例談“對稱法”求解幾何光學問題

胡永琰

[摘? ?要]幾何邊角關系的轉化是求解高中幾何光學問題的基礎和關鍵，不少學生在實際解題中對幾何邊角關系的轉化方法比較單一、不夠靈活，時常因邊角關系被卡住。文章通過舉例，介紹了用“對稱法”求解相關幾何光學問題的解題方法。

[關鍵詞]對稱;邊角關系;光路

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0061-03

一、問題提出

筆者在教學中發現：在求解一道高考真題時，學生提出了兩種解法，但這些解法都不是高考提供的參考解法，且差異較大，由此引發了筆者的思考。

從上述的三種方法來看，學生的解法與標準答案的解法存在一定的差異。那么究竟是哪種方法更具有普遍性呢？似乎各有所長，難以定論。作為教師，從研究高考試題的角度來看，可以試著從三種解法的分析與對比中找到各種解法的精髓，進而提升學生解決相關問題的能力。

二、問題探究

筆者在反思中發現了：平面鏡成像時，像與物關于平面鏡對稱，這種對稱關系會極大地豐富幾何光學中邊角轉化方法。但在高中，由于幾何光學的核心內容是光的折射，“平面鏡反射”這部分內容處于邊緣化的位置，因此，在實際解答相關問題時，往往會聚焦在光的折射上而忽視平面鏡反射中的對稱性，正是因為忽視了潛在的對稱關系，導致不少幾何光學問題淪為赤裸裸的數學幾何題，缺乏必要的物理思維。

下面重點剖析例1各種解法的特點。

解法1.巧妙應用[EF=EO+OF=EP+PF]幾何關系，根據該關系式，結合已知的邊角，定量表達出[EO]、[OF]、[EP]、[PF]，并代入上式，由此推導出相關的入射角或折射角。此法要求學生能夠在解題時敏銳地覺察到上面的幾何關系。

解法2.對兩個有公共邊的三角形各自使用正弦定理，由此建立起等量關系，進而求出入射角或折射角。解題思路非常清晰，但這種解法要求學生對幾何關系非常敏感。

學生提供的解法具有濃厚的數學味，而事實確實也是班級中那些數學好的學生才能求解。

解法3.把半圓的下半部分補充完整，由此衍生了很多的輔助線，而根據輔助線能夠非常靈活地轉換邊角關系，由此可以簡化問題，但問題在于學生不容易想到如此作輔助線。

通過以上三種方法的比較可以看出，此題的解法呈開放性，給了學生獨立思考和個性表達的空間。但作為教師，應該思考究竟是哪種解法更具有普遍性。不過，經過師生和生生的交流、思考發現：解法3更具有普遍性。解法3的輔助線之所以不易想到，是因為忽視了平面鏡反射中的對稱性，導致其中豐富的幾何邊角關系被掩蓋。若能在平面鏡反射中借助虛像來完成相關光路圖，那么其對應的輔助線也就水到渠成，就可以降低此類問題的難度。

[例2]一高為[2a]的長方體容器，其底面是邊長為[a]的正方形，容器中充滿了透明液體，如圖5，D和D′分別是上下面的中心，過DD′且垂直于左右兩側面截出其剖面，容器右側內壁均勻噴涂有某種反光材料，剩余內壁均勻噴涂有某種吸光材料，剖面的左下方[S]處有一點光源，已知在D處觀測到兩束相互垂直的光線，求容器中透明液體的折射率為多少？

評析：例3中同樣涉及平面鏡反射，利用虛像來完成光路后，其臨界光路非常清晰，除了可以精準地完成光路圖之外，在定量計算的時候，邊角轉化也比較靈活。

綜上分析可以得出，在涉及平面鏡反射的折射問題中要充分運用像與物的對稱關系完成光路圖，由其中的對稱關系作出相關的輔助線，綜合光路圖和輔助線挖掘潛在的邊角關系，可以較輕松地破解高中幾何光學問題的難點。教師在幾何光學的教學中要強化學生的對稱意識，引導學生在處理這類問題時用對稱法切入，較之其他偏向數學的解法，“對稱法”具有明顯的物理特點和優勢，可以提升學生解決此類問題的能力。

三、思考與啟示

高中物理幾何光學內容，雖是物理題，難點在于幾何知識的運用，現實中，不少師生把它當作幾何問題的簡單翻版，導致在處理較復雜的幾何光學問題時方法單一，數學味偏重，解題效率低下。而通過平面鏡反射成像的對稱性可以靈活轉換邊角關系，思維廣闊，富含學科特色，該方法對求解相關幾何光學問題具有一定的啟發性。當然，“對稱思維”本身也是物理學的重要思維方法，在“靜電場”“簡諧運動”“恒定電流”等問題中都有著極為重用的應用。此外，教師在教學中應提倡研究參考答案，每一種解法的切入點、思想方法都有一定的差異，認真分析、對比各種解法，在不同解法的分析對比中，還能查缺補漏、拓寬思路，提高解決問題的能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 羅聲苗，肖炯.一道幾何光學高考題的兩種新解法[J].物理通報，2012（12）：45-46.

[2]? 趙亞娜.“玻璃磚”背景下的光學應用：光的折射、全反射定律在高考中的命題規律及復習策略[J].中學物理教學參考，2020，49（1）：47-51.

[3]? 劉明忠.數學知識在2011年高考物理中的應用[J].中學物理，2012，（5）：67-68.

（責任編輯 易志毅）