數形結合：給思維展翅的機會

錢紅娟

摘? 要：數形結合是數學中的重要思想和解題方式，同時也是轉換思維的主要手段，能有效提升學生的解題能力。但是，當前的數學教學過多強調成績，而忽視了對學生數學思維能力的培養。教師要轉變教學思想，以提高教學效率。

關鍵詞：初中數學;數形結合;一次函數

一次函數是初中數學的重要內容，也是滲透數形結合思想的生動范例。教師可以從兩個方面來組織教學，一方面，以數解形，將“形”的本質展露出來;另一方面，以形助數，把抽象的“數”變成可以親近的“形”。在教學過程中，教師要做到授人以漁，即讓學生感知數形結合思想，并巧妙地利用其解決問題。

一、以數解形，撥動學生的創新思維

創新思維是學生重要的思維能力，數形結合能為創新提供媒介，敦促其生成。

題目1? 如圖1，x軸上有五個點，它們的橫坐標依次為1，2，3，4，5，分別過這些點作x軸的垂線與三條直線[y=ax，y=a+1x，y=a+2x]相交，其中[a>0]。則圖1中陰影部分的面積是多少？

大部分學生看到題目后會知道這是一道函數題，于是從已知的橫坐標入手進行解題，分別將x = 1，2，3，4，5帶入三個直線解析式，并求出相應的縱坐標，進而利用相關數據求得結論。雖然這種做法可以得到正確答案，但是卻非常煩瑣。為此，教師可以在前面的教學基礎上建議學生從幾何圖形的角度去思考這個問題，將零散的圖形通過之前學過的平移聚集在一起。圖1中的陰影面積與相對應的空白面積并不能直觀看出同樣大，要想平移，需要先證明兩者面積一樣大。通過計算，可以發現相鄰兩條平行于y軸的直線內的陰影與空白圖形的對應邊（三角形底邊，梯形的上底和下底）相等，且高都為1，根據對應的面積公式，可求得對應圖形的面積相等，進而確定平移后的陰影面積就是直線[y=ax，y=a+1x]與直線[x=5]所圍成的三角形的面積，由此可以快速計算出圖中陰影部分的面積。函數是代數中比較復雜的問題，引導學生利用數形結合解決相關問題，不僅可以簡便計算、提高解題的正確率，而且還可以拓寬學生的解題思維，提升學生的數學學科核心素養。可見，解題的關鍵在于創新思維，而數形結合為創新思維提供了土壤。

二、以形助數，激勵學生的擴散思維

數形結合能成為學生思考的一個聚點，學生能由數想到形，也可以由形想到數，這就是擴散思維的形成過程。

題目2? 如圖2，已知一次函數[y=kx+b]的圖象經過[A-2，-1，][B1，3]兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D。

（1）求一次函數解析式;

（2）求線段CD的長;

（3）求∠AOB的度數。

第（1）小題根據兩點確定一條直線，用待定系數法即可解決問題，考查了學生對知識的識記能力。第（2）小題要求線段CD的長，可以根據點C，D的坐標所表示的幾何意義得到線段OC，OD的長度，再由勾股定理求CD的長度，考查了學生綜合運用知識的能力。第（3）小題，由于△AOB是鈍角三角形，直接求∠AOB的度數比較復雜，怎樣分散難點呢？我們可以先求出∠AOB補角的大小，因為題中各點的坐標已知，故可以根據坐標的幾何意義求線段的長度，再將思維進一步擴散，即利用勾股定理的逆定理將邊的條件轉化為角的條件。通過解題的過程不難發現，將問題情境擴散到平面直角坐標系這個大環境中后，可以由數的途徑求得邊長，再利用勾股定理這座橋梁，便可以簡單地求出角的度數。

在一次函數中，對數與形進行思維擴散的終點就是圖象，即看到數要聯想與之相關的形，看到形則要嘗試將其轉變為簡單的數。擴散思維就是要將數與形作為思考問題的左右手，缺一不可。

三、數形結合，培養學生的分析思維

數學學習的過程是學生分析能力發展的過程，也是學生由淺入深的學習過程，是學生不斷借助外物思考的過程。

題目3? 如圖3，直線[l1：y=x+1]與直線[l2：y=mx+n]相交于點[Pa，2，] 則關于x的不等式[x+1≥mx+n]的解集為? ? ? ? 。

解題時，學生先會根據兩直線交點坐標求出[a=1，] 但是接下來只能根據已知坐標知道[m，n]之間的關系，并不能確定具體的解析式，代數的解題方法無法繼續解法這道題目。這時教師需要啟發學生將目光轉向函數圖象，讓他們將[l1]的縱坐標大于等于[l2]的縱坐標的部分標出來，這樣可以直觀地看到包括點P在內的右邊部分都是符合要求的。又因為點P的橫坐標[a=1，] 所以這個不等式相對應的解集[x≥1]。可見，此題運用一次函數的圖象和性質把數與形巧妙地結合起來。借圖分析，又由圖轉數，不僅減少了計算量，而且提高了解題的效率。

四、結束語

數形結合就是讓學生進行問題的轉化，這就需要教師賜予學生一雙“慧眼”，引導學生做到“眼中有形，心中有數”，從而以數解形、以形助數。

參考文獻：

[1]白輝. 數形結合思想在初中數學教學中的滲透[J]. 科學咨詢（教育科研），2020（4）.

[2]張玉翠. 數形結合巧運用? 思維能力妙培養[J]. 名師在線，2020（10）.