行星輪轉(zhuǎn)軸等寬曲線泵設(shè)計(jì)與仿真實(shí)驗(yàn)分析

邱林賓，金 純

（北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京100083）

1 引言

液壓泵是液壓系統(tǒng)的動(dòng)力來(lái)源，為整個(gè)液壓系統(tǒng)供給能源，液壓泵在工程機(jī)械、海洋船舶、航空航天等行業(yè)應(yīng)用廣泛[1-4]。作為液壓系統(tǒng)元件中的主要部件，目前國(guó)內(nèi)常規(guī)應(yīng)用領(lǐng)域的液壓泵技術(shù)比較成熟。但是，在非常規(guī)領(lǐng)域，例如醫(yī)療器械中的低噪聲微型泵、生物化工中檢測(cè)分析微小泵的應(yīng)用較少，大部分都依靠國(guó)外進(jìn)口[5-7]。主要原因是國(guó)內(nèi)微型泵的設(shè)計(jì)體積比較大，而且精度和使用壽命低，運(yùn)行不穩(wěn)定，難以滿(mǎn)足液壓系統(tǒng)的動(dòng)力要求。

依據(jù)萊洛三角形的結(jié)構(gòu)模型[8-10]，設(shè)計(jì)出了一種行星輪等寬曲線泵。以萊洛三角形截面為原型的轉(zhuǎn)子在正方形界面旋轉(zhuǎn)一周，反推出轉(zhuǎn)子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而設(shè)計(jì)行星輪轉(zhuǎn)軸驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子符合此運(yùn)動(dòng)軌跡，初步設(shè)計(jì)等寬曲線泵的整體結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)分析，結(jié)果證明了泵整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和功能的正確性。

2 等寬曲線泵的數(shù)學(xué)模型

2.1 萊洛三角形中心旋轉(zhuǎn)軌跡計(jì)算[11-12]

圖1 萊洛三角形的初始位置Fig.1 Initial Position of the Leroy Triangle

以萊洛三角形中心的初始位置為原點(diǎn)O做坐標(biāo)系xOy，如圖1 所示。設(shè)萊洛三角形以ω1的角速度繞對(duì)稱(chēng)中心（原點(diǎn)O）進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，起始θ0＝60°。

轉(zhuǎn)動(dòng)t時(shí)間后：θ＝θ0+ωt。萊洛三角形t時(shí)位置，如圖2 所示。

圖2 萊洛三角形t 時(shí)位置Fig.2 The Position of the Leroy Triangle at t

正方形運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：

水平方向：

豎直方向：

做逆向思維：將正方形看做是靜止、萊洛三角形以ω 角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。則萊洛三角形中心軌跡為：

萊洛三角形旋轉(zhuǎn)30°角度位置，如圖3 所示。

圖3 萊洛三角形旋轉(zhuǎn)30°角度位置Fig.3 The Position of the Leroy Triangle Rotates 30°

對(duì)于a（x-d）2+b（x-d）（y-e）+c（f-e）2=f2的二次曲線的方程：

（1）當(dāng)f≠0，b2-4ac＞0 時(shí)，雙曲線。

（2）當(dāng)f≠0，b2-4ac=0 時(shí)，兩條平行直線。

（3）當(dāng)f≠0，b2-4ac＜0，a＞0 時(shí)，橢圓。

（4）當(dāng)f≠0，b2-4ac＜0，a＞0 時(shí)，虛橢圓（實(shí)平面上無(wú)圖像）。

選取方程（1）其b2-4ac＜0，所以，當(dāng)r≠0 時(shí)，它是一個(gè)橢圓；當(dāng)r=0 時(shí)，則為一點(diǎn)。

圖4 方程曲線圖Fig.4 The Chart of Equation

r=2 時(shí)，軌跡所在的四個(gè)橢圓方程的曲線，如圖5 所示。

圖5 四個(gè)橢圓方程曲線Fig.5 The Chart of Elliptic Equation

2.2 中心軌跡部分?jǐn)M合設(shè)計(jì)

將轉(zhuǎn)子中心軌跡包絡(luò)部分取出，如圖6 所示。

圖6 轉(zhuǎn)子中心軌跡Fig.6 Rotor Center Locus

對(duì)第一象限曲線進(jìn)行研究。在其上等間距取出10 個(gè)點(diǎn)對(duì)其與原點(diǎn)的距離進(jìn)行分析，如表1 所示。

表1 間距與原點(diǎn)距離對(duì)照表Tab.1 Reference Table for Spacing and Origin Distance

容易看出：在曲線上所選取的10 個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離全部在區(qū)間［5.00，5.27］之內(nèi)，且在平均值（5.14±0.15）之內(nèi)。當(dāng)用所取各點(diǎn)到原點(diǎn)的平均距離dH=5.14 代替各點(diǎn)到原點(diǎn)的實(shí)際距離時(shí)，會(huì)得到以原點(diǎn)為中心，半徑r=dH=5.14 的圓。用此圓代替原曲線會(huì)有一定的誤差，但差值?∈［-0.15，+0.15］在機(jī)械要求之內(nèi)。可用半徑r=dH的理想圓代替實(shí)際軌跡。這樣為利用行星齒輪轉(zhuǎn)軸的設(shè)計(jì)提供了方便。當(dāng)轉(zhuǎn)子中心軌跡用理想的圓代替時(shí)，可設(shè)計(jì)一對(duì)內(nèi)嚙合的行星齒輪副，使大小齒輪的分度圓直徑比d1：d2=4：3。可以保證小齒輪在大齒輪內(nèi)嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，其圓心軌跡為半徑dH=1/8d2的圓且其公轉(zhuǎn)角速度ω2等于三倍自轉(zhuǎn)角速度ω1。

3 等寬曲線泵的幾何模型設(shè)計(jì)

依據(jù)上述推導(dǎo)可得替代中心軌跡運(yùn)動(dòng)理想圓的實(shí)際軌跡。由于萊洛三角形轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)既有自轉(zhuǎn)又在繞對(duì)應(yīng)等寬正方形中心公轉(zhuǎn)，故設(shè)計(jì)行星輪機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程。由于需要確保小齒輪在大齒輪內(nèi)嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，其圓心運(yùn)動(dòng)軌跡為半徑dH=1/8d2的圓且其公轉(zhuǎn)角速度ω2等于三倍自轉(zhuǎn)角速度ω1。這一運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以采用分度圓直徑比為4：3 的內(nèi)嚙合圓柱齒輪實(shí)現(xiàn)，傳動(dòng)簡(jiǎn)圖，如圖7 所示。

圖7 傳動(dòng)簡(jiǎn)圖Fig.7 Transmission Diagram

根據(jù)等寬曲線泵轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)及相應(yīng)的近似替代設(shè)計(jì)泵實(shí)體，采用solidworks 軟件建立等寬曲線泵的三維零件模型，并且裝配成完整的三維實(shí)體模型。同時(shí)附加其材料屬性并對(duì)模型產(chǎn)品運(yùn)動(dòng)的碰撞干涉分析，使建立模型與實(shí)際設(shè)計(jì)的參數(shù)一致，避免了生產(chǎn)過(guò)程中的不合理現(xiàn)象。

其內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部結(jié)構(gòu)，如圖8～圖11 所示。

圖8 轉(zhuǎn)子內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖Fig.8 Internal Structure Drawing of Rotor

圖9 內(nèi)部傳動(dòng)結(jié)構(gòu)圖Fig.9 Internal Drive Structure Diagram

圖10 內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖Fig.10 Internal Structure Diagram

圖11 外形結(jié)構(gòu)圖Fig.11 External Structure Diagram

4 等寬曲線泵的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真與實(shí)驗(yàn)測(cè)試

4.1 動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證

仿真驗(yàn)證方法以軟件ADAMS 為仿真工具，設(shè)立等寬曲線泵模型，進(jìn)行泵的運(yùn)動(dòng)分析。ADAMS 軟件既具有很強(qiáng)的分析求解功能同時(shí)用戶(hù)界面友好，使用起來(lái)直觀方便[13-14]。行星輪轉(zhuǎn)軸及轉(zhuǎn)子在泵的工作過(guò)程中起關(guān)鍵作用，他們的正確與否關(guān)系設(shè)計(jì)能否實(shí)現(xiàn)。根據(jù)實(shí)際的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系建立幾何模型，分析等寬曲線泵運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)，如圖12 所示。仿真關(guān)系圖，如圖13 所示。

圖12 轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)圖Fig.12 Rotor Motion Diagram

圖13 仿真關(guān)系圖Fig.13 Simulation Diagram

令行星輪轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，縱坐標(biāo)為旋轉(zhuǎn)角度，橫坐標(biāo)為時(shí)間，如圖11 所示。曲線設(shè)定為一條直線。在此設(shè)定條件下，觀測(cè)圖12 得到行星齒輪的角速度ω=10°/s，與行星架的角速度ω=-30°/s成1：3 的關(guān)系。即轉(zhuǎn)子中心自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)角速度的1：3 關(guān)系。

萊洛三角形旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與等寬正方形泵腔的交點(diǎn)A、B、C、D分離出a、b、c、d四個(gè)分泵腔。當(dāng)萊洛三角形順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，四個(gè)分泵腔各自完成3 個(gè)變化周期，如圖14 所示。

圖14 變化周期圖Fig.14 Variation Period Diagram

應(yīng)用ADAMS 將A、B、C三點(diǎn)在（1～4）狀態(tài)之間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)動(dòng)一度所對(duì)應(yīng)坐標(biāo)采出，據(jù)此求出泵腔截面總面積，如圖15 所示。

圖15 泵腔截面積-轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角圖Fig.15 Pump Cavity Sectional Area- Rotation Angle

從圖中觀察到：

單腔面積最大值amax為656.60mm2

單腔面積最小值amin為30.74mm2

泵腔總面積A為1232.04mm2

正方形面積-萊洛三角形面積：

說(shuō)明仿真過(guò)程正確，泵工作動(dòng)力學(xué)特性成立。同時(shí)可以進(jìn)行排量計(jì)算。

4.2 等寬曲線泵排量功率計(jì)算

4.2.1 泵排量計(jì)算泵腔截面總面積不變，這樣減小了在輸送流體過(guò)程中的脈沖。轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周泵腔完成三個(gè)吸進(jìn)、排出周期，故每轉(zhuǎn)總排量QT為：QT=3·4·（amax-amin）·h

式中：QT—每轉(zhuǎn)總排量；

amax—單腔面積最大值，理論值為0.1594a2；

amin—單腔面積最小值，理論值為0.007a2；

h—等寬曲線泵腔長(zhǎng)度；

則等寬曲線泵的幾何總排量QT為：

式中：a—泵腔變長(zhǎng)，mm；

n—轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/s。

實(shí)際過(guò)程中存在泄露，實(shí)際排量減小，故引入容積效率ηv，實(shí)際排量為：

4.3 等寬曲線泵的實(shí)驗(yàn)測(cè)試

將設(shè)計(jì)加工好的等寬曲線泵安裝在液壓實(shí)驗(yàn)臺(tái)上測(cè)試，實(shí)驗(yàn)測(cè)得在不同轉(zhuǎn)速下流出流體體積為腔體容積的1.83 倍，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法與仿真的正確性。不同轉(zhuǎn)速下的流出體積與腔體容積比值，如圖16 所示。

圖16 不同轉(zhuǎn)速下的流出體積與腔體容積比值Fig.16 Ratio of Outflow Volume to Pump Cavity Volume

5 結(jié)論

通過(guò)萊洛三角形在等寬正方形中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)原理設(shè)計(jì)了行星輪等寬曲線泵，建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)模型和三維機(jī)械模型后進(jìn)行動(dòng)態(tài)模型分析，得到流出流體體積的理論值是泵腔容積的1.83 倍，遠(yuǎn)超過(guò)常規(guī)容積泵的26%，同時(shí)經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。因此能從理論上小型或者超小型化。為微型泵的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。