函數觀點下的數列問題研究

王芳

【摘要】數列問題是高考的重點也是難點.本文主要從函數視角研究運用函數求解數列通項公式、前n項求和、最值等問題.在解題過程中，學生體會數列是定義域為自然數集的特殊函數，與函數有共同之處，感悟數學知識之間的內在聯系與區別.

【關鍵詞】函數;數列;數學思想

數列是高考的重要考查內容.荷蘭數學家、教育家弗賴登塔爾指出：無論從歷史的、發生的還是從系統的角度看，數的序列都是數學的基石，沒有數的序列就沒有數的基石.可見數列在高中數學中占據重要的地位，起到承上啟下的作用，它與函數、方程、不等式和解析幾何等內容都有著密切的聯系，是諸多知識的交會點.但在實際的教學中，學生在求解數列問題時體現出的數學思維及能力甚微，學生的學習僅限于模仿，主觀能動性較弱，在求解數列問題時局限于教材涉及的方法，并沒有發揮出數列與其他知識之間的聯系作用.這樣難以發掘學生的潛力，培養學生的思維.

數列并不是簡單的運算和解題的循環.學生從簡單的“數”的研究到復雜的“一列數”的研究，不僅要研究數列關系、規律、特征等，更應該關注數列與其他知識的融合，如在求解數列問題時對函數思想的滲透.

一、函數思想觀點下數列問題的研究

數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型.在數列學習中，應注重數列中各量之間關系的恒等變形.為更好地理解數列的本質，教師要引導學生對日常實際問題進行分析，建立數列模型，探索并掌握數列的一些基本數量關系.

《高中數學課程標準（征求意見稿）》指出，在數列教學中，應該注重強調數列作為特殊函數在解決問題時的作用，突出數列是函數的本質.數列可以看作定義域為自然數集的一種特殊函數.因n取整數點，所以數列是一個準確的值.由此可見，數列具有離散的特點，屬于離散型函數.我們日常生活中遇到的很多問題，如貸款、利率、折扣、人口的增長、放射性物質的衰變等都可以用數列來刻畫.從函數的觀點、模型的觀點以及離散的角度認識數列，可以突出數列的本質.

定義：數列可以看成是以正整數N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）為定義域的函數an=f（n），當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值.反過來，對于函數y=f（x），如果f（i）（i=1，2，3，…）有意義，那么就可以得到一個數列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

數列的通項公式和前n項求和公式可以看成以n，d為自變量的數列的函數解析式.其中等差數列通項公式an是關于n的一次函數，前n項求和公式Sn是關于n的常數項為0的二次函數，兩函數中自變量關于公差系數具有“n升次，d減半”的規律;等比數列通項公式和前n項和可看作底數為q的n次指數函數.由此，在借助函數思想解決數列問題時，進一步滲透函數思想，可使學生深刻理解數列和函數之間的聯系，學會利用函數的眼光處理數列問題.

通過函數的觀點解決數列問題，不僅可以提升學生的知識應用能力，而且可以激發學生思考問題的潛能，進而提升學生的數學思維.高中階段對學生的數學邏輯思維能力要求較高，在數列學習的基礎上，要注重數列和其他模塊知識的聯系，引導學生學會各知識之間的融合，逐步提高學生的創新思維能力.

二、運用函數思想巧解數列問題

1.函數思想觀點下的等差數列通項公式求解問題

此題考查對數列通項公式和前n項和公式的記憶與理解，比較上述兩種求解方法發現，利用方法一求解時計算過程煩瑣，容易由運算錯誤導致失誤.而利用函數思想求解等差數列的通項公式an、前n項和公式Sn，只需求解公差d，再從函數的角度理解“n升次，d減半”，可直接寫出所求結果，提高解題效率，同時保證答題準確率.

2.函數思想觀點下的數列前n項和求解問題

本題通過等差數列的定義快速求解公差d，借用函數思想表示等差數列前n項和，進一步滲透函數思想在數列問題中的應用，加深數學各模塊知識之間的連續性與系統性，同時提高學生解題思維的敏銳性.

本題主要考查求等比數列前n項和，兩種解法相比較，方法一從應用錯位相減法求前n項和入手，逐一求解，解題過程較長，同時需要注意多處細節問題，而從函數的角度考慮，Sn是關于底數q的n次指數函數，公式簡潔明了，學生容易理解，方便記憶，運算簡單.

3.函數思想下數列的單調性與最值問題

注意點（n，Sn）是在常數項為0的二次函數圖像上（n屬于正整數）.如果二次函數的對稱軸橫坐標是正整數，Sn在頂點處取得最值;如果二次函數的對稱軸橫坐標不是正整數，Sn應在最接近對稱軸橫坐標的正整數處取得最值.

在求解數列前n項和的最值問題時，可利用數列的函數定義轉化為求解函數問題，這樣就回歸到學生最熟悉的一元二次函數問題當中，從而深入理解數列的本質問題，進一步明白函數與數列之間的聯系，實現知識之間的整合.

三、數列教學的建議

函數與數列作為高中數學重要的兩大模塊知識，它們之間存在密切的聯系.函數是高中數學的靈魂，而數列是特殊的函數，是高中數學的重要基礎知識，是學生理解和認識離散函數的橋梁.在教學數列概念時，教師可以依據函數的概念揭示數列概念的本質，使學生親身經歷函數思想在數列概念形成過程中的滲透，既加深對數列的理解又鞏固函數知識.在教學求解數列問題時，教師要引導學生學會用函數的眼光看待數列，學會將數列轉化為常見的基本初等函數，再利用函數的圖像與性質求解數列的通項公式、前n項和及最值問題等，使學生對數列知識的學習更清晰明了.在最后復習數列知識時，教師要組織學生自主評析函數和數列知識之間的相互構建過程，提升學生從函數視角對問題進行分析和解決的能力，引導學生學會對知識的整合，使知識更系統化和完整化，擴展學生的思維，激發學生的思維潛能，培養學生自主學習和自我評價的意識.

【參考文獻】

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