一道雙曲線題的探究

四川省名山中學(625100) 高繼浩

一、題目呈現

題目(筆者自編題)已知雙曲線的左,右焦點分別為F1,F2,過F2的直線l交雙曲線Γ 的右支于A,B兩點,若ΔABF1的內切圓半徑為則直線l的斜率為____.

如圖1, 看到題目中的“內切圓”三個字, 比較自然地會想到利用ΔABF1的面積找關系,通過兩種面積法列方程求解,最終落腳于數學運算.該題在測試中的得分率很低,主要原因是多數學生在有限的時間內算不出,也找不到其他方法.

圖1

二、題目解答

解法1設直線l的方程為x=ty+ 3,A(x1,y1),B(x2,y2), 聯立直線l與雙曲線Γ 的方程, 消去x得(4t2-5)y2+24ty+16=0,Δ=320(1+t2),由y1y2＜0知4t2-5＜0,故|y1-y2|=由雙曲線定義知|AF1|=|AF2|+|BF1|=|BF2|+從ΔABF1的面積出發,有

令u=化簡整理解得u=故t=即直線l的斜率為±2.

解法2如圖1,設ΔABF1的內切圓圓心為C,圓C分別與AF1,BF1相切于點D,E.若圓C與AB相切于點P,且點P位于線段AF2(不包括端點)上,則

由|DF1|=|EF1|知①與②矛盾; 若切點P位于線段BF2(不包括端點) 上, 同理可得矛盾.故切點P只能與F2重合.連接CD,CF1和CF2,不妨設直線AB的傾斜角為銳角α,則∠CF2F1=在ΔCF1F2中,由余弦定理知

而

故|F1C|2=|CD|2+|DF1|2=代入③可得sinα=tanα= 2,由圖形的對稱性可知直線l的斜率為±2.

解法1 自然但運算偏繁,解法2 中注意到F2是切點使得運算量較小.

三、題目推廣

命題1若雙曲線= 1(a ＞0,b ＞0)的左,右焦點分別為F1,F2,過F2的直線交雙曲線的右支于A,B兩點,則ΔABF1的內切圓與AB相切于點F2.

命題2若雙曲線= 1(a ＞0,b ＞0)的左,右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),過F2且傾斜角為α的直線交雙曲線的右支于A,B兩點, ΔABF1的內切圓半徑為r,則r=

采用題目解法2 的前半部分即可證得命題1,分α為銳角、鈍角和直角三種情況,采用題目解法2 的后半部分不難得到命題2,讀者不妨一試.

同理可得:

命題3若雙曲線= 1(a ＞0,b ＞0)的下,上焦點分別為F1(0,-c),F2(0,c),過F2且傾斜角為α的直線交雙曲線的上支于A,B兩點, ΔABF1的內切圓半徑為r,則r=

四、拓展探究

命題4若橢圓= 1(a ＞b ＞0) 的左, 右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0), 過F2且傾斜角為α /= 0 的直線交橢圓于A,B兩點, ΔABF1的內切圓半徑為r, 則

證明設A(x1,y1),B(x2,y2), 直線AB的方程為x=my+c,與橢圓方程聯立,消去x得

則y1+y2=從ΔABF1的面積出發,有

即2ar=故r=因為m=所以r=

同理可得:

命題5若橢圓= 1(a ＞b ＞0) 的下, 上焦點分別為F1(0,-c),F2(0,c),過F2且傾斜角為α /=的直線交橢圓于A,B兩點, ΔABF1的內切圓半徑為r, 則

拋物線只有一個焦點, 聯想到焦點關于頂點的對稱點,探究得到如下結果.

命題6若拋物線y2= 2px(p ＞0)的焦點F關于原點的對稱點為C,過F的直線交拋物線于A,B兩點,則直線AC和BC的傾斜角互補.

證明設易得y1y2=-p2,故所以直線AC和BC的傾斜角互補.

命題7若拋物線y2= 2px(p ＞0)的焦點F關于原點的對稱點為C,過F且傾斜角為α的直線交拋物線于A,B兩點,ΔABC的內切圓半徑為r,則r=

證明不妨設點A在x軸上方, 設直線AC的方程為x=my -(m ＞0), 與拋物線方程聯立, 消去x得y2-2pmy+p2= 0,Δ = 4p2(m2-1)≥0.從ΔABC的面積出發,有

(1)當α=時,kAC= 1,m= 1,Δ = 0,直線AC與拋物線相切,由④可得r=滿足r=

(2)當m ＞1 時,Δ＞0,設直線AC與拋物線的另一交點為D,A(x1,y1),D(x2,y2), 則由命題6 知B(x2,-y2).因為y1+y2= 2pm,y1y2=p2, 所以|x1-x2|=m|y1-y2|=故|kAB|=設∠ACF=∠BCF=θ,則從而

在ΔACF中, 由正弦定理有故|AC|=在ΔBCF中,同理有|BC|=所以|AC|+|BC|=又因為yA -yB=|AB|sinα, 代入④化簡得=psinα, 結合⑤得r=

綜上,命題得證.

同理可得:

命題8若拋物線x2= 2py(p ＞0)的焦點F關于原點的對稱點為C,過F且傾斜角為α的直線交拋物線于A,B兩點,ΔABC的內切圓半徑為r,則r=