例談“微建模”問題的設計

華南師范大學附屬中學(510630) 周建鋒

問題是數學的心臟,許多數學規律的發現都是人們在不斷提出新問題的過程中得到的.我們在指導學生學習數學的時候也要鼓勵學生善于提出問題,研究問題,才能進一步提升數學能力,培養探索真理的精神.而情境問題最能展示實際問題的情形,實現數學應用于實踐的效能.

問題情境是指針對某個有待完成的任務,要由某個人或某群人加以聯結、整合的一組背景化信息,這個任務的結果如何事先并不是一目了然的.確定問題情境的構成部分有兩個: 一方面是情境,它帶來的主要就是一個主體和一個背景;另一方面是問題,它主要通過一個障礙、一個有待完成的任務、一些要聯結起來的信息來定義.

與傳統的應用題比較,情境問題主要體現真實的問題情境,所提供的條件往往是“不良結構”,即不如傳統應用題中所有條件都已進行“優化”, 條件的明確性和指向性都比較強.真實的情境問題中,問題解決者首先要對條件進行梳理,進行合理化假設,從而有利于構建相應的數學模型.筆者曾與華南師范大學數學科學學院馮偉貞副教授進行過交流,把這類介于數學建模與傳統應用題之間的問題定義為“微建模”問題.

對于“微建模”問題的設計,第一步在于構建真實的問題情境,而構建問題情境,一方面可以直接取材于現實生活中的情境問題;另一方面可以從現有的一些應用題出發,去除“加工”后的條件,還原真實、合理的問題情境.

第二步就在于設計目標問題,即需要解決的目標是什么.同一個問題情境可以設計出多個不同的目標問題,目標問題的設計可以多結合生活中的優化問題,如面積最大、容量最大、用料最省、利潤最大等.

下面通過一個實例展示“微建模”問題的設計過程.

人教A 版必修4 第3 章有這樣一道應用題: 在半徑為1,圓心角為60°的扇形鐵皮上裁剪一塊矩形鐵皮,使矩形的一條邊置于扇形半徑上.問如何裁剪使得矩形鐵皮面積最大?

這是一道比較優化了的應用題,數據清楚,裁法明確,基本上只需要設出變量,建立函數關系,即可求解.但這樣的數學問題隱去了問題探索的過程,把它與現實生活中的實際情境割裂開來.

一、還原問題情境

設計情境問題: 張師傅手里有一塊扇形的鐵板(圓心角不大于直角),需要從中裁剪出一塊矩形鐵板,請你幫張師傅設計裁剪的方法,使得裁剪出的矩形鐵板面積最大.

二、問題的探索

首先可以考慮有哪些易于操作的裁法,容易想到的裁法有如下兩種(圖1、圖2 分別記為裁法一、裁法二):

圖1

圖2

不妨設扇形半徑為1.當圓心角α≤時, 在裁法一中, 如圖1, 設∠AOB=α, ∠POB=θ(0＜θ ＜α), 則PN=sinθ,MN=ON -OM=cosθ-cotαsinθ,

注意到裁法二中,沿∠AOB的角平分線OC裁開,由對稱性,每一部分均為裁法一中的情境,易得裁法二得到的矩形面積為所以0＜＜1),故當α≤時,裁法一均比裁法二得到的矩形面積更大.其次,以上兩種裁法位置都比較特殊,那更一般的裁法會如何呢? 會不會有比前兩種更優的裁法?

裁法三: 更一般的裁法,如圖3,假設MQ是定長,分別過M、Q作MQ的垂線,交扇形弧長于N、P.不妨設MN≤PQ,設MQ=a,∠QMO=由對稱性,不妨設, 則以O為原點,OB為x軸建立直角坐標系,則MN:y= cotθ(x-),代入x2+y2= 1得:cos2θ= 0,yN=則

圖3

圖4

設

只需求t在時的最大值.設x= cos(2θ+α),y= sin(2θ+α), 則圓弧C:x2+y2= 1(-1 ≤x≤-cosα,0 ≤y≤sinα), ①式即為:(x-t)2+(y+sinα)2=是以O′(t,-sinα) 為圓心,為半徑的圓.

如圖4,t最大當且僅當O到O′的距離最大, 即O′在A′B′中垂線右端且圓O′與圓弧C只有公共點B′時,t最大.此時θ=即裁法一得到的矩形鐵板面積最大.最后可以讓張師傅這樣裁剪:

1.先作出圓心角的平分線與圓弧交于一點P;

2.再由P點向扇形其中一條半徑作垂線(得到垂足點N),同時過P點作該半徑的平行線,與另一條半徑交于一點Q;

3.繼續由Q點作第一條半徑的垂線,得到垂足點M.

以上得到了四個點M,N,P,Q即為要得到的矩形的四個頂點,裁剪工作完成(如圖1).

三、問題的進一步設計

不滿足于只求面積的最大值,再設計問題: 在裁法一或裁法二中,為了充分利用剩下的邊角料,在剩下的邊角料中再裁出一個圓形鐵板,加上剛才裁出的矩形,做成一個無蓋的圓柱形鐵桶.那又該如何裁剪, 使得到的鐵桶容積最大?(不考慮損耗且只計算α=時的情形)

圖5

圖6

問題的探索考慮裁法一和裁法二,問題關鍵在于能否在邊角料中裁出圓形鐵板, 使其周長不小于矩形的一條邊,這樣就可以依據其中一邊的周長去裁出需要的圓形鐵板.在裁法一中,矩形一邊PN=另一邊MN=先嘗試在邊角料OMQ中裁一個內切圓(如圖5),設其半徑為r,RtΔOMQ中,OM=由等面積法易得:r=此內切圓的周長所以能裁出一個圓形鐵板(把內切圓適當縮小),以MNPQ為側面組合成圓柱體.以MN為底面周長時容積V1=以PN為底面周長時容積V2=所以在裁法一中可以組合出以MN為底面周長的圓柱形鐵桶,容積為

在裁法二中,矩形的邊MN=PN=.在等邊三角形OMQ中(如圖6),邊長為所以其內切圓半徑,內切圓周長所以能裁出以為周長的圓形鐵板, 這樣得到的圓柱形鐵桶體積V3=最終,在裁法一中利用剩下的邊角料,可以裁出一個圓形鐵板,和矩形鐵板組合成圓柱形鐵桶,最大容積為

其實這個問題情境還可以進一步的設計,如組合出長方體無蓋鐵桶,又該如何設計? 留給讀者去思考.通過創設真實、合理的情境問題,在不斷的探索中尋求問題的真相.這樣不僅有利于更深入地解決問題,也有助于提升學生運用數學解決問題的能力.同時,作為教師在這個過程中,不僅為學生的成長創造了條件,也享受了創作的樂趣.