問題2555的另證、推廣及拓展

陜西省岐山縣蔡家坡高級中學(722405) 公寬讓

1 問題2555 的另證

題目設正實數a,b,c滿足abc≥1,證明:

這是《數學通報》2020年7月號問題中的不等式問題2555,作者在第8 期的證明中多次應用均值不等式,構思奇妙,但不易推廣.下面用切比雪夫不等式和均值不等式對問題2555 給出另證.

證明a,b,c ＞0,且abc≥1,不妨設a≥b≥c ＞0,由切比雪夫不等式和均值不等式,

令= 7, 得r=＜7.即同理,求和, 得(∑表示對a,b,c循環求和),故

再由切比雪夫不等式和均值不等式,

所以a2+b2+c2≥即=1,故

不等式(2)與不等式(3)相減,即得不等式(1)成立.

2 問題2555 的推廣

2.1 問題2555 按項數推廣

定理1 已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且為對ai(i=1,2,...,n)循環求和,則

2.2 問題2555 按項數和指數推廣

定理2已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且,k ∈N+,∑為對ai(i=1,2,...,n)循環求和,則

為了方便下面的證明,先給出一個引理.

引理已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且則

證明ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥ 3,n ∈N+), 且不妨設a1≥a2≥...≥an ＞0,由切比雪夫不等式和均值不等式,

所以,不等式(*)成立.

下面證明定理1、定理2.

證明ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥ 3,n ∈N+) 且≥1,k ∈N+, 不妨設a1≥a2≥...≥an ＞0, 由切比雪夫不等式和均值不等式,

令r+=7k,得r=＜7k.即同理

求和,得

故

再由切比雪夫不等式和均值不等式,

求和,得

由不等式(*),得

故

不等式(6)與不等式(7)相減,即得不等式(5)成立.當k=1時,不等式(4)成立.

3 問題2555 的拓展

3.1 問題2555 的拓展

定理3已知正實數a,b,c滿足abc≥1,4q ＞p ＞q ＞0,則

3.2 問題2555 拓展的推廣

定理4已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且≥1,(n+1)q ＞p ＞q ＞0,∑為對ai(i=1,2,...,n)循環求和,則

證明ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥ 3,n ∈N+), 且≥1, 不妨設a1≥a2≥...≥an ＞0, 由切比雪夫不等式和均值不等式,

同理,

求和,得

即

再由切比雪夫不等式和均值不等式,

求和,得

又q ＞q-＞0,由不等式(*),得

故

不等式(10) 與不等式(11) 相減, 即得不等式(9) 成立.當n=3 時,不等式(8)成立.