解三角形最值問題中的幾種主要模型研究

貴州省實驗中學(550000) 劉朝海 夏學超

貴州師范大學數學科學學(550000) 王寬明

一、問題提出

解三角形問題主要涉及正弦定理、余弦定理以及面積公式.由三個公式的結構知,倘如已知三角形的3 個邊角信息(至少1 個與邊有關信息),即可確定該三角形的其他邊角信息.見下表:

表1: 解三角形中已知3 個邊角信息的解題策略

解三角形問題是高中數學的一個重要內容.一直以來,解三角形就頗受高考命題和數學研究者青睞.諸多研究者就解三角形的教材價值的挖掘[1]、探索解三角形的課堂教學[2]以及解三角形的解題方法和題目變式[3]等內容進行思考.在解題方法上看,多居于利用代數方法進行求解,而“高考命題是借助解三角形內容,體現三角函數的工具作用”[4],而對其幾何價值并未深入思考和利用.

統計近10年的全國高考數學試卷發現,在對解三角形問題的各類型問題考查中, 關于求最值問題約占四分之一.這表明,三角形求最值問題,是考查高中生數學核心素養的重要載體,也是高中數學教學需要著力的地方.而解三角形中的最值問題的形成往往由于題干所給條件的數量不夠所造成,若題干中只給出2 個邊角信息(至少1 個與邊有關的信息), 則該三角形往往存在不確定性, 進而出現邊角最值.因此,研究通過對解三角形最值問題模型的歸納與挖掘,以期為一線教師在解三角形最值問題的教學提供參考.

二、解三角形問題中常見最值模型

在解三角形問題中,已知兩個邊角信息(至少有一個關于邊的已知量)是三角形不固定的重要原因.根據題干所提供的邊角位置和邊個數可分為以下三種模型: 已知一個角和一條邊, 且邊角相對; 已知一個角和一條邊, 且邊角不相對;已知兩個與邊有關的信息.

1 模型一: 已知一個角和一條邊,且邊角相對

例1(2020年高考全國Ⅱ卷)ΔABC中,sin2A-sin2Bsin2C=sinBsinC.

(1)求A;(2)若BC=3,求ΔABC周長的最大值.

接下來,本文主要針對第二問開展研究.

圖1

分析第一問, 先采用正弦定理將角化為邊, 再用余弦定理不難求出A=由圖1 發現, 該題的第二問屬于已知一個角和一條邊, 且邊角相對.根據周長公式CΔABC=AB+AC+BC=AB+AC+ 3, 欲求面積的最大值,即求AB+AC的最大值,將問題轉化為與邊相關的最值問題,因此可以采用余弦公式和重要不等式進行放縮.

解法1(2) 由(1) 知,A=則由余弦定理得

將②代入①中得AB+AC≤ 當且僅當AB=AC時取等號,所以CΔABC=AB+AC+BC≤即ΔABC周長的最大值為

解法2如圖2 所示構造圓, 使BC= 3, 點A在劣弧上運動時始終保持∠BAC=取劣弧的中點A1,通過平面幾何知識可知,當點A運動到A1時,AB+AC取最大值.證明如下:

延長AB, 取E使AC=AE.同理, 在A1B的延長線上, 取F使A1F=A1C.則∠E= ∠ACE,∠F= ∠A1CF,∠BA1C= 2∠F,∠BAC=2∠E,∠BA1C= ∠BAC, 所以∠E=∠F即B,C,E,F四點共圓, 所以BF為四邊形BCEF外接圓的直徑,即BF ＞BE,所以A1B+A1C ＞AB+AC,即當點A運動到A1時,AB+AC取最大值.

圖2

評析該模型的問題解決主要分為三大步.第一步,利用余弦定理求出邊與邊的關系;第二步,將AB2+AC2進行配方,使AB2+AC2= (AB+AC)2-2AB·AC;第三步,利用基本不等式放縮AB·AC≤進而求出AB+AC的最大值.該模型還可以進一步求ΔABC面積的最大值,由SΔABC=故在第二步放縮時可以直接放縮AB2+AC2(AB2+AC2≥2AB·AC)即可求出AB·AC的最大值;另一方面,采用圖解法已知當點A運動到A1時,ΔABC中BC邊上的高A1D最高,即ΔABC的面積最大.

2 模型二: 已知一個角和一條邊,且邊角不相對

例2在銳角ΔABC中,b=3,A=求ΔABC面積的取值范圍.

分析邊角不相對模型可以采用正弦定理也可以采用圖解法求解.

解法1由面積公式得,SΔABC=由可知,

因為ΔABC為銳角三角形, 則進而所以

解法2由面積公式得,SΔABC=由圖3 可知,c=AB,bcosA=AD ＜AB ＜AE=即所以

評析通過比較兩種解法發現, 解法1 貼近學生的解題經驗,但運算量大,化簡過程復雜, 往往學生無法準確的求解最后結果; 解法2 利用圖形表示關系直觀、方便快捷,學生易于接受不容易出現錯誤.因此,圖解法對于解決解三角形最值問題具有重要作用.

圖3

3 模型三: 已知兩個邊的信息

例3在ΔABC中,a=4,b+c=6,問ΔABC面積的最大值是多少?

分析由例2 發現,圖解法對于求最值具有“直觀、簡便”的優勢.因此,可以嘗試圖解法求解.由b+c為定值可以理解為動點A到B,C兩點的距離為定值,即動點A的軌跡為橢圓(如圖4).

解因為b+c為定值, 所以動點A到B,C兩點的距離之和為定值, 即動點A的軌跡為橢圓.由圖5 可知, 當A運動到D時, ΔABC的面積最大.所以SΔABC=· OD= 2OD, 如圖5 建立坐標系, 易求動點A的軌跡方程為= 1(y /= 0).即OD=所以SΔABC=

圖4

圖5

評析由例3 再一次證明圖解法在解決三角形最值問題時的重要作用,可以極大的幫助學生快速的解決問題,提高解題效率.因此,在教學中,我們要力求讓學生充分運用數形結合思想解題.與此同時,該模型還可以變化成雙曲線和圓模型.

變式1在銳角ΔABC中,a=4,c-b=6,求ΔABC面積的最大值.

分析其c-b=6 可理解為動點A到B,C兩點的距離之差為定值,即表示雙曲線的一支.(其構造圖形如圖6 所示)

變式2(2008年高考江蘇卷)滿足條件BC= 2,AB=的三角形面積的最大值是多少?

圖6

圖7

分析其構造圖形如圖7 所示建立坐標系B(-1,0),C(1,0),設A(x,y),則可表示為

化簡可得(x-3)2+y2= 8,即動點A為該圓上的點(注意y /=0).

三、結束語

通過對解三角形最值問題探究發現,對于最值問題的三種情況均可采用“圖解法”求解,比利用正余弦定理解決問題的復雜程度和運算能力的要求都相對較低,充分利用圖解法可以避免“過度地抽象化、形式化而造成學生思維的困惑”[5].因此,在教學過程中理應關注以下兩個方面:

1.力求滲透“數形結合”思想,多角度的考查知識內容.數學知識許多都帶有幾何背景,利用好幾何背景能夠幫助直觀的理解數學知識的本質,有利于學生的深度思維訓練;其次,充分利用幾何背景往往能夠簡單、直觀的解決問題,提高學生解決問題的積極性,幫助樹立數學學習的信心.

2.利用變式教學,啟發學生的發散思維.問題的來源有時來源于“聯想”,通過一個問題的解決,嘗試變換條件提出新的問題.例如,例3 中我們將問題轉化為動點到兩定點的距離之和為定值,借助橢圓解決問題,因此自然會思考動點到兩定點的距離之差為定值,此時我們又應該采取何種方式處理? 故此,教學中應關注變式教學對于學生思維的啟發.