一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題命題歷程*
——構(gòu)想、探究、模仿

福建省泉州第五中學(xué)(362000) 楊蒼洲

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的命制,命題者需要先設(shè)定考查的知識載體,及其所需承載的思想方法、學(xué)科能力、核心素養(yǎng)等,并根據(jù)設(shè)想,去構(gòu)造合適的函數(shù)模型.有了函數(shù)模型,就可以通過研究該函數(shù)的形態(tài)與性質(zhì),在函數(shù)的形態(tài)與性質(zhì)中發(fā)現(xiàn)問題,提出問題.命題的過程往往并不是一帆風(fēng)順的,此時就需要命題者不斷地嘗試、調(diào)整,也可適時地借鑒成題的命制手法,把它遷移應(yīng)用于設(shè)定的函數(shù)背景.

下面展示2020年5月泉州市質(zhì)檢函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題在命題過程中筆者所經(jīng)歷的探究歷程.

1 試題與解析

題目1(2020年泉州市5月質(zhì)檢理科) 已知函數(shù)

(1) 若f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的值;

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)了綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性.

解析(1)f′(x)=(x-a)lnx.因為f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,所以f′(x)≥0,即(x-a)lnx≥0.

(i) 當(dāng)x ＞1 時,lnx ＞0,則需x-a≥0,故a≤xmin,即a≤1; (ii) 當(dāng)x= 1 時, lnx= 0, 則a ∈R; (iii) 當(dāng)0＜x ＜1 時,lnx ＜0,則需x-a≤0,故a≥xmax,即a≥1.

綜上所述,a=1.

(2)g(x) =+a,g′(x) =因為所以g′′(x)＞0,所以g′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.又因為g′(1)=所以存在x0∈(1,e),使g′(x0)=0,且當(dāng)x ∈(0,x0)時,g′(x)＜0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x ∈(x0,+∞)時,g′(x)＞0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.故g(x)最小值為g(x0)=

由g′(x0) = 0, 得a=因此h(a) =令τ(x)=x ∈(1,e),則τ′(x) =＞0, 所以τ(x) 在區(qū)間(1,e) 上單調(diào)遞增.又因為且τ(1) =所以1＜ x0＜e, 即x0取遍(1,e) 的每一個值.令φ(x) =lnx(1＜ x ＜e), 則φ′(x) =(2 lnx+3)(lnx-1)＞0, 故函數(shù)φ(x)在(1,e)單調(diào)遞增.又φ(1) = 0,φ(e) =所以0＜φ(x)＜故函數(shù)h(a)的值域為

2 設(shè)想與命題

在上述試題的命題過程,筆者經(jīng)歷了“構(gòu)想—探究—模仿”的心路歷程,目標(biāo)明確,過程曲折,終得試題.

2.1 函數(shù)模型的構(gòu)想與調(diào)試

命題之初,筆者設(shè)想的函數(shù)形態(tài): 具有兩個極值點,其中一定一動.筆者擬通過比較兩個極值點的大小,從而引起討論,以考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想.并以此函數(shù)為背景,設(shè)置問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

現(xiàn)設(shè)定函數(shù)f(x) 的導(dǎo)函數(shù)為f′(x) = (x-a)lnx, 則其可能的兩個極值點為a,1, 具有筆者所擬定的函數(shù)特征.根據(jù)導(dǎo)函數(shù), 可以推得, 我們需要研究的函數(shù)可以是

2.2 探究函數(shù)的形態(tài)與性質(zhì)

根據(jù)實數(shù)a的不同取值, 可知函數(shù)f(x) =的圖象可能有下述四種情況.

(1)當(dāng)a≤0 時,函數(shù)f(x)的圖象如圖1.f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)有極小值點1.

(2)當(dāng)0＜a ＜1 時, 函數(shù)f(x)的圖象如圖2.f(x)在區(qū)間(0,a)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,1)單調(diào)遞減,f(x)有極大值點a和極小值點1.

(3)當(dāng)a= 1 時,函數(shù)f(x)的圖象如圖3.f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)無極值.

(4)當(dāng)a ＞1 時,函數(shù)f(x)的圖象如圖4.f(x)在區(qū)間(0,1)和(a,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,a)單調(diào)遞減,f(x)有極大值點1 和極小值點a.

圖1

圖2

圖3

圖4

2.3 從函數(shù)性態(tài)中提出問題

根據(jù)函數(shù)的圖象特征,我們可以提出關(guān)于函數(shù)單調(diào)性、極值的問題.如: (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)討論函數(shù)f(x)的極值;(3)若f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的值;(4)若f(x) ≥0,求a的取值范圍.上述問題均可作為試題的第一問,在考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值的同時,也考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想.

如何進(jìn)一步探究函數(shù)的性質(zhì),從而使導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用更加深入? 我們繼續(xù)觀察函數(shù)f(x)的圖象.在f(x)存在兩個極值點的前提下,我們可以研究兩個極值點x=a和x= 1 關(guān)于拐點x0(設(shè)f′′(x0) = 0)的偏移關(guān)系, 如: (1)討論a+1 與2x0的大小關(guān)系;(2)討論f(a)+f(1)與2f(x0)的大小關(guān)系;(3)討論與f′(x0)的大小關(guān)系.

這里列出的幾個幾何關(guān)系,都是基于“極值點偏移”的設(shè)問.經(jīng)過驗證,我們發(fā)現(xiàn)上述問題或過于簡單或過于繁雜,都不是理想的試題設(shè)問.因此,只得另辟它徑!

2.4 借鑒成題的命題經(jīng)驗

通過觀察,我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)圖象上點P(x,f(x))與原點O(0,0)連線的斜率存在最值,因此,我們考慮研究函數(shù)的最值問題.

由 于g′(x) =可推得: 當(dāng)a ＞0時, 存在x0∈(0,+∞), 使g′(x0) = 0, 且當(dāng)x ∈(0,x0)時,g′(x)＜0, 函數(shù)g(x) 單調(diào)遞減; 當(dāng)x ∈(x0,+∞)時,g′(x)＞0, 函數(shù)g(x) 單調(diào)遞增.g(x) 的最小值為

探究的思路碰壁了,似乎難以為繼! 此時,我們可以考慮借鑒成題的命題手法并遷移應(yīng)用.此處,筆者借鑒了2016年全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第21 題第(2)步的命題思路.

題目2(2016年高考全國Ⅱ卷理科第21 題)

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)=的單調(diào)性,并證明當(dāng)x ＞0時,(x-2)ex+x+2＞0;

(ⅠⅠ)證明: 當(dāng)a ∈[0,1)時,函數(shù)g(x)=0)有最小值,設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.

題目2 的第(2) 步中, 求解可得: 存在x0∈(0,2], 使g′(x0) = 0,且當(dāng)0＜x ＜x0時,g′(x)＜0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x ∈(x0,+∞)時,g′(x)＞0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,故g(x)最小值為g(x0)=

與上述的探究結(jié)果相仿.那么,題目2 是如何讓探究繼續(xù)的呢? 由g′(x0) = 0,可得到a與x0的關(guān)系,進(jìn)行消元后,g(x0)可化為g(x0)=而后通過限制a的范圍,實現(xiàn)對x0的范圍進(jìn)行限制(此處需保證a與x0是一一對應(yīng)的),從而可以繼續(xù)研究g(x0)的取值范圍,即研究g(x)的最小值g(x0)的取值范圍.

現(xiàn)在回到我們的研究進(jìn)程, 模仿上述命題的證明手法.由g′(x0) = 0,得因此g(x)的最小值g(x0) =又因為g′(1) =-a+,g′(x)在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞增,因此,只需設(shè)定即可使得x0取遍(1,e)的每一個值.

3 結(jié)束語

命題不易! 命題有趣! 命題是一件創(chuàng)造性的工作! 命題是一次深刻的學(xué)習(xí)!