從一道高考題談與函數零點有關的變量取值范圍問題

浙江省蘭溪市第一中學(321102) 張城兵

函數零點是函數、方程與不等式三個知識塊聯系的重要橋梁,因而知識點的重要性就不言而喻了,由它產生的題目簡約而不簡單,內涵豐富,意境深遠.多種知識和解題技巧組合在一起,往往讓學生無從下手,或者中途夭折.筆者選取一些典型的例子,予以剖析,以饗讀者.

例1(2015年高考浙江文科第20 題) 設函數f(x) =x2+ax+b(a,b ∈R).

(1) 略; (2) 已知函數f(x) 在[-1,1] 上存在零點, 0 ≤b-2a≤1,求b的取值范圍.

解法一這是當年浙江省文科高考壓軸題,至今讓人津津樂道,回味無窮.考生首先想到方法一,但龐雜的不等式組和難畫的線性規劃圖,使學生很難做全對,由方程f(x) = 0在[-1,1]上有實根及已知,得

圖1

圖2

解法二(官方的標準答案) 設s,t為方程f(x) = 0的解, 且-1 ≤t≤1, (筆者注: 因為題目告知函數f(x)在[-1,1] 上存在零點, 個數不明確, 所以只要保證其中一個零點t ∈[-1,1],s模糊處理), 則由于0 ≤b-2a≤1,因此(-1 ≤t≤1).當0 ≤t≤1 時,由于和≤9-所以當-1 ≤t ＜0 時,由于-2 ≤＜0和-3 ≤＜0,所以-3 ≤b ＜0.故b的取值范圍是[-3,9-

圖3

解法三函數f(x) 在[-1,1] 上存在零點, 也就是g(x)=ax+b與h(x)=-x2在x ∈[-1,1]上有交點,而條件0 ≤b-2a≤1 意味著函數g(x) =ax+b圖象過橫坐標為-2,縱坐標在[0,1]上變化的點,也即為線段AB上的任意一點,且它與拋物線段有公共點,如圖3,求截距b的范圍.由圖可知,直線BC、BD不符合要求, 直線AC、AD符合要求, 找它們與拋物線段有公共點的臨界狀態時b的值即為所求.易求AC的方程y=-2x-3,令AD的方程y-1=k(x+2)與y=-x2聯立,得x2+kx+2k+1 = 0,若直線AD與拋物線相切,由Δ =k2-8k-4 = 0,得k= 4±取k= 4-(因為x ∈[-1,1] 的限制, 故k= 4 +舍去), 所以截距b=9-綜上,b的取值范圍是[-3,9-

評注方法一是學生首先想到方法,畢竟這也是學習函數零點后常用方法,但是它的復雜程度超乎想像;方法二是很創意的,用確定區間上的零點來充當自變量,特別是對另一個零點s的模糊處理是神來之筆;方法三更勝一籌,達到數形結合的最高境界.

下面筆者以零點個數為標準,分門別類剖析.

一、零點個數明確,以零點為自變量

例2(2017年浙江省數學競賽題) 已知函數f(x) =x2+ax+b(其中a,b ∈R),在區間[0,1]內有兩個零點,則a2-2b的取值范圍是____.

解析設零點為x1,x2∈[0,1] 且x1/=x2, 則x1+x2=-a,x1x2=b, 此時,x1,x2是獨立變量, 各自可取到最大或最小值, 只是要考慮不相等即可, 所以a2-2b=

例3已知函數f(x) =x2+ax+b(a,b ∈R)在區間(0,1)和(1,2)上各有一個零點,則a2+a-2b的取值范圍為____.

解析設兩零點為x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,2),則a2+a-2b的取值范圍為

例4(2014年浙江省數學競賽第18 題)已知b,c ∈R,二次函數f(x)=x2+bx+c.在(0,1)上與x軸有兩個不同交點,求c2+(b+1)·c的取值范圍.

解析令r,s為二次函數的兩個零點(r /=s), 則f(x) = (x - r)(x - s), 易知r+s=-b,rs=c, 所 以c2+(b+1)·c=c(c+b+1)=rs(1-r)(1-s)≤因為r /=s,所以等號不成立,故c2+(b+1)·c的取值范圍是

評注此三例零點明確有幾個,并在哪個區間,此時的零點就是自變量,并且取值范圍也知道了,將所求的代數式轉化為以零點為自變量的函數,盡管有兩個自變量,但它們是獨立的,所以取值范圍不難求,這是一種常規方法.

二、零點個數模糊,選一個獨擋一面

例5已知函數f(x) =x2+ax+b(a,b ∈R)在[0,1]上至少有一個零點,則a2+2b的取值范圍是____.

解析零點個數不明確, 題干中又未要求予以討論, 此時解法可能與零點個數無關,故只需選某個零點為x0,x0∈[0,1],當然此時不能用韋達定理了,而改用方程實根的定義(函數的零點實質就是方程的實根),則+ax0+b= 0,即b=0,所以a2+2b=a2-2ax0-,這是有兩個變量的函數,a與x0沒有明顯的制約關系,故可以先看作以a為主元的二次函數,求得(a2+2b)min=-,再以x0為主元,因為x0∈[0,1],故a2+2b ∈[-3,0].

例6已知函數f(x) =x2+ax+b(其中a,b ∈R)在區間(0,1]內有零點x0, 則的最大值是____.

解析令零點為x0,x0∈(0,1],則+ax0+b=0,即b=0,所以

此例解法與前一例一脈相承,只是求最值難度加大,有更強的技巧性.

例7已知二次函數f(x) =ax2+bx+c有零點, 若(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥Ma2恒成立,則實數M的最大值是____.

解析由已知b2≥4ac,則y,則x2≥4y,由(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥Ma2,得進而M≤(1-x)2+(x-y)2+(y-1)2=2y2+2x2-2x-2y-2xy+2,令g(y)=2y2+2x2-2x-2y-2xy+2=2y2-(2+2x)y+2x2-2x+2,此時看作關于y的二次函數,定義域為

1) 當對稱軸y=即x≥ 1 +或x≤1-g(y)min=從而

2) 當y=即時,+2x2-2x+2 =-2x+2,g′(y)=+3x+2=令g′(y) = 0,得x= 1 為極小值點,故g(y)min=所以M≤從而實數M的最大值是

評注例5、例6 零點個數不明確,我們可以在規定區間內選一個記作x0,但無法只用x0來表示所求代數式,所以借助主元方法,先來后到,確保x0用在最后,而例7 不用設零點,這是由所求問題決定的,利用齊次式,達到減元目的.

三、三個或四個函數的零點問題的處理

例8若函數f(x)=2x3+mx2+nx+t在(0,1)上有三個不同的零點,則f(0).f(1)取值范圍是____.

解析令f(x)=2(x-x1)(x-x2)(x-x3),(x1,x2,x3互不相等)則f(0).f(1)=-4[x1(1-x1)][x2(1-x2)][x3(1-(用均值不等式,但等號取不到),所以f(0).f(1)取值范圍是

例9已知函數f(x)=x+,g(x)=f2(x)-af(x)+2a有四個不同的零點x1,x2,x3,x4,則[2-f(x1)]·[2-f(x2)]·[2-f(x3)]·[2-f(x4)]=____.

解析令t=f(x),則y=g(x)=t2-at+2a,因為g(x)有四個不同零點x1,x2,x3,x4,故t2-at+2a=0 有兩個不等實根t1,t2且t1+t2=a,t1t2=2a,所以2(t1+t2)=t1t2,令f(x1)=f(x2)=t1,f(x3)=f(x4)=t2,所以[2-f(x1)]·[2-f(x2)]·[2-f(x3)]·[2-f(x4)]=[(2-t1)(2-t2)]2=16.

例10設x1,x2是a2x2+bx+1 = 0 的兩實根;x3,x4是ax2+bx+1=0 的兩實根.若x3＜x1＜x2＜x4,則實數a的取值范圍是____.

解析當a ＞0, 如圖4,g(x1)＜0 =f(x1), 所 以得a ＞1;當a ＜0,則g(x2)＞0=f(x2),求得解得0＜a ＜1,矛盾,故a的取值范圍是(1,+∞).

圖4

評注零點個數增加,并不影響方法,只是增加學生理解難度.

四、反彈琵琶型——函數不存在零點

例11已知f(x)=x2-2x+c,f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x))(n≥2,n ∈N*),若函數y=fn(x)-x不存在零點,則c值的取范圍是____.

解析當f(x) =x無解時, 用判別式得c ＞此時f(x)＞x恒成立, 則f2(x)-2f(x) +c=x ＜f(x)即f2(x)-3f(x) +c ＜0 此時仍無解, 由數學歸納法,y=fn(x)- x無零點.而當c≤時,f(x) =x有解,則y=fn(x)-x存在零點.所以c值的取范圍是

評注學生習慣順向思維,突然出現逆向思維的問題,對他們來說很難擺脫定勢干擾,就好比說研究在某某區間單調性,一般學生沒問題,但突然要求在某區不單調,就會手忙腳亂.

讀者對下面練習不妨一試:

1.若函數f(x) =x2+2ax+b,(x ∈[1,2])有兩個不同的零點,則a+b的取值范圍為( )

A.(0,3] B.(0,2) C.(1,3) D.[0,3]

2.已知函數f(x) =x2+ax+b(其中a,b ∈R),在區間[0,1]上有零點,則ab的最大值是____.

3.已知二次函數f(x) =ax2+bx+c(a,b,c ∈N*),函數f(x)在上有兩個零點,則a+b+c的最小值為____.

4.已知a,b ∈R 且0 ≤a+b≤1,函數f(x)=x2+ax+b在上至少存在一個零點, 則a-2b的取值范圍是____.

5.已知關于x的方程x2+2bx+c= 0(b,c ∈R) 在[-1,1]上有實數根,0 ≤4b+c≤3,則b的取值范圍是____.

6.(2017年福建省數學競賽題) 若關于x的方程x2+ax+b -3 = 0(a,b ∈R) 在區間[1,2] 上有實根,則a2+(b-4)2的最小值為____.

7.若a,b,c為正整數,方程ax2+bx+c= 0 的兩個實數根x1,x2滿足-1＜x1＜x2＜1,求a+b+c的最小值.

參考答案1.B 2.3.41 4.[0,1] 5.[-1,2] 6.2 7.最小值為11.