問題鏈：“趣動數(shù)學(xué)”課堂之思維支點

茅雅琳

摘 要：“趣動數(shù)學(xué)”課堂，教師要善于根據(jù)“學(xué)生已有的知識方法、現(xiàn)有的思維水平和本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)”設(shè)計問題鏈，以激發(fā)學(xué)生的思維活動，習(xí)得新知，提升技能。本文以“角”的教學(xué)為例，分別從前置思考、設(shè)計呈現(xiàn)以及后續(xù)追問三個角度，對問題鏈的設(shè)計進(jìn)行了闡述和探討。

關(guān)鍵詞：問題鏈;“趣動數(shù)學(xué)”課堂;思維活動

我們倡導(dǎo)的“趣動數(shù)學(xué)”課堂，不是簡單地讓學(xué)生記住一些概念公式，學(xué)會一些解題技巧，掌握一些學(xué)習(xí)方法，而是為興趣而教，為思維而教，為核心素養(yǎng)的培養(yǎng)而教。數(shù)學(xué)教師要善于借助問題鏈的設(shè)計，激發(fā)學(xué)生的思維活動，讓學(xué)生習(xí)得新知，提升技能。這里的問題鏈，首先可以理解為問題串，是教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生思維水平而設(shè)置的一系列問題;其次，它們并不是簡單的孤立問題的堆砌，而是層層遞進(jìn)，由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，呈螺旋式上升;最后，它們的產(chǎn)生，既立足于課前預(yù)設(shè)，又源自課堂生成，既有具體的問題，又有模糊的問題框架。下面筆者結(jié)合人教版七年級上冊“角”第一課時的教學(xué)實踐，對“趣動數(shù)學(xué)”課堂的問題鏈設(shè)計進(jìn)行思考，期待各位同仁批評指正。

一、問題鏈設(shè)計的前置思考

“趣動數(shù)學(xué)”課堂可以看成是由問題鏈串聯(lián)而成的，整個課堂就是一個不斷地提出問題、解決問題的場所。由此，問題鏈的設(shè)計顯得至關(guān)重要，它直接決定著課堂的核心，把控著課堂的方向，決定著課堂的效率。基于問題鏈在課堂中的決定性地位，教師在設(shè)計問題鏈之前必須思考以下三個問題。

1.學(xué)生已有的知識、方法——決定問題的梯度

按照建構(gòu)主義理論，學(xué)習(xí)者已有的生活經(jīng)驗、學(xué)習(xí)方法和知識積累，決定著他們解決問題的思路和方式。教學(xué)，并不是簡單的知識和方法的“灌輸”，而是以已有的知識和方法作為學(xué)習(xí)的生長點，引導(dǎo)學(xué)生在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，生長出新的知識經(jīng)驗。學(xué)生在小學(xué)二年級時就學(xué)過角，他們認(rèn)識生活中的角，并會指出角的頂點和邊。再學(xué)習(xí)角，除了認(rèn)識生活中的角以外，還需要從靜態(tài)、動態(tài)兩種角度理解角的定義，并會用正確的方法表示角。這里的再學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了知識的螺旋式上升。從另一個角度來看，剛學(xué)習(xí)了線段的兩種表示方法，這里角的表示方法將與線段的兩種表示方法進(jìn)行類比，擴(kuò)充為四種，還體現(xiàn)了方法的螺旋式上升。針對以上分析，教師的問題應(yīng)該層層遞進(jìn)，富有梯度，問題鏈必須體現(xiàn)遞進(jìn)性。

2.學(xué)生現(xiàn)有的思維水平——決定問題的難度

數(shù)學(xué)是思維的體操，而問題則是思維的媒介。學(xué)生現(xiàn)有的思維水平，制約著他們解決問題的速度和質(zhì)量。對七年級的學(xué)生而言，雖然小學(xué)已經(jīng)對角有過初步的了解，但是沒有進(jìn)行系統(tǒng)的研究，他們的讀圖識圖能力比較薄弱，對于幾何圖形的認(rèn)識還停留在基本的概念之上，教師的問題應(yīng)該緊緊圍繞概念，由易到難，直至揭示概念的本質(zhì)。

3.學(xué)生本課的學(xué)習(xí)目標(biāo)——決定問題的廣度

問題鏈的設(shè)計，不在于量的多少，而在于激發(fā)了學(xué)生哪些層次的思維。教師要對學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)有個準(zhǔn)確清晰的定位，“角”第一課時的學(xué)習(xí)目標(biāo)有以下幾點：（1）會從兩種不同角度理解角的定義;（2）會用不同的方法表示同一個角;（3）會根據(jù)定義尋找一個角，并且會區(qū)分不同的角。教師的問題應(yīng)該緊緊圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)，有的放矢，指向明確精準(zhǔn)，問題鏈更需具有導(dǎo)向性。

總之，教師必須堅持學(xué)生立場，重視已有經(jīng)驗，設(shè)置具有遞進(jìn)性、貼合性和導(dǎo)向性的問題鏈，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、問題鏈設(shè)計的教學(xué)實施

1.“角的定義”問題鏈設(shè)計

朱永新教授指出，理想課堂需要學(xué)生的生命參與。只有建立在學(xué)生已有知識基礎(chǔ)上的問題鏈，才能提高學(xué)生的課堂參與程度。所以，我們的第一個總問題是：同學(xué)們學(xué)過角，請你們說說怎樣的圖形稱為角？對于這個問題，所有學(xué)生都可以回答，回答的角度卻不盡相同。教師通過預(yù)設(shè)學(xué)生答案，設(shè)計如下問題鏈。

生：由一個頂點、兩條邊組成的圖形叫作角。

師：什么是頂點？什么是邊？

生：由兩條射線組成的圖形叫作角。

師：如圖1，能稱為角嗎？

生：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角。

師：你們所說的頂點和邊是什么呢？

（學(xué)生達(dá)成共識：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，其中這個公共端點稱為角的頂點，兩條射線稱為角的兩條邊）

師：剛才是從靜態(tài)的角度認(rèn)識了角，我們能否從運動的角度來認(rèn)識角呢？請同學(xué)們仔細(xì)觀察打開圓規(guī)的過程，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形稱為角。

師：你能從運動的角度來認(rèn)識小學(xué)時學(xué)過的平角和周角嗎？

生：射線繞著端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置與起始位置成一條直線時，得到平角。繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)兩者重合時，得到周角。

思考：雖然學(xué)生在小學(xué)時就學(xué)過角，但他們只是初步認(rèn)識角的形狀，而用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來描述角還存在一定問題。這里問題鏈設(shè)計主要采用追問的形式，通過系列追問，激發(fā)學(xué)生不斷思考，實現(xiàn)由模糊到清晰、由靜態(tài)到動態(tài)、由大致到精準(zhǔn)的轉(zhuǎn)變，從而讓學(xué)生深刻理解角的定義。

2.“角的表示方法”問題鏈設(shè)計

問題鏈的設(shè)置，應(yīng)該基于學(xué)生的思維水平和已有經(jīng)驗，暴露學(xué)生迫切需要解決的問題。學(xué)生根據(jù)前期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，會進(jìn)行角的表示方法的遷移。基于以上對學(xué)生的了解，我們的總問題是：前面我們研究過線段的表示方法，那么怎樣表示一個角呢？預(yù)設(shè)學(xué)生的答案有如下三種：（1）用兩個大寫字母表示;（2）角的表示方法應(yīng)該和直線、射線、線段不同，這里的兩條射線和端點都應(yīng)該體現(xiàn)出來;（3）用三個大寫字母表示，表示成角OAB。教學(xué)中，我們可以設(shè)計如下問題鏈。

師：數(shù)學(xué)追求簡潔，我們可以用符號“∠”來表示角，角的頂點是兩條邊的公共端點，通常寫在中間，可以寫成∠AOB。

師：表示角還有其他方法嗎？

生：是否可以像表示線段那樣，用一個小寫字母表示？

師：可以用一個字母表示成∠O，其中的O表示一個點，寫成大寫字母。

生：能用小寫字母表示角嗎？

師：若用一個小寫字母表示角，我們通常在角的頂點處畫上一段弧，標(biāo)上希臘字母α，這個角還可以表示為∠α。或者標(biāo)上數(shù)字1，這個角也可以表示成∠1。

師：請用不同的方法表示出圖2中的角。

生：老師，您讓我們表示哪個角？

師：當(dāng)一個頂點處有多個角時，確實有必要表示清楚，請表示圖2中最大的角。

生：有四種表示方法，分別是∠AOB，∠O，∠α，∠1。

生：不對，只有一種表示方法，是∠AOB。如果表示成∠O，無法確定表示的一定是最大的角;如果表示成∠α或∠1，則無法在圖形上進(jìn)行標(biāo)注，也缺乏直觀性。

師：我們研究角的表示方法，將圖形用符號語言表示，應(yīng)該指向明確，直觀可視。圖2中最大的角最恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒ň褪恰螦OB。

學(xué)生達(dá)成共識：雖然角的表示方法共有四種，但是當(dāng)一個頂點處有多個角時，我們要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉肀硎尽１硎疽粋€角時我們要遵循的原則是唯一性和直觀性。

思考：類比學(xué)習(xí)知識，并非簡單直接的“套用”，而是需要根據(jù)新學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行必要的調(diào)整和修訂。角的表示與線段的表示不盡相同，這里的問題鏈設(shè)計采用激疑的形式，不斷讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題。

3.“數(shù)角的個數(shù)”問題鏈設(shè)計

為了讓學(xué)生理解角的定義，教師提出第三個總問題：圖3中共有幾個角？

作為一種教學(xué)理念，因材施教一直被人們奉為教學(xué)的最高層次。我們的數(shù)學(xué)課堂也要因“班”施教，因?qū)W設(shè)問。在教學(xué)過程中，教師根據(jù)所教班級學(xué)生的思維水平和能力現(xiàn)狀，可以設(shè)計以下兩種不同的問題鏈。

第一種：由特殊到一般，進(jìn)行方法探尋和規(guī)律梳理（適用于思維能力較弱的班級）。

師：如圖4，分別有幾個角？

生：分別有1個角、3個角、6個角。

師：你是怎么得到6個角的？

生：分類數(shù)角，單個的角共有3個，2個組合的角共有2個，3個組合的角有1個，所以一共有6個角。

師：圖5中共有幾個角？

生：[n（n-1）2]個角。

師：請說明理由。

生：用剛才的方法分類數(shù)角，角的個數(shù)是1+2+…+n-1，求和得[n（n-1）2]。

師：能否從角的定義入手？每個角可以看成由兩條射線組成，如果其中的一條射線確定，那么哪些射線能和它構(gòu)成角嗎？

生：以O(shè)A1為角的一條邊，這樣的角有n-1個;以O(shè)A2為角的一條邊，這樣的角有n-2個;以此類推，圖中角的個數(shù)是1+2+…+n-1。

師：還有其他數(shù)角的方法嗎？

生：若以O(shè)A1為角的一條邊，這樣的角有n-1個;若以O(shè)A2為角的一條邊，這樣的角也有n-1個;這樣共有n個n-1，其中每個角都重復(fù)算了一次，所以角的個數(shù)是[n（n-1）2]。

師：我們之前學(xué)過的線段條數(shù)、三角形個數(shù)、球賽次數(shù)、握手次數(shù)和送賀卡張數(shù)等，數(shù)的方法都是一樣的，我們要善于把學(xué)過的方法進(jìn)行歸納、總結(jié)。

第二種：由一般到拓展，注重方法提煉和結(jié)論推廣（適用于思維能力較強的班級）。

師：圖5中共有多少個角？

生：[n（n-1）2]個角。

師：請用兩種方法說明理由。

師：我們遇到過類似問題嗎？

生：遇到過，如線段條數(shù)、三角形個數(shù)、應(yīng)用題中的球賽比賽場次、握手的次數(shù)等。

師：這些問題的共同特征是什么？我們解決的“通法”是什么？

……

思考：針對思維能力不同的班級，問題的呈現(xiàn)順序不同。對能力弱的班級，從解決特殊問題入手，歸納出解決一般問題的方法，學(xué)生逐漸突破，緩慢提升，循序漸進(jìn)。對能力強的班級，教師則直接拋出一般性問題，不斷地質(zhì)疑追問，讓學(xué)生對自己的解題思路和方法進(jìn)行反思和總結(jié)。兩種不同的問題鏈設(shè)計，最終的指向是相同的。

三、問題鏈設(shè)計的后續(xù)追問

其實，教師的課堂駕馭能力不同、教學(xué)風(fēng)格不同，設(shè)計出的問題鏈不盡相同。再者，問題鏈的設(shè)置，既有課前的預(yù)設(shè)，也有課堂進(jìn)程中的生成，學(xué)生的答案也會決定問題鏈的走向。另外，上述設(shè)計過程只是概念課問題鏈設(shè)計的一種展示，對于習(xí)題課和復(fù)習(xí)課，我們該怎樣設(shè)計問題鏈呢？我們是否可以探尋不同課型的問題鏈設(shè)計的基本范式？推而廣之，不同學(xué)科的問題鏈又該怎樣設(shè)計呢？這些都值得在后續(xù)的研究中繼續(xù)思考和探索。

鮑波爾說：“正是問題激發(fā)我們?nèi)W(xué)習(xí)，去實踐，去觀察。”我們愿以問題鏈設(shè)計為原點，激發(fā)“趣動數(shù)學(xué)”課堂的內(nèi)在動力，讓每個學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中學(xué)會思維，獲得成長。

（作者單位：江蘇省南通市海門區(qū)東洲國際學(xué)校）

參考文獻(xiàn)

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[2]郭思樂.教育走向生本[M].北京：人民教育出版社，2001.