高中數學函數分類討論思想的應用分析

顧志堅

【摘要】相較于初中階段的數學題目，高中階段的數學題目綜合性較大，學生在學習時難免會感覺有一定的困難.對此，教師可以借助分類討論思想，讓學生在煩瑣的函數題目中尋找解題規律.本文探討了高中數學函數分類討論思想的應用策略，并結合教學實際，從依據函數概念、利用函數圖像、讓學生找準函數類型等方面討論如何教學才能提高課堂教學質量.

【關鍵詞】高中數學;函數分類討論思想;應用探討

高中階段的眾多數學思想中，學生最容易接受的就是分類討論思想.學生通過分類討論能夠準確把握命題變化特點，并依據自我學習方案，快速解答問題.充分利用分類討論思想，不僅能夠顯著提高學生的解題效率，也可以幫助學生鞏固所學知識.教師應借助分類討論思想為學生的后期學習奠定基礎，并結合學生的實際學習情況，進行有針對性的教學，讓學生找準函數解題方法，提高學生的解題能力.

一、高中數學分類討論的基本類型

對函數類型題目的分類討論是學生解題的關鍵，教師在教學函數內容時，也應遵循一定的教學原則，要不重不漏、分清主次，還要注意因為參數不同而產生的教學結論差異.現在按照不同的教學內容，將教學方式分為如下幾個層面：第一，教師要注意由函數概念引起的一些分類內容.教師要讓學生知道對某些含絕對值的式子，必須先去掉絕對值符號，分清正負，再根據斜率變化的不同將函數分為不同類型.在進行分類時，教師要著重引導學生對參數進行討論.第二，教師要注意由性質公式或者定理性質引起的一些分類內容.教師在教學時要根據應用原則，對其中的某些二次項系數進行分類討論，判斷它們是否需要為0.第三，教師要注意由數學運算引起的分類要求，對某些分母不為0的狀況要引導學生對其進行討論.教師要引導學生利用好導數方法探討函數的單調性，讓學生結合三角函數的定義、正負關系進行分類討論，并讓其根據函數的某些不確定關系了解二次函數最值問題.教師要結合某些對稱關系，做好分類討論教學，上述這幾個層面涉及的函數分類討論題型都是教師在教學時需要關注的重點題型.

二、高中數學函數分類討論思想的應用分析

（一）依據函數概念，進行分類討論

每一類函數題目都有其特定的適用范圍，不同數學題目的解題過程也是不同的.教師在教學時要幫助學生了解題目的分類過程，讓學生通過自我思考找準題目的最優解.在進行函數概念分類討論的過程中，教師需要求學生找準其中的基本定義，明確解題方法，在不同函數方法的應用過程中找到解題要點，這樣才能真正實現分類教學，達到讓學生學以致用的目標[1].

例如，教師在教學“指數函數、對數函數”這部分內容時，為了幫助學生理清函數的分類討論方法提出了如下問題：已知00且不等于1，請比較一下|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大小.在解決該題目時，大多數學生都會認真思考指數函數的定義，理清何為指數函數、何為對數函數、兩者之間到底存在著怎樣的關系.在對比過程中，學生需要弄懂指數函數與對數函數的變化關系，并結合對數函數的特點進行解題.這時教師可以先要求學生梳理指數函數相應知識，讓學生了解指數函數的決定因素就是其變量，而對數函數則是指數函數的一種變式，兩者之間存在著一定的互通關系.之后，學生只要認真閱讀題目，應用對數函數或者指數函數的計算公式進行求解就可以了.在解題時，教師必須引導學生對x的取值范圍做出分類討論，讓學生通過分類討論得出正確結果.教師只有抓準函數概念，才能切實提高數學課堂的教學質量.

（二）利用函數圖像，進行分類討論

加強數形結合思想的應用已成為數學課堂教學的一大重要目標.在一些函數應用題中，一種較為廣泛的類型就是要求學生理解函數圖像的對稱軸，并根據對稱關系解決問題.對于該類題型，教師必須要求學生準確把握對稱軸的信息，與對稱軸有關的題目的解題方法，并對函數圖像進行觀察.學生通過對圖像形狀、圖像交點等內容的分類討論最終求解出正確答案，這樣才能明確一類題目的解題過程.教師只有教會學生如何解題[2]，才能夠真正幫助學生理解題意，達到分類討論教學的最終目標.

例如，教師在教學過程中就給出了這樣一道題目：在坐標平面內有一條曲線，它的表達式為y2=2x.點M（a，0）是一個移動點，可以在空間內隨意移動，求曲線上的點到M點的最短距離f（a）.在做這道題時，大多數學生在看完題目后覺得很難求解，不知道題目所描繪的特殊圖形.對此，教師要引導學生去做的就是畫出函數圖像，讓學生通過畫圖逐漸了解M與曲線上點的相互關系.這時大多數學生能夠借助函數圖像的對稱軸去找出最短距離，以此成功解決問題.在尋找最短距離時，學生需要注意的是該函數圖像是關于x軸對稱的，必須對a是否大于1進行分類討論，這樣才能求解出正確答案.教師在教學時應通過融入數形結合思想，幫助學生理解函數題目的解題步驟，促使教學過程變得形象化，提高數學課堂教學質量.

（三）依據二次函數類型，進行分類討論

與二次函數有關的應用題大致可分為兩類，第一類是定軸動區間，第二類是定軸定區間.對于這兩類題目來講，它們的解題方法是有所不同的.學生只有理解其解題步驟，解題效率才能得到提高.教師在教學時要引導學生對這兩種類型做出辨別，讓學生在學習過程中了解不同定點的關系.定軸動區間問題往往會產生一個較為完整的函數式，但是由于區間位置的不確定，所以學生在解題時會存在一些錯誤.對于定軸定區間問題，教師應該引導學生按照確定區間進行系數求解，并分析其主要情況.

例如，教師在教學定軸定區間題型時，給出的題目是：已知一個二次函數的表達式為f（x）=ax2+（2a-1）x-3，它在區間（-3，2）上的最大值是2，請問a的值是多少？對于該題目，教師應該引導學生理解定軸定區間這類題的解題步驟，讓學生對a的取值范圍進行討論，通過對稱軸的不斷變換，了解a位于不同區間時的不同情況.當學生成功解決問題時，教師應要求學生將a的值做出分類討論，避免出錯.而在教學定軸動區間題型時，筆者給出了如下題目：已知函數f（x）=ax2+（2a-1）x-3在區間（a，3a）上的最大值是9，求a的取值范圍.這時學生會重新調整思路，應用定軸動區間的解題方案畫出一個完整的函數圖像，判別圖像對稱軸的位置，再依照圖像對稱軸的位置做好類型劃分.需要注意的是，在學生解答這兩類題目時，教師應該要求其在解題完成之后進行一定的檢查.教師通過二次函數類型的劃分在課堂中融入分類思想，可以提高數學課堂教學質量.

（四）明確函數類型，進行分類討論

為了使分類討論思想真正發揮其實際作用，教師在教學每一道數學問題前都應該對其解題過程進行深層次的剖析，通過解讀數學問題引導學生理解實際內容，讓學生找到函數的基本類型，在函數類型了解過程中知曉不同函數問題的解決方案.這樣可以幫助學生形成正確的學習觀念，讓學生應用高中階段學習到的函數分類思想去解決問題.

例如，教師在教學換元問題時，就給出了如下例題：已知2t+4=x，6-t=y，x2+2y2=16（0≤x≤4，0≤y≤22）.將函數化為以u為參數的直線段y=x-u，它與橢圓x2+2y2=16在第一象限內有公共點時，函數y=x-u在y上的截距最大值與最小值為umin=22 ，umax=26.就此題的解答過程來講，教師應幫助學生分析該題考查的是指數函數的基本性質.學生理解函數類型之后，只要對某些變量做出改變，就可以成功解決問題了.對于等式左邊的根號，它同為t的一次式.這時教師可以將其化為直線的截距，利用數形結合法與換元法輕松解決問題.教師要引導學生了解直線與橢圓的交點，讓學生在認識過程中再次借助換元法去解決該問題.學生通過明確函數類型，在解題時也有了一個基本的學習方向.這樣能夠幫助學生弄清應用換元法的要點，提高高中數學課堂教學質量.

（五）優化分類模式，進行分類教學

在課堂教學中融入函數分類思想時，教師必須有針對性地對學生的學習過程做出指導，要選擇學生更容易接受的教學方式，使學生能夠在學習過程中理清所要學習的內容.教師應盡可能從學生傾向的學習模式開始進行引入，并了解傳統函數課程教學存在的一些不足.

例如，教師在教學最值問題時就給出了這樣一道例題：求函數y=x2+4+x2-8x+17的最小值.在解決這道問題時，教師可將x2+4看作是A（x，0）與B（0，2）之間的距離，把（x-4）2+1看作是A（x，0）與C（4，1）之間的距離，之后通過圖形探知模式，了解到這道題實際上就是求解最短距離BC.如果教師在教學時只是局限于代數教學方法，學生就會很難了解到解決問題的實質.教師這時不妨轉換一下教學思路，聯想之前學生已了解過的兩點間距離公式，通過距離公式的轉換，讓學生尋找解決該問題的新步驟.學生會在學習過程中理解畫圖對解決函數問題的重要性，這也能提高高中數學課堂教學質量.

（六）勾勒函數結構，進行分類討論

為發揮出分類討論思想在函數解題過程中的實際作用，教師要基于函數設計過程進行分類討論教學，在高中數學函數分類模型的構建過程中始終結合學生學習數學的基本特點，優化現階段的數學教學形式，促使學生在數學解題過程中自身能力得到提升.

例如，教師在教學求解函數單調性問題時就給出了這樣一道例題：已知x，y為正實數且x+y=4，求解x2+1+y2+4的最小值.就該題的解題過程來講，教師可以設線段AB=4，AP=x，PB=y，AE=1，BD=2.因為PE=x2+1，PD=y2+4，所以通過連接線段ED和AB交于C點，之后再將該題的算式化為PE+PD與CE+CD，就可以求解出最小值.對于該題的解題過程來講，教師首先要引導學生觀察這兩個算式的基本特征.學生通過了解，也知曉了這些算式實際上就是兩個直角三角形斜邊的和，發現將其轉化為直角三角形求解更為方便.在轉化過程中，學生的思路一下子就被拓寬了，也會結合后期的數形結合思想進行該道題的分類討論.教師在教學時應勾勒函數結構，從而提高高中數學課堂教學質量.

教師在高中階段的數學教學過程中，必須注重分類討論思想的融入，通過分類討論突破函數這一難點，讓學生在短時間內提高自身解題效率，完成解題正確率的提升.教師可以從依據函數概念、利用函數圖像、依據二次函數類型等方面進行分類討論，對現有的函數課堂教學步驟做出改進，并結合具體的案例，要求學生在學習過程中掌握函數問題的一般解決方法，提高學生的理解能力，讓學生的綜合素養得以發展，以此提高高中數學課堂教學質量.

【參考文獻】

[1]高堅.談高中數學分類討論思想的應用[J].數理化學習，2014（08）：59.

[2]樸希蘭.分類討論思想在高中數學教學中的應用[D].延吉：延邊大學，2015.