談在數學教學中對學生合理運算能力的培養

何瑞卿 張金鋒

摘要：當前高中生的運算能力已經成為影響其成績的重要因素，培養學生的合理化運算能力勢在必行。本文針對當前高中生數學運算所面臨的問題，從教材上的一道習題出發，分析并探討了培養學生合理運算能力的方法。

關鍵詞：數學教學；合理運算能力；學生

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）07-0086

2017版的《數學課程標準》明確將數學運算作為六大核心素養之一考查。教育部考試中心研究員任子朝先生在《高考能力考查與內容改革創新研究》一文中就指出：“運算量的大小以40%的考生在120分鐘內能完成全卷的解答為標準。”在各級各類考試中，學生的運算錯誤而失分的現象極其普遍，但學生往往將之歸因為“粗心”“失誤”，并不認為運算出錯是其運算能力水平低下，思想上不夠重視引起的。

一、當前高中數學運算面臨的問題

1.當前初中數學課程弱化了運算能力要求，刪減掉了十字相乘法、立方和、立方差等乘法公式，弱化了因式分解、代數的恒等變形、二次根式的化簡、分式的運算，造成初高中銜接不上。而在整個高中階段，這些內容又是頻繁出現的數學運算。

2.學生在運算過程中不能合理地選擇運算方法、合理地運用運算法則，不能根據問題特征形成合適的運算思路，只顧機械地套用運算公式。

二、運算合理性的研究

2017版普通《數學課程標準》指出數學運算素養是指會根據法則、公式及其適用范圍，進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題分析運算條件、探究運算方向、選擇合理的運算公式，在實施運算過程中遇到障礙而調整運算程序，解決問題。這其中運算的合理性是運算素養的核心，一般一個較復雜的運算，往往是由多個運算組合而成的。如何合理地確定運算目標，設計運算程序、選擇運算途徑，并將各部分有機地聯系在一起，這是運算合理性的主要標志。接下來就從一道課本題說起。

案例：高一數學必修二《直線與圓的位置關系》這節課，數學教師都認為能把這堂課講好，但是當堂練習時，想不到學生做得參差不齊。這道題是數學課本上的一道題，題目是這樣的：“判斷直線4x？3y = 50與圓x2+ y2= 100的位置關系。如果有公共點，求出公共點的坐標。”能做對的學生很少，教師十分驚訝。后來，和同行們以這道題為出發點進行了探討，并得出一些感悟。

1.試題解讀

解答這道題時，學生已學過了圓的方程，直線方程，兩直線的位置關系，點到直線的距離公式，這都是做這道題所要用的知識。經過分析，解答這道題的關鍵有兩點：（1）確定圓和直線的位置關系；（2）解出圓與直線的公共點。

要突破第一點共有兩種解法：①將圓和直線的方程進行聯立，解方程組；②算出直線到圓心之間的距離d，通過d與圓的半徑r的大小關系，從而判斷出圓與直線的位置關系。要突破第二點的常規作法就是解方程組，所以，學生能想到解方程組的做法，不但能突破第一點而且能突破第二點。但學生的現狀是，很多學生的方程組解錯或算到中途進行不下去，原因是方程組聯立后，整個方程看起來較為復雜，并且計算量大，極易解錯。

2.詳細做法

法二：圖形法。先算出直線到圓心的距離，從而確定線與圓的位置關系是相切的，由初中圓的性質：“切點和圓心的連線垂直于切線”，再根據“若兩直線垂直，則斜率之積為-1”，得出切點與圓心連線所在方程。這樣一來，聯立直線方程與圓的方程就轉變為聯立切線方程與直線的方程，計算量會減少很多。此法用了數形結合這一重要數學思想，雖然沒有法一好列式，但計算量小，學生出錯概率會大大減小。

法三：三角換元。對于圓的方程，可令x = 10cosα，y=10sinα代入直線方程，得出一組解從而確定圓與直線相切。此法要用到參數方程，輔助角公式等三角知識，高一上期還沒有學到這些，可在高三時再講該題時使用此法。

三、一些感悟

1.備好課，具體到該堂課所涉及的題目

教師在備課時往往注重知識點的講解，不注重習題的運算，所以在備課時，凡是在本課中要求學生做的作業、練習等，自己要先認真演算，從而確定題目的最優解法，再滲透到講課過程中。

2.重視類題通法，使學生會照葫蘆畫瓢

數學課中知識點的講解很重要，把知識運用到解題中的教學同等重要，對數學的檢測最終都是通過做題考查的。我們不提倡題海戰術，但為了適應當前的教育現狀，應該在講課過程中適當地對學生進行計算指導。

本題講過后，可以把直線方程和圓的方程進行改寫，讓學生在做同類型題時，感到跨度不大，從而使學生在解答時樹立信心，使其計算能力不斷提高。

3.重視一道題的多種解法，使學生思維開闊，從而選取最優解法

一道題思考用多種解法可以有效培養學生的創新思維能力。在這道題中，法一是最容易想出的方法，但計算煩瑣，容易無疾而終，若具有多種解題思路，就可能變換其他方法，而不是只會硬算。

4.重視解題教學，使學生具有必備的運算技能

法一中，若學生會整體代入，將直線方程和圓的方程同時變形，就不會使計算陷入泥沼，無法自拔。

5.引導學生時常在題目完成后進行反思

學生在做題時，常會因看不清題，定義理解得含糊不清，對有的條件視而不見，思考問題不全面，簡單計算出現錯誤等問題，導致不能將題目完全做對。所以在題目完成后，必須和學生一起對做題過程進行反思，吸取教訓，總結經驗。

在培養學生合理化運算的教學中，教師可以介紹一些名家、大師的解題理論，陪著學生進行詳細演算。例如：將大數學家波利亞的解題四步驟介紹給學生，即：（1）理解問題；（2）制訂計劃；（3）執行計劃；（4）回顧檢驗。波利亞的解題方法可以培養學生有意識地選取最優的解題方法。

（作者單位：河南省三門峽市陜州區第二高級中學472001）