圓錐曲線幾個結論的拓展、變式及推廣

福建省莆田第五中學(351100) 宋桂芳

文[1]對2015年全國高考北京卷第19 題進行了本質探究和推廣,得到了關于橢圓、雙曲線的3 個結論,讀后覺得意猶未盡.本文先將這些結論拓展到拋物線的情形,再給出這些結論的等價變式及部分等價變式的推廣.首先將[1]的這3 個結論抄錄如下:

結論1(綜合文[1]的結論1,2)已知橢圓C:1(a ＞b ＞0) 上一點P(x0,y0),A(m,n) 為橢圓C上一動點, 點A關于x軸(y軸) 的對稱點為B, 若直線PA與x軸(y軸) 交于點M, 直線PB與x軸(y軸) 交于點N, 則|OM|·|ON|=a2,如圖1(|OM|·|ON|=b2,如圖2).

圖1

圖2

結論2(文[1]的結論3)已知雙曲線1(a ＞0,b ＞0)上一點P(x0,y0),A(m,n)為雙曲線C上一動點,點A關于x軸(y軸)的對稱點為B,若直線PA與x軸(y軸) 交于點M, 直線PB與x軸(y軸) 交于點N, 則|OM|·|ON|=a2,如圖3(|OM|·|ON|=b2,如圖4).

圖3

圖4

1 結論的拓展

以上結論只涉及橢圓、雙曲線,那么,對于拋物線,有沒有類似的結論? 經探究,可得

結論3已知拋物線C:y2=2px(p ＞0)(x2=2py(p ＞0)上一點P(x0,y0),A(m,n)為拋物線C上一動點,與點P不關于x軸(y軸)對稱,點A關于x軸(y軸)的對稱點為B,若直線PA與x軸(y軸)交于點M,直線PB與x軸(y軸)交于點N,則|OM|=|ON|.

證明對于拋物線C:y2= 2px(p ＞0), 由條件知B(m,-n), 直線PA,PB的方程分別為y - y0=(x-x0),y -y0=·(x-x0).分別令y=0,可得則

又由P(x0,y0),A(m,n)在拋物線C上知= 2px0,n2=2pm,則2n2x0-= 2x0·2pm-2m·2px0= 0,從而=0.又易知點M,N在y軸異側,即異號,從而有|OM|=|ON|.

相仿地,可以證明C:y2= 2px(p ＞0)也具有相應性質,限于篇幅,此處從略.證畢.

2 結論的等價變式

在上述結論中,由于點A,B關于x軸(y軸)對稱?直線NA,NB(即NP)的斜率k1,k2滿足k1+k2=0,故上述結論可分別等價表示為結論1′,2′,3′:

結論1′已知橢圓=1(a ＞b ＞0)上一點P(x0,y0),A(m,n)為橢圓C上一動點(與點P不關于x軸(y軸)對稱),直線PA與x軸(y軸)交于點M,點N在x軸(y軸)上,若直線NA,NP的斜率k1,k2滿足k1+k2= 0,則|OM|·|ON|=a2(|OM|·|ON|=b2).

結論2′已知雙曲線C:= 1(a ＞b ＞0)上一點P(x0,y0),A(m,n) 為雙曲線C上一動點(與點P不關于x軸(y軸) 對稱), 直線PA與x軸(y軸) 交于點M,點N在x軸(y軸)上,若直線NA,NP的斜率k1,k2滿足k1+k2=0,則|OM|·|ON|=a2(|OM|·|ON|=b2).

結論3′已知拋物線C:y2= 2px(p ＞0)(x2=2py(p ＞0)) 上一點P(x0,y0),A(m,n) 為拋物線C上一動點(與點P不關于x軸(y軸)對稱),直線PA與x軸(y軸)交于點M,點N在x軸(y軸)上,若直線NA,NP的斜率k1,k2滿足k1+k2=0,則|OM|=|ON|.

3 部分等價變式的推廣

經探究發現,結論1′,2′中有關“x軸”的情形及結論3′可以推廣到更一般的情形.

結論Ⅰ已知橢圓C:= 1(a ＞b ＞0)上一點P(x0,y0),A(m,n)為橢圓C上一動點(與點P不關于x軸對稱),直線PA與x軸交于點M,點N在x軸上,點N1在過點N且垂直于x軸的直線上(不在直線PA上),若直線N1A,N1P,N1M的斜率k1,k2,k3滿足k1+k2= 2k3, 則|OM|·|ON|=a2.

證明設直線PA的方程為x=ry+s(r /= 0), 與橢圓C的方程聯立,得b2(ry+s)2+a2y2-a2b2=0,整理得(a2+b2r2)y2+2b2rsy+b2(s2-a2)=0.據韋達定理,得

易知直線PA與x軸交點M(s,0), 設N(u,0),N1(u,t), 則又由x0=ry0+s,m=rn+s得

又由k1+k2=2k3及k3=可得

由于點N1(u,t) 不在直線PA:x=ry+s(r /= 0) 上,得u - s - rt /= 0, 則a2- su= 0.從而有s=進而得|OM|=又由N(u,0) 得|ON|=|u|, 故|OM|·|ON|=a2.證畢.

類似地,結論2′中有關“x軸”的情形及結論3′可分別推廣為

結論ⅠⅠ已知雙曲線C:= 1(a ＞0,b ＞0)上一點P(x0,y0),A(m,n)為雙曲線C上一動點(與點P不關于x軸對稱),直線PA與x軸交于點M,點N在x軸上,點N1在過點N且垂直于x軸的直線上(不在直線PA上),若直線N1A,N1P,N1M的斜率k1,k2,k3滿足k1+k2=2k3,則|OM|·|ON|=a2.

結論ⅠⅠⅠ已知拋物線C:y2= 2px(p ＞0)(x2=2py(p ＞0)) 上一點P(x0,y0),A(m,n) 為拋物線C上一動點(與點P不關于x軸(y軸) 對稱), 直線PA與x軸(y軸) 交于點M, 點N在x軸(y軸) 上, 點N1在過點N且垂直于x軸(y軸) 的直線上(不在直線PA上), 若直線N1A,N1P,N1M的斜率k1,k2,k3滿足k1+k2= 2k3, 則|OM|=|ON|.

下面只證明結論ⅠⅠⅠ,結論ⅠⅠ仿結論Ⅰ可證.

證明設直線PA的方程為x=ry+s(r /= 0), 與拋物線C的方程聯立并整理, 得y2-2pry -2ps= 0.據韋達定理, 得y0+n= 2pr,y0n=-2ps.易知直線PA與x軸交點M(s,0), 設N(u,0),N1(u,t), 則k3=又由x0=ry0+s,m=rn+s.得

又由k1+k2=2k3及k3=可得

由于r /= 0 且點N1(u,t)不在直線PA:x=ry+s(r /= 0)上得u - s - rt /= 0, 故s+u= 0, 從而有|s|=|u|, 即|OM|=|ON|.證畢.

特別地,當點N1重合于點N時,結論Ⅰ,ⅠⅠ分別為結論1,2 中有關“x軸”的情形,結論ⅠⅠⅠ為結論.

至此,我們完成了對文[1]的3 個結論的拓展、變式及推廣.