利用幾何畫板解決圖形旋轉問題的策略研究

張 驊 (江蘇省蘇州市第一初級中學校 215000)

孫其芳 (江蘇省蘇州市景范中學校 215000)

1 現狀分析

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提到：在探索物體的位置關系、圖形的特征、圖形的變換以及設計圖案的過程中，(要求)進一步發展(學生的)空間觀念．通過對近幾年中考題型的分析也可以發現，圖形變換在幾何題目中的占比越來越高．初中數學主要的圖形變換有三類：平移、軸對稱和旋轉，而圖形的旋轉變換是三者中相對比較復雜和難以掌握的．初中階段的學生囿于空間想象力的不足，往往缺乏對于旋轉變換的整體性理解．大部分學生還局限于靠識記和簡單套用性質定理和個別固定模型去解決問題，這與課程標準的要求是背道而馳的．而且在課堂教學中教師還僅僅靠黑板、PPT等靜態演示來展示圖形的動態變換，這讓學生無法建構出正確的空間形象，當然以此為手段來發展學生的空間觀念也就無從談起了．

圖1

比如以下這個例子：如圖1，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC=60°，E,F分別為BC,BD邊上的動點，且DF=CE，則AE+AF的最小值為．

這是去年8年級下學期期末測試里的一道填空壓軸題，結果是全軍盡墨，學生測試后大多反饋說無從下手，部分成績較好的學生認為是將軍飲馬問題，但又困惑于點E和點F是有關聯的雙動點，不知該如何處理．問題出在哪里？為了了解學生對圖形旋轉的掌握程度，筆者設計了一些習題，分別給兩組學業水平相近的學生進行測試．

圖2

題1如圖2，將△ABC繞點A逆時針方向旋轉100°，得到△AB1C1．若點B1在線段BC的延長線上，則∠B的大小是多少度？

題2如圖2，將△ABC繞點A逆時針方向旋轉100°，得到△AB1C1．若點B1在線段BC的延長線上，則∠BB1C1的大小是多少度？

設計意圖兩題條件完全一樣，△AB1C1由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°得到，題1中旋轉前后的對應線段夾角都應該等于旋轉角度100°，即∠BAB1=100°，再利用等腰三角形的性質就不難得到結果為40°，從測試的結果來看本題的得分率接近0.90．而題2改為求∠BB1C1的大小，得分率約為0.72，并且通過答題后詢問答對的學生，發現都是先求出∠BAB1=100°，然后利用等腰三角形的性質得到∠B=∠BB1A= 40°，接著利用旋轉對稱性質得到∠C1B1A=∠BB1A=40°，最后通過相加得到結果為80°．可是如果學生對于圖形旋轉能有一個整體性的感受，就會發現線段B1C1是由線段BC以點A為旋轉中心旋轉100°得到，所以∠BB1C1的鄰補角等于100°，馬上可得∠BB1C1=80°．

通過對比以上兩個題目不難發現，在旋轉圖形中以旋轉中心為一端的對應線段夾角等于旋轉角比較容易發現，而遠離旋轉中心的對應線段所在直線夾角等于旋轉角這一知識點往往成了學生的認知盲點．筆者又設計了以下這個問題：

圖3

題3如圖3，正方形OABC置于坐標系中，點B的坐標是(-4,4)，點D是邊OA上一動點，以OD為邊在第一象限內作正方形ODEF．問CD與AF有怎樣的位置關系？

設計意圖本題條件中雖然沒有直接旋轉的信息，但如果細心觀察就可以發現△AFO是△CDO以點O為中心、順時針旋轉90°得到的，這樣就可以得到兩條對應線段CD和AF夾角也應該是90°．而學生還是通過采用延長線段CD，利用三角形內角和計算的方法得出答案．

2 對策研究

通過上面的兩個例題可以發現，進行一些適當的圖形的旋轉變換訓練對培養學生的幾何直觀和空間想象力是非常重要的．要想培養幾何直觀想象力，光靠傳統的淺層訓練只能是紙上談兵，教師還需要幫助學生積累基本活動經驗，讓學生在做中學，領悟蘊含其中的基本數學思想．下面就來介紹一下筆者借助幾何畫板針對此類題型所開展的一系列教學活動．

圖4

題4如圖4，在網格圖內有一條線段AB及線段外一點O，試過點O作線段AB的垂線．

畫板操作具體步驟如下：

第一步：過點A,B作格點上的線段，構造直角三角形△ABC；

第二步：使用旋轉功能，將△ABC繞著任一點(比如點C)旋轉90°得到△A′B′C；

第三步：把A′B′按照向量B′O平移到點O，得到線段OP．

完成后再提問：

(1)圖中的兩個三角形中哪些線段是相等的？為什么？

生1：AC=A′C，BC=B′C，AB=A′B′．因為旋轉前后的圖形是全等的．嗯，OP也等于AB，因為平移不改變線段長度．

(2)這些對應線段的位置關系是什么？

生2：對應線段都是垂直的．

(3)產生的原因是什么？

生3：旋轉前后的對應線段相等，旋轉前后的對應線段所夾角等于旋轉角．

(4)OP和AB的位置關系是什么？

生4：應該也是垂直關系，可以通過平移的傳遞性證明．

設計意圖筆者通過這幾個問題試圖讓學生認識到旋轉變換前后圖形的對應關系，借助網格圖可以讓學生更直觀地發現對應線段的相關關系，在解決問題的同時讓學生感受到利用幾何畫板研究幾何的價值和樂趣．

題5指導學生利用幾何畫板畫出△ABC關于點A的旋轉對稱圖形△AB′C′．

畫板操作具體步驟如下(已知△ABC)：

第一步：以旋轉中心(點A)為圓心，以點B,C到圓心的距離為半徑各畫一個圓；

第二步：在大圓上取一點C′，以點C′為圓心、BC長為半徑作圓，與小圓有交點，其中之一為點B′；

第三步：連結AB′,AC′,B′C′，就得到了與△ABC成旋轉對稱的△AB′C′．

完成作圖后，還是給學生留幾個問題去思考：

(1)請使用度量長度的功能觀察兩個三角形有哪些線段是始終相等的？

生1：AC=AC′，BC=B′C′，AB=AB′．

圖5

(2)請使用度量角度的功能觀察兩個三角形對應線段所在直線的夾角大小是什么關系？

生2：對應線段所在直線的夾角都相等．

(3)產生的原因是什么？你還能得到哪些結論？

生3：旋轉前后的對應線段相等，旋轉前后的對應線段所在直線的夾角等于旋轉角．

(4)試著拖動點C′看看會有什么變化？以上的結論是否成立？

生4：會發現△AB′C′在繞著點A轉動；但不管如何變化，以上結論始終成立．

(5)旋轉角度為90°，60°時你又會有什么新的發現？

生5：會發現對應線段組成的三角形是直角三角形或等邊三角形．

設計意圖幾何畫板本身具有旋轉菜單，可以直接做出三角形旋轉的效果，但借助幾何畫板采取畫圓的方式作圖，主要的目的是：(1)加強旋轉和圓的聯系，為學生之后圓的學習增加興趣、埋下伏筆；(2)培養學生用尺規作圖的眼光來繪制圖形，用數學的原理(全等判定中的邊邊邊原理)反思和理解繪圖的相關做法；(3)點C′是圓上的自由點，學生選擇這個點任意拖動的同時，整個圖形也隨之任意地繞著選擇的中心旋轉，學生就可以利用這一性質通過隨意調整旋轉角度，去發現不同的旋轉角度會帶來哪些不同的性質；也便于從中總結出一些不因旋轉而改變的規律．

3 實戰應用

筆者發現通過以上幾題的訓練，學生對于圖形旋轉變換的理解已經有了一定的提高，接下來就可以入手幾個更有深度的幾何最值問題．比如將軍飲馬問題，這一直是一個熱點問題，其主要的解決方案是結合軸對稱圖形性質和“兩點之間線段最短”來求出兩條線段和的最小值．它的特點是兩定點一動點，在此基礎上提高難度就會出現一些雙動點的將軍飲馬問題，例如下面幾題需要利用圖形的旋轉變換進行問題的轉換．

題6如圖6，已知在正三角形△ABC中，AB=2，CD為AB邊上的高，點E,F分別在BC,CD上，且滿足CF=CE，求AE+AF的最小值．

圖6 圖7

題7如圖8，已知在正方形ABCD中，AB=1，點E,F分別在邊AC,AD上，且滿足DF=AE，連結BE,BF，求BE+BF的最小值．

圖8 圖9

圖10

最后回到本文開篇的問題，由于之前的鋪墊，很多學生已經有了足夠的信心來解決這個難題了．這里主要還是通過圖形的變換來解題，介紹兩種方法．第一種方法：如圖10(這是學生在用幾何畫板畫題圖時發現的)，因為要作線段DF=CE，根據尺規作圖的原理作半徑為EC的⊙D，觀察易得DG=CE，根據等邊三角形的性質不難得到AG=AE，這樣本題就可以劃歸為題4的解法了.第二種方法：如 圖11、圖12，把△AFD沿向量DC平移，得到△BF′C，這樣問題就轉化為CE=CF′，求AE+BF的最小值．再把△B′C繞點C順時針旋轉30°得到△B″EC，最后還是通過將軍飲馬模型得到結果．

圖11 圖12

4 研究反思

幾何畫板是一種非常適合教師日常進行解題、命題和備課的工具，而在課堂教學中經常使用它也往往會引發學生的濃厚興趣.在初次經歷幾何畫板在幾何學習中的方便、強大和趣味性后，會有很多學生想要接觸使用這個軟件，筆者就順水推舟地將它推薦給學生，教會這些學生一些基本操作后，結果學生們回饋了很多奇思妙想，這也讓筆者不禁反思該如何更好地實現教學相長．因而當筆者看到一個能充分利用圖形變換的難題時，就認為這是一個激發學生興趣、培養學生主動探索能力的機會.如果僅僅將這道題目的解法簡單地灌輸給學生，那學生的思維只能停留在淺層，達不到深層思考的目的．通過本題的相關教學活動，筆者對于使用幾何畫板輔助教學有了一些思考，供大家指正：

(1)幾何畫板的強項是動態展示，這一點正好貼合了新課程標準對圖形變換的重視，所以在畫圖時要盡量展現出這一點．

(2)作圖時盡量使用尺規作圖的技巧，適當減少使用變換菜單，這樣可以讓學生找到圖形變換的基本規律．在上文中，旋轉的點并不是在整個平面內自由運動，而是在一個確定的圓周上運動，同時整個旋轉圖形在轉動時各個點、各條線也有其關聯性，而且是始終保持不變的．

(3)及時歸類翻新，對于日常研究的作品應認真歸類，方便日后時時回味，添添線、變變角，不經意間可能一個新的題型思路就被探索發現了．

總之，幾何畫板作為一款輔助教學軟件功能強大，適合初中階段的學生用來探索幾何問題，其中的規律性和開放性可以幫助學生去猜想、實驗、探索、總結，從而提升學生數學思維的條理性和想象力．