從一道高考題的變遷看阿基米德三角形性質(zhì)及其定理的演繹

李真 徐水龍

【摘要】 阿基米德三角形有著豐富的內(nèi)涵、深刻的背景，至今依然是高考命題者的青睞，其有關(guān)性質(zhì)仍是命題專家的熱點(diǎn)素材.本文從一道2008年山東高考題開(kāi)始，探索阿基米德三角形定理的由來(lái)，演繹其性質(zhì)應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】阿基米德三角形定理;性質(zhì)演繹

阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和機(jī)械發(fā)明家.拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形，常被稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形以其豐富的內(nèi)涵、深刻的背景，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中不斷發(fā)出閃耀的光芒，至今依然是高考命題者的青睞，其有關(guān)性質(zhì)也成為命題專家的熱點(diǎn)素材.下面舉例說(shuō)明.

這是2008年理科第22題（部分）.如圖1，設(shè)拋物線方程為x2=2py （p>0），M為直線 y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

本題涉及阿基米德三角形，考查了阿基米德三角形的有關(guān)性質(zhì).

（1）求直線AB與y軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo);

（2）若E為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在E點(diǎn)處的切線與△MAB的邊MA，MB分別交于點(diǎn)C，D，記λ=S△EABS△MCD，問(wèn)：λ是否為定值？若是，求出該定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題（1）求直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由前面分析可知直線AB的方程，我們只需令y=0即可，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（0，2p），是個(gè)定點(diǎn).于是我們猜想弦AB繞著N點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，M點(diǎn)的軌跡是什么？我們?cè)O(shè)M（x，y），有x=x1+x22，y=x1x22p，由A，N，B三點(diǎn)共線，得y=-2p，顯然它是一條直線.我們進(jìn)一步猜想弦AB繞著點(diǎn)G（xG，yG）轉(zhuǎn)動(dòng)，M點(diǎn)的軌跡是什么？由A，G，B三點(diǎn)共線，得（x1+x2）xG-2pyG-x1x2=0，將x1+x2=x，x1x2=y代入，得xGx-p（y+yG）=0，它仍然是一條直線.于是我們得到阿基米德三角形的性質(zhì)2.

性質(zhì)2 若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)G（xG，yG），則另一頂點(diǎn)M的軌跡為一條直線，其方程為xGx-p（y+yG）=0.

特別地，當(dāng)定點(diǎn)G在y軸上時(shí)，性質(zhì)2還有以下推論.

阿基米德三角形定理 拋物線和它的一條弦所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二.

阿基米德三角形背景深刻，內(nèi)涵豐富，我們從一道高考題演繹了阿基米德三角形的性質(zhì)及其定理.

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