無心外圓磨削能耗建模及優化研究

丁 成，張 華，鄢 威

（武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢 430081）

1 引言

無心外圓磨削是機械行業中一種必不可少的加工方法，例如在加工滾柱、柱塞、軸承套圈等時，除端面外，其他表面幾乎都采用無心外圓磨削。無心外圓磨削在零件的精加工上應用較多，而磨削工藝參數的合理選取，不僅可以提高零件的加工精度，而且能夠使廢品率和生產成本也相應減少[1]。磨削工藝參數的優化問題需要在符合產品技術要求（如表面粗糙度）和磨削加工條件（機床電動機功率要求范圍及允許的最大磨削速度、最大磨削力和磨削深度）等設計約束的條件下來進行討論，計算出最佳工藝參數（砂輪轉速、導輪轉速、導輪架進給速度等），從而達到提高經濟效益的目的（如以最小能源消耗作為決策目標）[2]。伴隨著現代科技行業的高速發展，各類軟件平臺層出不窮，MATLAB 已成為解決最優化問題所必不可少的工具之一，在優化領域中被廣泛運用[3]。其具有的初始參數簡單化、少編程工作量及強大的圖形處理能力等優點，在無心外圓磨削工藝參數優化問題中也卓有成效[4]。通過分析磨削過程的受力情況來建立無心外圓磨削過程的能耗模型，運用蜜蜂進化型遺傳算法并結合MATLAB 實現運算，是一種尋求無心外圓磨削最優工藝參數、減少磨削過程能源消耗的新方法。

2 無心外圓磨削能耗優化模型

2.1 磨削力模型的建立

無心外圓磨削時工件作回轉中心不定的運動，工件將自由放置在砂輪與導輪之間，由托板對其起支撐作用，工件在砂輪和導輪的聯合作用下做回轉運動并被不斷削除。降低磨削過程的機床能量消耗，實現資源的合理配置對磨削力分析必不可少。而計算磨削力可選用公式進行推導或者用多次實驗的方法來測定，如果采用實驗的方法來測定，將會提高能源消耗及工作成本，因此可通過分析磨削過程中磨削力的詳細受力情況來建立理論模型[5]。從物理學的角度研究單一磨粒的磨削受力情況，當磨粒開始磨削工件時，工件會產生相應的抵抗力，如圖1 所示為磨削過程中工件表面的各項受力情況。不考慮摩擦力的作用，磨削力dFx垂直作用在磨粒表面上，其詳細受力情況，如圖2 所示。磨削過程中能耗主要受dFx的切向分力dFt影響，結合文獻[6]得到切向磨削力的公式為：

式中：Vw—工件線速度；Vs—砂輪線速度；ag—磨粒磨削深度；ω—磨粒間隔；dw—工件半徑；ds—砂輪的半徑；ap—砂輪磨磨削深度；k值大小和工件材料有關；q—經驗常數，約為0.3。

圖1 磨削過程受力分析Fig.1 Force Analysis of Grinding Process

圖2 磨粒上的作用力方向Fig.2 Direction of Force on the Abrasive Grain

其中的Nd—動態有效磨刃數，由文獻[7]人的計算，對于砂輪與工件的接觸弧長ls范圍內的動態磨刃數Nd（l）為：

其中，α 和β 的數值大小取決于磨刃形狀及磨粒分布情況，一般情況下：0＜α＜2/3，1/3＜β＜2/3。

2.2 優化變量及目標函數

（1）優化變量的確定無心外圓磨削過程中，能耗主要受砂輪線速度Vs，工件線速度Vw，導輪架進給速度Vc的影響。假設磨削深度為定值，砂輪線速度Vs越大，盡管磨削力小，但是功率和能耗變大；工件線速度Vw越大，磨削力越大，能耗越大；導輪架進給速度Vc大小隨著導輪線速度的變化而變化，因此將該磨削三要素作為優化決策變量。

（2）優化目標的確定主要從能量消耗的角度對參數進行優化，磨削時的功率：

式中：t—磨削的時間，因此將式（8）作為無心外圓磨削過程能耗的目標函數。

2.3 約束條件

磨削加工過程中，決策變量應滿足各種加工條件限制，根據磨削加工的實際，選取機床功率約束、表面粗糙度、磨削用量約束作為約束條件：

（1）考慮效率系數η 后，機床功率約束為[6]：

式中：Pmax—機床額定功率，η 一般取0.85。

（2）相對比其他加工方式，磨削屬于比較精密的加工工藝，在工件表面粗糙度的要求上會更高。查閱磨削加工手冊，平均表面粗糙度的經典值是（0.15～2.5）μm[8]，為了方便測量，在此選定為2μm，所以外圓磨削表面粗糙度約束應為：

（3）磨削用量的約束包括砂輪轉速Vs、導輪轉速Vw、導輪架進給速度Vc[9]。分別需滿足約束式：Vsmin≤Vs≤Vsmax，Vwmin≤Vw≤Vwmax，Vcmin≤Vc≤Vcmax。

綜上分析，無心外圓磨削的能耗優化模型如下：

3 改進的蜜蜂進化型遺傳算法

3.1 算法簡介

傳統的簡單遺傳算法（SGA）存在著效率低、精度差和計算復雜等問題，在許多情況下不是十分有效，它是通過隨機搜索進行運算，浪費了不必要的運行時間，局部尋優能力比較差。為了避免以上缺點，在遺傳算法的基礎上進行改進得到了一種新的蜜蜂進化型遺傳算法，該算法從蜜蜂的繁殖進化過程中獲得啟示：每個蜂群都有一個最優個體蜂王，其與一般的雄蜂個體以給定概率進行交叉和變異操作，為了開辟算法的多樣性，引進隨機種群參與到子代的進化過程中，使算法的勘探能力大大提升。因為蜂王是種群的最優個體且每一步都存在，算法搜索最優信息的能力大大提高，所以能夠保證在收斂速度上有顯著的提升，又因為在進化過程中有隨機種群的加入，提高了算法結果的精準程度，排除了算法陷入局部最優的缺點。

3.2 算法步驟

蜜蜂進化型遺傳算法的原理步驟如下：

（1）將算法的各種參數進行初始化操作，包括種群大小、種群規模參數χ、交叉概率、變異概率、迭代次數，設此時的進化代數為0。（2）首先生成一個初始種群A（t），種群總數量為N，設定種群規模數量。將蜂王Queen 標記為最優適應個體，剩下的作為一般雄蜂。（3）執行t=t+1，在上一代種群A（t-1）中用輪盤賭算法選出χN/2 個雄蜂，并隨機生成（1-χ）N/2 個一般雄蜂，將二者合并組成新種群。（4）種群最優個體蜂王Queen 與種群A（t）的一般雄蜂進行染色體交叉互換，新的子代種群為B（t）。（5）將新的子代種群進行染色體變異操作并標記新種群C（t）中最優適應的個體為Queen’。（6）將Queen’與Queen 進行對比，若Queen’的適應度優于Queen，令Queen=Queen’，并且將C（t）替代為種群A（t）；否則Queen 將代替C（t）中適應度最差的個體而得到新的種群A（t）。（7）最后檢測是否符合停止運算的條件，若符合，停止運算并輸出運算結果；不符合則重回（3）。改進的蜜蜂進化型遺傳算法的運行流程，如圖3 所示。

圖3 改進的蜜蜂進化型遺傳算法Fig.3 Improved Bee Evolutionary Genetic Algorithm

選擇算子：目的是用相應選擇算法來篩選出父代個體中符合條件的子代。而輪盤賭選擇算法是將一個輪盤按比例分成多個扇面，每個扇面都代表種群的一個個體，扇面面積的大小正好體現出該個體的適應程度，面積越大，適應度越高，面積越少則適應度越差。適應度的大小決定了遺傳概率的大小，概率越高則越容易在遺傳環境中生存下來，概率低的則容易在自然法則下淘汰，此方法非常符合自然界中“優勝劣汰，適者生存”的定律，因此將輪盤賭作為選擇算法。

交叉概率：交叉概率的典型值大小一般為（0.4～0.99）。在此選擇交叉概率為0.6 來防止后代種群出現大范圍發散現象。

變異概率：變異概率的大小能夠顯著影響算法的收斂速度和結果的精確度。如果變異概率大，種群在進化時能夠產生更多樣的新個體，增加了求解的多樣化，但是同時也意味著更低的收斂速度。變異概率小，進化時顯得更加單一，種群中新個體減少，解的搜索范圍變小，弱化了解的準確度，但相應的收斂速度會有很大提升。變異概率的典型值大小一般為（0.0001～0.1），在此取0.01 保證解的精確度。

停止條件設定為進化代數，此處選取最終迭代數為200。

4 案例研究

軟件MATLAB 擁有較強大的運算能力、圖形處理、交互式功能以及開放的編程環境。它所自帶的工具箱中也各類實用優化算法和功能模塊，可以用來解決約束非線性、無約束非線性極值、非線性系統方程等各類復雜的優化求值問題，為工程技術人員帶來了極大的便利[10]。為了驗證蜜蜂進化型遺傳算法的有效性，必須利用MATLAB 軟件編制相應的M 文件，然后在計算機上調試運行來求得最優解。

為了讓進化過程的收斂速度能夠更好的對比顯示，我們分別用兩種遺傳算法對能耗模型進行500 次實驗，比較如圖4 所示，圖中可以看出，蜜蜂進化型遺傳算法相較于傳統的遺傳算法在收斂速度上有明顯提升，可以在50 代以內求出最優解。而傳統簡單遺傳算法卻在接近150 次的時候才達到近似最優解。

圖4 收斂速度對比Fig.4 Comparison of Convergence Speed

為了驗證由蜜蜂進化型遺傳算法得到的最優解的合理性，有必要將結果與傳統的簡單遺傳算法求得的結果進行分析比較，在MG1050 無心磨床對（20×50）mm 的45#鋼圓柱件進行磨削加工，磨削深度選定為0.15mm，磨削時間為30s。能耗優化結果對比如表1 所示，可以看出在使用蜜蜂進化型遺傳算法優化過的參數進行加工時，比遺傳算法優化的參數進行加工所消耗的能量要減少58J。

表1 能耗優化結果對比Tab.1 Comparison of Energy Consumption Optimization Results

5 結論

通過分析無心外圓磨削過程的受力情況建立磨削力的模型，在考慮了機床性能和加工約束條件的基礎上建立了以能耗為目標的數學優化模型。并運用MATLAB 軟件分別結合蜜蜂進化型遺傳算法和傳統簡單遺傳算法進行最優值求解，將所得砂輪轉速、導輪轉速和導輪架進給速度進行實驗對比分析，確認蜜蜂進化型遺傳算法相比傳統的遺傳算法在收斂速度和結果精度上更具有優勢，能夠實現降低能源消耗的目的。