方案設計與決策型問題探究

鄭瑩瑩

[摘 要]探究方案設計與決策型問題，以培養學生的創新能力，提升學生的數學應用意識.

[關鍵詞]方案設計;決策型;探究

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0024-02

方案設計與決策型問題，是通過一個實際生活背景，提供了一些信息，然后要求學生通過比較、設計、操作找到解決問題的最佳方案.有時解決問題的方案不止一種，有時需要根據不同情況采取不同的方案，它具有開放、靈活、發散的特點.此類問題多取材于實際生產生活，結合時代熱點.方案設計與決策型問題的引入，改變了過去學生學習對模仿和記憶的依賴，從“重結果，輕過程”轉變為“既重結果，也重過程”，對學生創新能力的培養、數學應用意識的提升都十分有用.

一、利用不等式組設計方案

利用不等式組設計方案，就是通過建立不等式組找到解決問題的幾種方案，然后通過比較找到最佳方案.它常與方程組結合在一起考查.解決此類問題可分兩步走：第一步，通過方程組求出兩個未知量;第二步，綜合已知條件與第一問的結果列出不等式組，然后求出此不等式組的非負整數解.

[例1]江蘇省響水縣水利局決定，招標一工程隊負責完成南洼水庫的土方挖掘任務.該工程隊有兩種型號的挖掘機，分別是A、B，已知要施工1小時挖出140立方米的土，需要2臺A型挖掘機和3臺B型挖掘機;要施工1小時挖出80立方米的土，需要1臺A型挖掘機和2臺B型挖掘機.工作1小時，每臺A型挖掘機需付費350元，每臺B型挖掘機需付費200元.

（1）挖掘機工作1小時，每臺A型挖掘機挖土多少立方米？

（2）若施工4小時完成不少于1360立方米的挖土量，需要A型挖掘機和B型挖掘機共10臺同時施工，且總費用不超過14 000元.有什么調配方案？最低費用多少元？

解析：（1）設每臺挖掘機工作1小時，A型挖掘機挖土x立方米， B型挖掘機挖土y立方米，

答：工作1小時，每臺A型挖掘機每小時挖土40立方米.

（2）設有m臺A型挖掘機參與施工，則有（10-m）臺B型挖掘機參與施工，

∴共有三種調配方案：①調配7臺A型挖掘機、3臺B型挖掘機施工;②調配8臺A型挖掘機、2臺B型挖掘機施工;③調配9臺A型挖掘機、1臺B型挖掘機施工.

∴選擇方案①時，費用最低，最低費用為12 200元.

評注：解決此類問題的關鍵是列不等式組，找出題中的兩個不等式關系，分別列出不等式.找不等關系要抓住關鍵詞“至少” “至多” “不超過” “不低于”等.

二、利用方程組設計方案

利用方程組進行方案設計，就是通過列二元一次方程組，利用二元一次方程組有無數多個解的特點設計方案.雖然二元一次方程組有無數多個解，但在實際問題，有實際意義的解往往是有限個，其實就是求二元一次方程組的非負整數解.

[例2]據市場調研發現，2019年潢川縣農業合作社梅子喜獲豐收，合作社大股東李海軍準備雇車把梅子運往外地去銷售，貨車公司的負責人告訴李海軍，若運12噸貨物，可用2輛A型車和3輛B型車;若運17噸貨物，可用3輛A型車和4輛B型車，李海軍準備同時租用A型車m輛，B型車n輛，一次性運完21噸梅子.根據上述運載量，解決下面兩個問題：

（1）每輛A型車裝滿梅子可運貨多少噸？每輛B型車裝滿梅子可運貨多少噸？

（2）合作社大股東李海軍有多少種租車方案？

解：（1）設每輛A型車裝滿梅子可運貨x噸，每輛B型車裝滿梅子可運貨y噸，

答：每輛A型車裝滿梅子可運貨3噸，每輛B型車裝滿梅子可運貨2噸.

答：共有3種租車方案.

三、利用一次函數的性質設計方案

利用一次函數進行方案設計，包括兩種情況，一是探討單一函數關系式，當自變量取不同值時，對應函數值的變化情況;二是比較兩個或三個函數關系式，當自變量在不同范圍內取值時，比較函數值的大小關系.通過函數值的比較得所需的方案.

[例3]某足球館標準票價20元/張，7-8月份為了擴大銷售，增加業務量，現推出兩種特殊卡：①至尊卡售價每張600元，每次到足球館去玩不再另外收費;②貴賓卡售價每張150元，每次到足球館去玩另收10元費用.標準票正常出售，兩種優惠卡僅限7-8月份使用，不限次數.設到足球館去玩x次時，所需費用為y元.

（1）寫出選擇至尊卡、貴賓卡、標準票消費時，y與x之間的函數關系式;

（2）如圖1所示的圖像是三種營銷方式對應的函數圖像，點A、B、C的坐標分別是多少？

（3）認真觀察函數圖像，說一說選擇哪種消費方式更劃算.

評注：此題通過觀察圖形比較函數值的大小關系，從而得到較劃算的方案，體現了數形結合的數學思想.一般地，兩個函數圖像，當自變量取相同值時，函數圖像在上方的，函數值較大，函數圖像在下方的，函數較小，交點處函數值相等.

四、利用二次函數的最值性質設計方案

利用二次函數的性質進行方案設計，就是通過列二次函數關系式，利用二次函數最值的性質，求得問題的最大利潤、最低成本、最佳方案等.通常要對列出的二次函數關系配方成[y=a（x-h）2+k]的形式，根據“[a>0]時，二次函數有最小值;[a<0]時，二次函數有最大值”得到符合題意的方案.

[例4]星月休閑娛樂度假村有海景房15間，貴賓房20間.按現有定價，若全部入住，一天營業額為8 500元;若海景房、貴賓房均有10間入住，一天營業額為5 000元.

（1）每間海景房、貴賓房的定價分別是多少錢？

（2）經過前段時間的經營發現，星月休閑娛樂度假村的貴賓房，若每個房間每天按現有定價，房間會全部住滿;當每天的定價每個貴賓房每增加20元時，會空閑2個房間.已知消費者居住房間，公司需對每個房間每天支出80元的費用.要達到最大利潤，每間貴賓房定價為多少錢？

答：海景房、貴賓房每間現有定價分別是300元、200元;

答：要達到最大利潤，每間貴賓房應定價為240元.

評注：在銷售利潤問題中，“總利潤=每件利潤×件數”是最常用的等量關系，它常用來建立二次函數關系式.在此問題中，其關鍵是求出當利潤或價格變化a元時，件數變化對應的代數式.

從上述案例可以看到，方案設計與決策型問題在考試中并不是單一的運用不等式、方程或函數解決，大多是兩種或三種的綜合，學生必須熟練掌握各種題型且靈活運用.

（責任編輯 黃桂堅）