例談“定比點差法”在解析幾何問題中的應用

安徽省蕪湖市第一中學(241000) 劉海濤

1 問題的提出

在處理解析幾何“中點弦”問題時, 我們常用的方法是“點差法”,該法模式化強,計算量小,學生易于掌握,其實在面臨“非中點弦”問題時,我們依然可以使用“點差法”,只是在處理非中點問題時,需要根據線段所分得的比值做代數處理,一般把這種方法叫做“定比點差法”,文[1]以橢圓為例給出了該法的簡單介紹,并在兩道圓的問題和兩道橢圓的問題中給出了該法的運用,筆者認為介紹的不夠全面系統,本文在定比分點的基礎上,分別以橢圓、雙曲線、拋物線為例介紹該法的由來,并例舉該法在7 類解幾問題中的應用,全面系統地介紹了“定比點差法”,現與讀者分享交流.

2 “定比點差法”的介紹

2.1 定比分點的定義

若點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則x0=

2.2 “定比點差法”的由來

(1)若點A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓=1(a ＞b ＞0)上,且點P(x0,y0)滿足則

(2)若點A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線=1(a,b ＞0)上,且點P(x0,y0)滿足則

(3)若點A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線y2=2px(p ＞0)上, 且點P(x0,y0) 滿足則于是有= 2p(x1-λ2x2, 整理得即

上述表達式①、②、③的推導方法就叫“定比點差法”,由推導過程可以看出, 該法是“點差法”的更一般的推廣而已,當λ=1 時“定比點差法”即為“點差法”.

3 “定比點差法”的應用

3.1 應用“定比點差法”求點的坐標

例1已知F1,F2分別是橢圓+y2= 1 的左右焦點, 點A,B在橢圓上, 且則點A的坐標是____.

圖1

解析如圖1, 延長AF1交橢圓于點C, 由對稱性得設A(x1,y1),C(x2,y2), 則又所以由點A,C在橢圓上, 則于是有(x1+5x2)(x1-5x2)+3(y1+5y2)(y1- yx2) =-72, 即=-72, 則x1-5x2=聯立x1+ 5x2=得x1= 0, 則A(0,±1).

評注由向量數乘的幾何意義知F1A//F2B且|F1A|=5|F2B|,考慮到橢圓的中心對稱性,可以延長AF1交橢圓于點C,得到|F1C|=|F2B|,從而得到A,F2,C三點共線,且于是定點F1為焦點弦AC的定比分點,自然想到使用定比點差法.

3.2 應用“定比點差法”求離心率

例2已知橢圓=1(a ＞b ＞0),過其左焦點F且斜率為的直線與橢圓交于A,B兩點,若求橢圓的離心率.

解析設A(x1,y1),B(x2,y2), 由得由F(-c,0)得

由點A,B在橢圓上,則故有b2(x1+2x2)(x1-2x2)+a2(y1+2y2)(y1-2x2)=-3a2b2,即-3cb2(x1-2x2) =-3a2b2, 則x1-2x2=聯立x1+2x2=-3c,得x1==所以于是有整理得4a4-13a2c2+9c4=0,則9e4-13e2+4=0,解得或1,又0＜e ＜1,所以

評注處理焦點弦問題時,相較于聯立直線與曲線方程法,定比點差法運算量小,過程簡潔.

3.3 應用“定比點差法”求直線方程

例3已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2,過點F2作直線與橢圓C相交于A,B兩點,且ΔABF1的周長為

(1)求橢圓C的標準方程; (2)若|AB|= 4|F2A|,求直線AB的方程.

解析(1)+y2=1(過程略).

(2) 由|AB|= 4|F2A|, 得設A(x1,y1),B(x2,y2), 得又F2(1,0), 所以由點A,B在橢圓上, 則于是有(3x1+x2)(3x1-x2)+2(3y1+y2)(3y1-x2) = 16,即4(3x1-x2) = 16,則3x1-x2= 4,聯立3x1+x2= 4, 得x1== 18, 則則kAF2=±1,故lAB:y=x-1或y=-x+1.

評注由平面向量共線定理及向量數乘的幾何意義,得自然考慮定比點差法.

3.4 應用“定比點差法”求弦長

例4已知斜率為的直線l與拋物線y2= 3x的交于A,B兩點,與x軸交于點P,若求|AB|.

解析設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,0)(x0＞0),由得則由點A,B在拋物線上, 則于是有(y1+3y2)(y1-3y2)=3(x1-9x2),則x1-9x2= 0, 聯立x1+ 3x2= 4x0, 得x1= 3x0, 又則y1= 3x0, 由y21= 3x1, 得9x20= 9x0,即x0= 1, 則|AP|=故

評注由知該題可使用定比點差法,得到點A橫坐標x1= 3x0,再利用kAP=得到y1= 3x0,利用拋物線方程得到x0= 1,求出|AP|,最后由|AB|=得出答案.

3.5 應用“定比點差法”求定值問題

例5已知過點Q(0,1)的直線與雙曲線-y2=1 交于A,B兩點,與x軸交于點P,若求證λ+μ為定值.

解析設P(x0,0),由得

由點A,B在雙曲線上,則

兩式相減得λ+μ=1.

評注利用得到A,B兩點的坐標,代入雙曲線方程,變形做差得到λ+μ= 1,是定比點差的變形應用.另外,該題可以拓展到一般性,有如下結論:

結論1已知過點Q(0,m)的直線與雙曲線1(a,b ＞0)交于A,B兩點,與x軸交于點P,若則λ+μ=

由于圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是二次曲線,很多時候它們之間存在類似的性質,于是類比聯想,推廣得如下結論:

結論2已知過點Q(0,m) 的直線與橢圓1(a ＞ b ＞0) 交于A,B兩點, 與x軸交于點P, 若

結論3已知過點Q(0,m)的直線與圓x2+y2=r2交于A,B兩點,與x軸交于點P,若則

結論1,2,3 的證明,參照例5.

結論4已知拋物線x2=2py上A,B兩點,若直線AB分別與x,y軸交于點P,Q,且則λ+μ=-1.

證明設P(x0,0),Q(0,y0), 由得由點A,B在拋物線上,則

即

兩式相減得λ+μ=-1.

結論5已知拋物線y2=2px上A,B兩點,若直線AB分別與x,y軸交于點P,Q,若則

結論5 的證明,參照結論4.

3.6 應用“定比點差法”求定值問題

例6已知過點P(6,0)的直線與橢圓+y2=1 交于A,B兩點,C為點A關于x軸的對稱點,求證: 直線BC過定點.

解析設A(x1,y1),B(x2,y2), 直線BC與x軸交于點Q(x0,0), 由題知C(x1,-y1), 由向量的共線定理, 設得

于是有

y1+λy2=y1-μy2=0,則λ=-μ,=x0.由點A,B在橢圓上,則

于是有

即6x0=9,得故直線BC過定點

評注由對稱性,易知直線BC所過定點在x軸上,設所求定點為Q(x0,0), 注意到題中有兩組三點共線, 故設接著使用定比點差法解題.

3.7 應用“定比點差法”求定直線問題

例7已知過點P(4,1)的動直線與橢圓交于A,B兩點,若線段AB上一點Q滿足求證: 點Q總在某條定直線上.

解析設A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),,則

于是有

由點A,B在橢圓上,則

于是有

即4x0+2y0=4,故點Q在直線2x+y-2=0 上.

評注該題改編自2008年高考安徽理科卷,共線的四點成兩組等比例線段,于是設自然想到定比點差法,非常巧妙地得到結論,體現出定比點差法比其他方法的優越性.

4 總結反思

4.1 方法總結

“定比點差法”屬于技巧,并不是解析幾何的通解通法,其適用范圍較窄,從上述例題的解答過程可以看出,當遇到三點共線、定點、成比例等條件時,我們可以嘗試該法.

4.2 解后反思

本文介紹的“定比點差法”,為今后解決一類解幾問題提供了新的思路,相較于聯立直線與曲線方程的通法,該法過程簡潔、計算量小,可以提高解題效率,但是該法有其局限性,我們在日常的學習中,要結合自身掌握程度和實際情況,選擇最佳的解題方法,不能盲目追求某一種解法,要學會從不同的解法中汲取不同的數學思想,從而提高自身的數學核心素養[2].