一類三平移3-RRC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

羅建國(guó)，邱杰清，趙韻秋

（1.華北科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，北京101601；2.華北科技學(xué)院研究生院，北京101601）

1 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度較大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、誤差小、精度高、易于實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動(dòng)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，使其在某些領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1]。三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)是僅有一個(gè)位姿的特殊并聯(lián)機(jī)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于精密加工、醫(yī)學(xué)、微電子、精密測(cè)量等精密工程等領(lǐng)域。許多學(xué)者對(duì)三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行過(guò)研究，并提出了很多不同類型的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)[2-5]。3-RRC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在一定結(jié)構(gòu)下可實(shí)現(xiàn)三維平移。文獻(xiàn)[6]對(duì)一種各支鏈3 運(yùn)動(dòng)副軸線平行且對(duì)稱的3-RRC 進(jìn)行了速度和加速度分析，文獻(xiàn)[7-9]分別對(duì)一種各支鏈3 運(yùn)動(dòng)副軸線平行且3 支鏈相互位置一定的3-RRC 進(jìn)行了位置分析、特殊位形分析、工作空間分析。

對(duì)一類各支鏈3 運(yùn)動(dòng)副軸線平行的3-RRC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了自由度分析、正逆解求解、工作空間求解、奇異位形分析，并給出了簡(jiǎn)潔又快速的計(jì)算分析方法。

2 結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)系建立

3-RRC 并聯(lián)機(jī)器人，如圖1 所示。它由三條結(jié)構(gòu)相同的分支及動(dòng)（上）平臺(tái)和靜（下）平臺(tái)組成，各支鏈3 運(yùn)動(dòng)副軸線平行，并且各支鏈的第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和圓柱副分別固定在靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)上。在靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)內(nèi)心處固聯(lián)固定坐標(biāo)系O-XYZ、動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz，如圖1 所示。使Y軸與轉(zhuǎn)動(dòng)副A1的軸線垂直，y軸與圓柱副C1的軸線垂直，Z軸與z軸垂直于靜平臺(tái)豎直向上，X軸與x軸由右手迪卡爾坐標(biāo)系確定方向。設(shè)θi為AiBi繞轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai的軸線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與OXY平面平行的轉(zhuǎn)角，φi為BiCi繞轉(zhuǎn)動(dòng)副Bi的軸線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與OXY平面平行轉(zhuǎn)角，OA2、OA3與OA1的夾角分別為δ2、δ3，轉(zhuǎn)動(dòng)副Ai和Bi軸線之間的距離為ai，轉(zhuǎn)動(dòng)副Bi和Ci軸線之間的距離為bi，動(dòng)平臺(tái)內(nèi)接圓半徑為r，靜平臺(tái)內(nèi)接圓半徑為R，其中θi、φi由機(jī)構(gòu)的位形決定，ai、bi、r、R、δ2、δ3由機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)確定，（i=1、2、3）下同。

圖1 三平移3-RRC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 3-DOF Translational 3-RRC Parallel Mechanisms

3 自由度分析

基于螺旋理論（反螺旋）的自由度分析原理和修正的Kutzbach-Grübler 公式求解機(jī)構(gòu)的自由度[10]，該方法不僅可以計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目還可以通過(guò)動(dòng)平臺(tái)約束螺旋系的反螺旋得到動(dòng)平臺(tái)的自由度性質(zhì)。這里討論的3-RRC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在任一位形下，圓柱副C1、C2、C3的軸線都平行于靜平臺(tái)，即動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)平行，在此前提下分別分析各支鏈。在支鏈i的Ai上建立坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi，如圖2 所示。

圖2 支鏈結(jié)構(gòu)Fig.2 One RRC Limb

支鏈i對(duì)動(dòng)平臺(tái)有2 個(gè)約束分別為垂直于動(dòng)平臺(tái)的約束力偶和平行于動(dòng)平臺(tái)的約束力偶。

表1 3-RRC 在非約束奇異位形下的自由度Tab.1 DOF of 3-RRC in Unconstrained Singular Configuration

綜上可知，當(dāng)3 個(gè)支鏈各自的3 個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線都不共面時(shí)，3 個(gè)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)有6 個(gè)力約束如表1 的第一種情況，其中3 個(gè)支鏈都施加了豎直向上的力約束，即公共約束λ=1，去除多余的公共約束后3 個(gè)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)只有3 個(gè)獨(dú)立的約束，即冗余約束v=4-3=1。再對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系求反螺旋得到3 個(gè)獨(dú)立的移動(dòng)運(yùn)動(dòng)螺旋從而斷定動(dòng)平臺(tái)具有3 平移運(yùn)動(dòng)。該機(jī)構(gòu)的自由度可由修正的Kutzbach-Grübler 公式計(jì)算，考慮公共約束λ=1 和冗余約束v=1，有：

式中：M—機(jī)構(gòu)的自由度；d—機(jī)構(gòu)的“階”由公共約束λ 確定，d=

6-λ；n—包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目；g—運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目；fi—第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度；v并聯(lián)冗余約束；ξ—機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度。

假設(shè)支鏈i的3 個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線共面，同理可得到其約束反螺旋系有3 個(gè)螺旋為：

對(duì)比可知，3 個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線共面將對(duì)動(dòng)平臺(tái)多產(chǎn)生一個(gè)過(guò)AiBiCi的力約束，從而改變機(jī)構(gòu)自由度和動(dòng)平臺(tái)自由度。分4 種情況分析，如表1 所示。

綜上可知對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到特定位形時(shí)，有一條或幾條支鏈上原來(lái)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)螺旋變得線性相關(guān)則會(huì)在動(dòng)平臺(tái)上引入一個(gè)或幾個(gè)新的約束螺旋，在新約束螺旋和舊約束螺旋組成的螺旋組中獨(dú)立的新約束螺旋數(shù)和非獨(dú)立的新約束螺旋數(shù)分別與動(dòng)平臺(tái)自由度減少數(shù)和機(jī)構(gòu)自由度增加數(shù)相等。對(duì)于這里的3-RRC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)至少有1 條支鏈的3 個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線共面時(shí)，有支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋線性相關(guān)必引入獨(dú)立的新約束使得動(dòng)平臺(tái)自由度減少，機(jī)構(gòu)處于運(yùn)動(dòng)奇異。

4 位置求解

圖3 動(dòng)平臺(tái)俯視圖Fig.3 Top View of Mobile Platform

設(shè)動(dòng)平臺(tái)上點(diǎn)P在固定坐標(biāo)系的位置為（XP，YP，ZP）T，并用Z-Y-X型歐拉角（α，β，γ）T表示動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)的姿態(tài)。由于機(jī)構(gòu)處于任一位形下都有圓柱副C1、C2、C3的軸線分別平行于轉(zhuǎn)動(dòng)副A1、A2、A3的軸線，從而恒有α=0、β=0、γ=0。動(dòng)平臺(tái)俯視圖，如圖3 所示。DXY為靜平臺(tái)OXY在動(dòng)平臺(tái)上的投影，直線l1、l2、l3分別與圓柱副C1、C2、C3的軸線重合，c1、c2、c3分別為D點(diǎn)至C1、C2、C3的位移。在坐標(biāo)系Oxy中，l1、l2、l3的直線方程及C1、C2、C3的坐標(biāo)不難得到，再由點(diǎn)到直線的距離公式可求得c1、c2、c3如下：

4.1 位置逆解

位置逆解是當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和動(dòng)平臺(tái)的位姿（XP，YP，ZP，α，β，γ）T給定時(shí)，求各支鏈作為輸入的轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角或移動(dòng)副的位移。根據(jù)主動(dòng)副確定準(zhǔn)則，以每個(gè)支鏈的第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副作為輸入，即（θ1，θ2，θ3）T。由上面的分析可知這里的3-RRC機(jī)構(gòu)僅有一個(gè)姿態(tài)，即（α，β，γ）T=（0，0，0）T，所以對(duì)于給定的位姿（XP，YP，ZP，α，β，γ）T≠（XP，YP，ZP，0，0，0）T時(shí)無(wú)解。下面對(duì)（XP，YP，ZP，α，β，γ）T=（XP，YP，ZP，0，0，0）T的情景進(jìn)行求位置逆解。

取支鏈i求解，當(dāng)XP、YP、ZP給定時(shí)可由式（5）可求出ci。在圖2 中Ai-xiyizi坐標(biāo)系下Ai、Ci坐標(biāo)分別為Ai（0，0，0）、Ci（0，ci-R，ZP），則Bi為以Ai為圓心ai為半徑的圓Ai與以Ci為圓心bi為半徑的圓Ci的交點(diǎn)，Bi存在即逆解存在，其必要條件為：

二元二次方程組最多可有2 組解，如式（7）所示。每組解可確定唯一θi，可由下式解得：

綜上可知對(duì)于這里的3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)當(dāng)給定位姿（XP，YP，ZP，α，β，γ）T時(shí)，每條支鏈最多可有2 組解，3 條支鏈最多8 組解，即8 種位形。

4.2 位置正解

位置正解是已知結(jié)構(gòu)參數(shù)和機(jī)構(gòu)輸入（θ1，θ2，θ3）T時(shí)，求動(dòng)平臺(tái)的位姿（XP，YP，ZP，α，β，γ）T。由于討論的3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)僅有一個(gè)姿態(tài)，即（α，β，γ）T=（0，0，0）T，所以對(duì)于任意輸入（θ1，θ2，θ3）T，動(dòng)平臺(tái)的位姿（XP，YP，ZP，α，β，γ）T=（XP，YP，ZP，0，0，0）T。

當(dāng)給定（θ1，θ2，θ3）T時(shí)，在Ai-xiyizi坐標(biāo)系下可得Bi（0，-ai Cθi，aiSθi）、Ci（0，ci-R，ZP），Bi、Ci兩點(diǎn)間距離即為bi，可列出如下關(guān)系式：

三元二次方程組，最多可有8 組解，如式（10）所示。并且從式（10）可以看出正解為3 個(gè)圓柱面的交點(diǎn)，其軸線與半徑分別如下：

（1）軸線方程：Z=a1Sθ1，-Y-r+R-a1Cθ1=0；半徑為b1。

（2）軸線方程：Z=a2Sθ2，XSδ2-YCδ2-r+R-a2Cθ2=0；半徑為b2。

（3）軸線方程：Z=a3Sθ3，XSδ3+YCδ3+r-R+a3Cθ3=0；半徑為b3。

可以用CAD 軟件繪制出對(duì)應(yīng)的3 個(gè)圓柱體并求交得到相交體，頂點(diǎn)坐標(biāo)即為正解。

5 工作空間求解

綜合位置逆解中對(duì)3 條支鏈的分析，可知對(duì)于給定的動(dòng)平臺(tái)位置（XP，YP，ZP）T有位置逆解的充分必要條件為：當(dāng)i=1、2、3時(shí)，XP、YP、ZP都滿足式（6）。

所有有逆解的（XP，YP，ZP）T構(gòu)成了這里3-RRC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間，其方程如下：

當(dāng)（XP，YP，ZP）T位于可達(dá)工作空間表面時(shí)，式（11）至少有1個(gè)等號(hào)成立，即至少有1 條支鏈的3 個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線共面，機(jī)構(gòu)剛好處于運(yùn)動(dòng)奇異。當(dāng)至少有1 條支鏈的3 個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線共面時(shí)，式（11）至少有1 個(gè)等號(hào)成立，（XP，YP，ZP）T剛好位于可達(dá)工作空間外表面。所以處于運(yùn)動(dòng)奇異的所有位形與（XP，YP，ZP）T位于可達(dá)工作空間表面的所有位形一致。

式（12）的解為3 個(gè)空心圓柱的交。利用CAD 軟件繪制對(duì)應(yīng)的3 個(gè)空心圓柱并求交得到工作空間。

5.1 實(shí)例驗(yàn)證

給出結(jié)構(gòu)參數(shù)a1=a2=a3=b1=b2=b3=200mm、r=25mm、R=50mm、δ2=δ3=120°。

將結(jié)構(gòu)參數(shù)代入（11）得：

使用Autodesk 公司的AutoCAD 軟件繪制了如圖4（a）的3個(gè)圓柱體，并求交得如圖4（b）的對(duì)稱實(shí)體，即可達(dá)工作空間。利用AutoCAD 的查詢功能可得到工作空間實(shí)體對(duì)象的一些信息，其中體積為290429255.0425mm3，頂點(diǎn)坐標(biāo)也可得到，如圖4 所示。

圖4 工作空間求解Fig.4 Workspace Solution

下面對(duì)所得工作空間中的點(diǎn)求逆解再求反解以驗(yàn)證結(jié)果的正確性。

取圖4（b）中工作空間的4 個(gè)頂點(diǎn)為動(dòng)平臺(tái)P點(diǎn)位置求逆解。已知結(jié)構(gòu)參數(shù)，并分別取（XP，YP，ZP）T=（0，0，399.218mm）T、（-86.6025mm，-50mm，392.9058mm）T、（0，100mm，392.9058mm）T、（86.6025mm，-50mm，392.9058mm）T可得逆解，如表2 所示。由于選取了極限位移點(diǎn)逆解僅有一組。

正解計(jì)算：

取逆解計(jì)算中得到的4 組（θ1，θ2，θ3）T作為正解的輸入。已知結(jié)構(gòu)參數(shù)，并分別取（θ1，θ2，θ3）T=（86.4167°，86.4167°，86.4167°）T、（79.1931°，100.1931°，79.1931°）T、（100.1931°，79.1931°，79.1931°）T、（79.1931°，79.1931°，100.1931°）T可得正解，如表2 所示。

可以看出正逆解的計(jì)算值非常吻合，并且求得的所有正解仍滿足式（12），驗(yàn)證了所求工作空間的正確性。

表2 實(shí)例位置正逆解 長(zhǎng)度單位：mmTab.2 Inverse and Forward Position Solution of the Instance

6 奇異位形分析

按形成原因分奇異可分成2 類[11]：運(yùn)動(dòng)奇異、約束奇異。

對(duì)于分析的3-RRC 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)奇異已經(jīng)在自由度分析中給出了產(chǎn)生的條件，即至少有1 條支鏈的3 個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線共面，并在工作空間分析中給出了處于運(yùn)動(dòng)奇異的所有位形。下面分析約束奇異。

鎖住該3-RRC所有的主動(dòng)件，則獲得一類各支鏈3 運(yùn)動(dòng)副軸線平行的3-RC并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如表3 所示。做出其動(dòng)平臺(tái)約束分布圖并進(jìn)行自由度分析。

表3 3-RC 在不同位形下的自由度Tab.3 DOF of 3-RC in Different Configurations

當(dāng)鎖住所有的主動(dòng)件所獲得的3-RC并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有表3 中的3 種特征，則此時(shí)3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于約束奇異。對(duì)比表1 和表3 可以發(fā)現(xiàn)存在3 種奇異分別為運(yùn)動(dòng)奇異、約束奇異、即為運(yùn)動(dòng)奇異又為約束奇異。結(jié)合表1 和表3 則得到了合理3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)任一位形下的自由度。

7 結(jié)論

（1）利用基于螺旋理論（反螺旋）的自由度分析原理結(jié)合動(dòng)平臺(tái)約束分布給出了機(jī)構(gòu)在任一位形下的自由度，當(dāng)3 個(gè)支鏈的3 個(gè)運(yùn)動(dòng)副軸線都不共面時(shí)，機(jī)構(gòu)自由度為3、動(dòng)平臺(tái)有3 個(gè)平移運(yùn)動(dòng)。

（2）給出了正解、逆解，正解為3 個(gè)圓柱面的交點(diǎn)最多有8組解，逆解也可以通過(guò)求3 組兩圓的交間接得到最多有8 組解。

（3）給出了工作空間的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)工作空間為3 個(gè)空心圓柱的交可直接用三維制圖軟件繪出工作空間，并發(fā)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)位置位于工作空間表面時(shí)的所有位形與所有運(yùn)動(dòng)奇異位形一致。

（4）在自由度分析的基礎(chǔ)上給出了機(jī)構(gòu)發(fā)生運(yùn)動(dòng)奇異與約束奇異的幾何條件。

（5）給出的計(jì)算分析方法即簡(jiǎn)潔又快速，可編制軟件將該機(jī)構(gòu)的自由度、位置正逆解、工作空間、奇異位形計(jì)算分析過(guò)程程序化，減少大量的重復(fù)工作將使得該類機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)及優(yōu)化變得非常簡(jiǎn)便。