Kriging 和距離因子輔助的全局優化方法

白政民，李耀輝

（許昌學院電氣（機電）工程學院，河南 許昌 461000）

1 引言

序列Kriging 優化的EGO（Efficient Global Optimization）[1]、廣義EGO[2]及相關算法[3-5]存在如下問題：（1）加點采樣法則EI（Expected Improvement）的復雜性與多峰性將大幅增加優化時間消耗；（2）初始試驗設計數據的欺騙性可能導致僅最優解附近數據點才具有更大EI 值，進行全局搜索前，初始最優解附近區域將作更細致搜索，從而使Kriging 模型產生較小方差估計；（3）在初始Kriging 模型具有精確最優解情況下，無法正常退出優化過程；（4）局部優化所獲取的新采樣點因距離太近而導致Kriging 相關矩陣的奇異性，將導致模型構造失敗。因此，提出一種基于序列Kriging 和距離因子的全局優化方法UGOA-SKD（an global optimization method based on sequential Kriging and Distance factor），在序列優化過程中，對式（1）完成尋優，以獲取更優采樣點。

式中：f—昂貴連續的目標函數。

UGOA-SKD 利用Kriging 近似模型與距離因子的乘積構造加點采樣法則，然后利用免于求導的DIRECT 算法優化該法則，以獲取新的昂貴估值點。數值測試和工程仿真實例將驗證所提出方法的有效性和實用性。

2 基于序列Kriging 和距離因子的全局優化方法

2.1 Kriging 模型

針對已知數據X=［x1，…，xm］T，xi∈Rn及其響應Y=［y1，…，ym］T，yi∈Rq，由回歸函數和高斯過程組成的文獻[6]模型的表達，如式（2）所示。

參數F和R分別是通過已知采樣點所組成的回歸矩陣和相關矩陣。式（2）中的高斯隨機項z（x）是Kriging 插值模型的估計校正，即：

式中：r—未知采樣點與已有采樣點之間誤差的相關性向量，如式

（5）所示。

R（θ，xi，xj）是高斯相關函數。為調節采樣點間的相關性，可最小化公式（6）獲得最優參數θ。

5 mg/ml待測樣品溶液加入酶標板，加入底物，37 ℃孵育10 min，加入DPP-4酶液，37 ℃ 60 min，加入100 μl醋酸-醋酸鈉緩沖溶液，終止反應，405 nm測吸光度。

2.2 基于Kriging 模型和距離因子的加點采樣法則

在Kriging 序列優化搜索過程中，設計者不僅希望在接近當前最優采樣點的附近區域尋優，更希望在找不到更優采樣點的情況下探索一些未開發或更有前景的區域。因此，采用有效的加點采樣法則確定下一個昂貴函數估值點。此外，在兩個采樣點距離非常接近的情況下，Kriging 相關矩陣R可能非正定，這或許導致Kriging 的構造或更新失敗。為避免上述問題，依據已有采樣點和當前Kriging 模型構造的加點采樣法則，如式（7）所示。

其中，dmin=min（‖x-x1‖，…，‖x-xm‖）代表未知采樣點x與已有樣本數據點X=［x1，…，xm］T之間的最短距離；參數dmax=max｛d：x∈X｝是已有采樣數據X=［x1，…，xm］T中任意兩點間的最大距離。

2.3 算法實現

UGOA-SKD 流程，如圖1 所示。參數設置如下。

（1）輸入：（a）黑箱函數f（x），a≤x≤b，x∈Rn；（b）X=［x1，…，xm］T∈［a，b］為初始樣本；（c）預設最大昂貴函數估值次數Nmax=2n（n為優化問題維度）；（d）基于高斯相關函數的Kriging 模型；（e）權重指數序列值｛e1…，0.001，0.01，0.1，1，10，…ek｝，并設e1=10-6。

（2）輸出：算法獲得最優解（xbest，ybest）。

UGOA-SKD 算法的詳細步驟如下。

①初始試驗設計：根據設計問題的要求初始化參數，通過正交最大最小拉丁超立方設計[8]獲取2*（n+4）個初始自變量點xi（i=1，…，m）。然后，對每個xi，計算其昂貴函數估值f（xi），并初始化最優化解（xbest，ybest），同時，設置M：=m。

②建立Kriging 模型：利用初始試驗數據或所有已知采樣數據點構造或更新Kriging 模型。

③構造加點采樣法則：依據式（7）和式（8）、Kriging 模型和距離因子建立加點采樣法則，為迭代尋優做好準備。

④迭代尋優：利用DIRECT[9]優化③中的加點采樣法則，獲取下一個更優采樣點xnext，如果xnext優于xbext，那么xbest：=xnext，ybest：=ynext。

⑤停止準則：判斷算法停止準則是否滿足要求，為便于比較及圖形可視化，采用最大昂貴估值次數作為停止準則，如果不滿足，對新增采樣點進行昂貴估值。否則，停止優化，并返回最優解（xbest，ybest）。

圖1 UGOA-SKD算法流程Fig.1 Algorithm Process of the UGOA-SKD

3 測試結果

3.1 數值測試及分析

利用二維測試函數Goldstein and Price（GP）和Schaffer、三維測試函數Hartman 3、六維測試函數Trid 6、八維測試函數Levy 8和十維測試函數Rosenbrock 10[10]進行數值驗證，其最優解，如表1 所示。并設置二維、三維、六維、八維、十維測試函數的初始采樣點數目及最大采樣點數目分別是12、14、20、24、28 和50、60、120、180、180。

表1 測試函數的最優解Tab.1 Optimal Solution of Test Functions

對于2 維問題，采用OMLHD 采樣方法取得十二個初始設計點，并構造初始Kriging 模型。序列優化采樣過程中，當昂貴估值次數達到50 時，停止UGOA-SKD 算法。因此，需要38 次迭代循環。UGOA-SKD 算法的測試結果，如圖2、圖3 所示。其中，初始采樣點、新增采樣點和最優采樣點分別用‘*’、‘●’和‘○’表示。可看出，所提出方法能在局部搜索無法獲取更優解的情況下轉向更有前景的區域進行迭代尋優，并找到接近全局最優點的近似最優解。

圖2 GP 的所有采樣點及梯度Fig.2 All Sampling Points and Gradient of GP

圖3 Schaffer 的所有采樣點及梯度Fig.3 All Sampling Points and Gradient of Schaffer

為進一步說明UGOA-SKD 算法的有效性，將六個測試函數與EGO 方法和TRIKE 方法[3]作比較。為消除隨機誤差的影響，對每一個測試問題做10 次不同的測試，并取其平均值。為避免初始試驗設計給優化結果帶來的影響，每次使用相同初始采樣點，GP、Schaffer、Hartman 3、Trid 6、Levy 8 和Rosenbrock 10 的最終優化結果，如圖4～圖9 所示。其中，橫坐標表示昂貴估值次數，縱坐標表示所獲取的近似最優解。

圖4 GP 函數優化結果比較Fig.4 Comparison on Optimization Result of GP

圖5 Schaffer 函數的優化結果比較Fig.5 Comparison on Optimization Result of Schaffer

圖6 Hartman 3 函數的優化結果比較Fig.6 Comparison on Optimization Result of Hartman 3

圖7 Trid 6 函數的優化結果比較Fig.7 Comparison on Optimization Result of Trid 6

圖8 Levy 8 函數的優化結果比較Fig.8 Comparison on Optimization Result of Levy 8

圖9 Rosenbrock 10 函數的優化結果比較Fig.9 Comparison on Optimization Result of Rosenbrock 10

結果證明：UGOA-SKD 總能夠找到一個接近真實最小值的近似最優解，并大多情況下優于EGO 方法，而UGOA-SKD 和TRIKE 具有相似的優化結果，且UGOA-SKD 略好于TRIKE。在優化的初始階段，EGO 表現出較好的收斂性。然而，隨迭代次數的增加，UGOA-SKD 和TRIKE 展現出良好優化效果，特別是GP、Trid 6 和Levy 8 函數的表現尤為明顯。這主要是EGO 方法在某些情況下易陷入局部最優區域；此外，三個函數較強的非線性和復雜性更好說明了UGOA-SKD 算法的全局收斂性。

3.2 實例及分析

為反映工程應用性，利用UGOA-SKD 實現內嚙合擺線齒輪泵容積的優化設計。內嚙合擺線齒輪泵的齒廓曲線及嚙合規律可參考文獻[2]。其仿真優化問題可由式（9）描述。

式中：參數Q—泵出口平均流量；參數α1，α2和β1，β2—大端油腔和小端油腔的開啟尺寸及關閉尺寸。滑油泵內部流場CFD模型是黑箱，首先通過Pro Engineer 軟件建立泵的內部流場仿真；然后，將其轉化為Standard Template Library 文件形式，并導入到PumplinxTM軟件的前處理階段。

最后，對仿真流場進行網格的劃分，如圖10 所示。將CFD模型的仿真時間設置為0.2s，那么，完成該仿真實際消耗時間為50min 左右。設置最大仿真次數為120，利用OMLHD 初始采樣20 個昂貴估值點并構造初始Kriging 模型。那么，在初始采樣并行估值情況下，總耗時近83.6h。

圖10 擺線齒輪泵內部流場網格劃分Fig.10 Flow Field Meshing of Cycloidal Gear Pump

初始采樣后，獲得的最大平均容積流量Q為2.3671 升/分鐘，初始容積效率是73.51%。對比UGOA-SKD、EGO 和TRIKE的優化結果，如圖11 所示。UGOA-SKD 能夠找出更大的出口平均流量，且相應容積效率提高近1.28%。

圖11 出口平均容積流量的優化結果Fig.11 Optimization of Average Volumetric Flow Rate of the Outlet

4 結論

基于序列Kriging 和距離因子的無約束全局優化方法在有效平衡全局和局部搜索行為的條件下通過少量昂貴估值快速收斂于全局近似最優解，具有一定應用價值。對進一步研究，通過Kriging 模型、多點加點采樣法則及終止條件來處理基于Kriging的多點全局優化問題，從而實現多采樣點的并行仿真優化，以大幅減少昂貴仿真所帶來的較大時間成本。