiàng)目】 本文受到山東大學(xué)（威海）教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目的資助（項(xiàng)目編號Y2019059）

引 言

德國著名數(shù)學(xué)家David Hilbert說過，數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)體，它的生命力的一個(gè)必要條件是所有各部分不可分離的結(jié)合.但在傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多課程都是從抽象概念到理論體系，大部分學(xué)生四年大學(xué)讀下來，學(xué)到的只是一些似乎沒有什么聯(lián)系的數(shù)學(xué)片段，高等數(shù)學(xué)的概貌無法在學(xué)生心中呈現(xiàn)，這樣培養(yǎng)出來的學(xué)生將來很難找到數(shù)學(xué)的主干分支，進(jìn)而從事數(shù)學(xué)研究.鑒于以上困境，HPM（History and Pedagogy of Mathematics）應(yīng)運(yùn)而生.數(shù)學(xué)史可以提供整個(gè)數(shù)學(xué)概貌，不僅可以使某一數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容相互聯(lián)系起來，還可以使它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)的主干聯(lián)系起來，正如龐加萊（J.H.Poincaré）所說：“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀.”當(dāng)然，我們也不能滿堂灌，整節(jié)課都講數(shù)學(xué)史，將數(shù)學(xué)課講成歷史課，可以只介紹某一個(gè)有代表性的數(shù)學(xué)分支.本文主要圍繞以下兩個(gè)方面的問題進(jìn)行探討：一是將數(shù)論研究歷史融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)有何意義;二是如何將數(shù)論研究歷史融入數(shù)學(xué)分析教學(xué).

一、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育

HPM起源于1972 年第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會.在這次大會上，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組正式成立，標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育這個(gè)新的研究領(lǐng)域的誕生.如今，HPM也表示數(shù)學(xué)教學(xué)的一種視角.有學(xué)者指出，HPM 視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)發(fā)展史、學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知出發(fā)，注重?cái)?shù)學(xué)知識的歷史文化向度，不能簡單地重復(fù)歷史，也不能僅僅講述數(shù)學(xué)家的故事，切入點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念和定理的形成、發(fā)展的歷史背景及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生能夠體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，欣賞數(shù)學(xué)的美，享受數(shù)學(xué)的樂趣.張奠宙曾在《HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》一書的序言中寫道：我常將“為歷史而數(shù)學(xué)史”比喻成“和田玉礦床”的開采，而把“為教育而歷史”看成“玉石雕刻”的藝術(shù).和田玉籽料是玉器的源頭，當(dāng)然重要，但是玉石雕刻藝術(shù)同樣具有學(xué)術(shù)價(jià)值和藝術(shù)魅力.我想，HPM就是這樣的一門藝術(shù).

二、數(shù)論研究歷史融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)的意義

美國著名數(shù)學(xué)史家卡約里（Florian Cajori）說過：“數(shù)學(xué)的歷史是重要的，它是文明史的有價(jià)值的組成部分，人類進(jìn)步和科學(xué)思想是一致的.”他還在他的《數(shù)學(xué)史》（A History of Mathematics）一書的前言中指出，教師通過對學(xué)生介紹數(shù)學(xué)史知識，可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)是一門在不斷演進(jìn)并且有趣的學(xué)科.我國著名的數(shù)學(xué)教育家、華東師范大學(xué)教授張奠宙曾說過，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的載體，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，還能豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識.張俊忠在他的博士論文中也指出，將數(shù)學(xué)史融于初中數(shù)學(xué)教育可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)，形成正確的數(shù)學(xué)觀.對初中生尚且如此，對大學(xué)生的作用更加不容小覷.在德國漢堡大學(xué)舉行的第十三屆國際數(shù)學(xué)教育大會中的第25個(gè)研究專題強(qiáng)調(diào)，要認(rèn)識數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂和教學(xué)中的作用.

數(shù)論是核心數(shù)學(xué)中歷史最為悠久、影響最為深遠(yuǎn)的分支之一.數(shù)論研究不僅激勵(lì)著純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展，還一直促進(jìn)著應(yīng)用數(shù)學(xué)的擴(kuò)展和提升，其相關(guān)理論成果在量子力學(xué)、計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論、信息安全等領(lǐng)域都起到了重要的作用.數(shù)論是數(shù)學(xué)中最美的數(shù)學(xué)分支之一，它的很多猜想或者定理都有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，就是只要具備初中甚至小學(xué)知識就能看懂，但其證明卻需要當(dāng)前最深刻最前沿的數(shù)學(xué)理論.比如，著名的哥德巴赫猜想“每個(gè)大于等于4的偶數(shù)都可以表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和”;再如費(fèi)馬大定理“當(dāng)整數(shù)n大于2時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解”.鑒于這些特點(diǎn)，讓學(xué)生了解數(shù)論發(fā)展歷程可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)審美素養(yǎng).素?cái)?shù)分布問題是數(shù)論中最重要的問題之一，同時(shí)素?cái)?shù)又是所有學(xué)生都知道的數(shù)學(xué)對象，相比其他抽象的數(shù)學(xué)概念更加平易近人.將素?cái)?shù)分布問題的研究歷史融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)，能夠讓學(xué)生體會到微積分理論對促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展所起到的重要作用.

所謂教學(xué)相長，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)對教師而言也有助于數(shù)學(xué)素養(yǎng)質(zhì)的提升和教學(xué)水平質(zhì)的提高.楊渭清在其發(fā)表的文章中指出，數(shù)學(xué)史是教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的精神源泉.教師更加了解數(shù)學(xué)史，可以提升其對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，改進(jìn)教學(xué)方法，改變傳統(tǒng)的先介紹抽象的數(shù)學(xué)概念，再介紹理論體系的教學(xué)方法，而以活躍課堂氣氛為主，以學(xué)生為中心，讓學(xué)生更容易接受新概念和新理論.

三、數(shù)論研究歷史融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)的途徑

在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，在講解微積分的應(yīng)用時(shí)，舉例多來自物理方面，但由于現(xiàn)在很多學(xué)生物理知識薄弱，對一些物理概念比較陌生，所以如果能舉一些淺顯易懂的例子，效果會更好.汪曉勤將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式劃分為五種，即“點(diǎn)綴式”“附加式”“復(fù)制式”“順應(yīng)式”“重構(gòu)式”.“點(diǎn)綴式”是指在教學(xué)中提供插圖，如數(shù)學(xué)家畫像、古代數(shù)學(xué)著作的書影及能夠反映數(shù)學(xué)主題的繪畫、攝影作品等，這種方式以圖輔文，圖文相配，具有裝飾、美化的作用.“附加式”是指在教學(xué)中介紹數(shù)學(xué)史文字閱讀資料，包括數(shù)學(xué)家的生平，數(shù)學(xué)概念、符號、思想的起源，歷史上的數(shù)學(xué)問題、思想方法等，這種教學(xué)方式可以使教學(xué)更加有趣、生動(dòng)，但過于淺顯，不能挖掘出知識的內(nèi)涵.“復(fù)制式”是指在教學(xué)過程中直接采用歷史的數(shù)學(xué)問題、問題解法、定理證法等，這種教學(xué)方法能夠提供數(shù)學(xué)問題，再現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).“順應(yīng)式”是指在教學(xué)過程中采用改編的歷史數(shù)學(xué)問題或根據(jù)歷史材料而編制的數(shù)學(xué)問題，或源于數(shù)學(xué)史但經(jīng)過簡化的數(shù)學(xué)問題.這種教學(xué)方式能夠增加學(xué)生探究問題的機(jī)會，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.“重構(gòu)式”是指在教學(xué)中借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展的歷史，采用發(fā)生法進(jìn)行教學(xué)的方式，這種教學(xué)方式可以使學(xué)生再創(chuàng)造式的學(xué)習(xí)新知識，但重構(gòu)難度大，缺少直觀性，易使課堂枯燥無趣.現(xiàn)在廣泛認(rèn)可的方式是將兩種以上教學(xué)方式融合起來，比如“附加式+重構(gòu)式”.下面以無窮大量教學(xué)片段及分析為例，探討數(shù)論研究歷史融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)的途徑.

（1）教學(xué)片段1：由最熟悉的素?cái)?shù)的分布問題引入

師：素?cái)?shù)有多少個(gè)？

生（全體）：無窮個(gè).

師：怎樣證明素?cái)?shù)有無窮個(gè)？

生1：反證法.

生2：Euclid方法.

師：很好，很多同學(xué)都知道素?cái)?shù)有無窮個(gè)的證法.但歷史上，有很多數(shù)學(xué)家想進(jìn)一步證明特殊形式的整數(shù)是素?cái)?shù).比如，費(fèi)馬在1654年寫給數(shù)學(xué)家帕斯卡的信中告訴帕斯卡，自己新發(fā)現(xiàn)一個(gè)“定理”——形如22n+1（n為非負(fù)整數(shù)）的正整數(shù)都是素?cái)?shù).即221+1為5，是素?cái)?shù);222+1為17，是素?cái)?shù);223+1為257，是素?cái)?shù);224+1為65537，是素?cái)?shù);如此以至無窮.不過他承認(rèn)，上述“定理”的證明很難，他還沒有完全找到.對于費(fèi)馬的發(fā)現(xiàn)，帕斯卡簡直是敬佩備至.同學(xué)們覺得費(fèi)馬的證明對嗎？

生：不對！

師：為什么不對呢？

生：……

師：因?yàn)橘M(fèi)馬的這個(gè)結(jié)論是由不完全歸納得到的結(jié)論，而不完全歸納得到的結(jié)論不具有說服力.事實(shí)上，一個(gè)世紀(jì)之后，數(shù)學(xué)家歐拉證明了當(dāng)n=5時(shí)，費(fèi)馬所說的數(shù)是合數(shù)，從而證明費(fèi)馬所謂的“定理”是不成立的.所以，對數(shù)學(xué)結(jié)論的證明都要求是嚴(yán)格的.

（2）教學(xué)片段2：用數(shù)學(xué)語言表達(dá)

師：設(shè)π（x）表示不超過x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，素?cái)?shù)有無窮多個(gè)等價(jià)于什么？

生3：limx→+∞π（x）=+∞.

師：我們就把π（x）稱為當(dāng)x→+∞時(shí)的正無窮大量.再比如ln x是當(dāng)x→+∞時(shí)的正無窮大量，xα（α>0），ex，xx都是當(dāng)x→+∞時(shí)的正無窮大量.類似地，還可以定義x→x0，x+0，x-0，∞，-∞等情況的無窮大量、正無窮大量和負(fù)無窮大量.大家能不能寫出這些情況的定義呢？

生4：若limx→x0f（x）=∞（或+∞，-∞），則稱當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負(fù)無窮大量）.

師：你能不能舉個(gè)例子說明一下？

生4：比如x-1是x→0時(shí)的無窮大量，ln x是x→0時(shí)的負(fù)無窮大量，-ln x是x→0時(shí)的正無窮大量.

師：很好！有哪名同學(xué)能說一下當(dāng)x→x0+（x-0）時(shí)，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負(fù)無窮大量）的定義呢？

生5：若limx→x0+（x-0）f（x）=∞（或+∞，-∞），則稱當(dāng)x→x0+（x-0）時(shí)，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負(fù)無窮大量）.

師：對的，請坐.比如x-1是x→0+時(shí)的正無窮大量，x-1是x→0-時(shí)的負(fù)無窮大量.還有哪名同學(xué)能說一下當(dāng)x→∞（-∞）時(shí)，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負(fù)無窮大量）的定義？

生6：若limx→∞（-∞）f（x）=∞（或+∞，-∞），則稱當(dāng)x→∞（-∞）時(shí)，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負(fù)無窮大量）.

師：非常好！相信大家都理解了無窮大量.同學(xué)們一定要注意，說哪個(gè)函數(shù)是無窮大量，必須點(diǎn)明是在哪個(gè)極限的無窮大量，比如x-1是x→0+時(shí)的正無窮大量，但不是x→1時(shí)的無窮大量.

（3）教學(xué)片段3：由素?cái)?shù)分布問題研究歷史引入無窮大量的比較

師：德國數(shù)學(xué)家高斯和法國數(shù)學(xué)家勒讓德猜想：limx→+∞π（x）[]x/ln x=1意思是x無限增大時(shí)，π（x）和x/ln x趨于無窮的速度一樣.這個(gè)猜想由阿達(dá)馬和德·拉·瓦萊布桑在1896年按照黎曼的思路證明.

師：也就是說素?cái)?shù)趨于無窮的速度和整數(shù)趨于無窮的速度不一樣，整數(shù)趨于無窮的速度和x趨于無窮的速度是一樣的.整數(shù)趨于無窮的速度快，還是素?cái)?shù)趨于無窮的速度快呢？

生（全體）：整數(shù).

師：我們稱當(dāng)x→+∞時(shí)，π（x）和x/ln x是等階無窮大量，x關(guān)于x/ln x是高階無窮大量，x/ln x關(guān)于x是低階無窮大量.

4.反思總結(jié)

馬赫說過：“沒有任何科學(xué)教育可以不重視科學(xué)的歷史與哲學(xué).”數(shù)學(xué)史中包含著豐富的教學(xué)素材和數(shù)學(xué)思想，更富含歷代數(shù)學(xué)家的探索精神和愛國主義情操.在教學(xué)的道路上，教師要不斷探索好的教學(xué)方式，將這些數(shù)學(xué)思想和精神傳承下去，創(chuàng)造新時(shí)代數(shù)學(xué)的未來.

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