運(yùn)籌學(xué)整數(shù)規(guī)劃在體育賽事人員問題中的研究

周德康

(浙江省之江棋院，浙江 杭州 310004)

運(yùn)籌學(xué)作為一門近代新興學(xué)科，起始于第二次世界大戰(zhàn)期間英國和美國軍事管理部門進(jìn)行的軍事問題的研究。第二次世界大戰(zhàn)后，運(yùn)籌學(xué)在管理中的運(yùn)用越來越被企業(yè)管理者們和政府部門所認(rèn)識，如利用運(yùn)籌學(xué)方法來解決新型的制定計劃、進(jìn)行決策的管理問題。近年來，在數(shù)學(xué)和計算機(jī)科學(xué)技術(shù)的巨大推動力作用下，目標(biāo)規(guī)劃、圖論網(wǎng)絡(luò)、存貯論、對策論和排隊論等運(yùn)籌學(xué)分支研究范式日趨成熟，應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，成為由多學(xué)科融合創(chuàng)新形成的發(fā)展最快的學(xué)科之一。[1]

在體育學(xué)學(xué)科發(fā)展的理論和實(shí)踐中，運(yùn)籌學(xué)具有重大的影響力，學(xué)科之間相互交叉體現(xiàn)出覆蓋面廣、注重實(shí)戰(zhàn)和普遍適用的前景與趨勢。對策論是運(yùn)籌學(xué)的一個重要分支，研究的對象是具有競爭或?qū)剐再|(zhì)的行為，與體育領(lǐng)域有著密切關(guān)聯(lián)，處理問題的方法又有著明顯特色，已經(jīng)日益引起學(xué)界的廣泛關(guān)注。整數(shù)規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的另一個重要分支，研究的對象是許多實(shí)際狀況中要求變量取整數(shù)解的問題，采用分支定界法求解，多應(yīng)用于人數(shù)、車數(shù)、機(jī)器的臺數(shù)以及方案的取舍等。[2-3]

對于大部分的體育賽事，基于時間和資源混合的關(guān)鍵約束是決策的最終考慮因素。體育賽事人員安排是賽事實(shí)施過程中人力資源可用性約束的管理，在合理編制最優(yōu)資源計劃程序中，運(yùn)籌學(xué)整數(shù)規(guī)劃有時被用來作為解決問題的最佳方法。利用計算機(jī)科學(xué)和計算機(jī)技術(shù)的成就，根據(jù)賽事目標(biāo)的規(guī)定，對賽事工作的各項人力資源活動作出周密的安排。圍繞賽事目標(biāo)的完成，系統(tǒng)地確定賽事任務(wù)、安排任務(wù)進(jìn)度、編制完成任務(wù)所需的人力資源預(yù)算等，能夠保證賽事在合理的期間內(nèi)，用盡可能低的成本和盡可能高的質(zhì)量完成。[4-5]

1 基礎(chǔ)模型的建立

體育賽事人員安排是一個實(shí)際問題，科學(xué)的人員安排不但可以保證賽事按時完成，而且可以使賽事達(dá)到其預(yù)設(shè)的目標(biāo)，確保賽事在批準(zhǔn)的預(yù)算內(nèi)完成，這既是賽事管理的一大職能，也是賽事實(shí)施的基礎(chǔ)。[6]

隨著體育賽事日益增多，經(jīng)濟(jì)效益和社會效益的雙贏導(dǎo)致許多體育組織培養(yǎng)了一批專業(yè)的競賽主管。體育組織高績效工作系統(tǒng)與競賽主管人才管理發(fā)展到現(xiàn)在，單純地追求傳統(tǒng)人力資源管理的時代已經(jīng)過去，目前面臨的是通過勝任素質(zhì)來應(yīng)對決策需要的戰(zhàn)略性人力資源管理。體育組織在招聘選拔、培訓(xùn)開發(fā)、績效管理、梯隊建設(shè)和文化落地等方面，構(gòu)建與應(yīng)用維度、行為等級協(xié)調(diào)統(tǒng)一的勝任素質(zhì)模型，改善競賽主管人力資源管理體系。以可持續(xù)和可預(yù)測的行為方式，體現(xiàn)高績效的綜合特質(zhì)的競賽主管，既是體育組織戰(zhàn)略執(zhí)行的關(guān)鍵，又是體育賽事高績效的引擎。一個優(yōu)秀的競賽主管是體育賽事人員安排的前置條件。[7]

在體育賽事人員安排問題中，運(yùn)籌學(xué)整數(shù)規(guī)劃是一類很特殊的規(guī)劃模型，其全體變量取值只為0或1邏輯變量，只能解決參與或不參與的問題，具有局限性，表現(xiàn)出一定的不足。運(yùn)籌學(xué)的另兩個重要分支網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)和動態(tài)規(guī)劃提供了整體解決方案：通過網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)，使用工作分解結(jié)構(gòu)工具，對體育賽事工作由粗到細(xì)的分解，形成分級的樹型結(jié)構(gòu)，依據(jù)各組成要素之間邏輯關(guān)系及完成時間，繪制網(wǎng)絡(luò)圖；通過動態(tài)規(guī)劃，把比較復(fù)雜的體育賽事問題轉(zhuǎn)換成確定型的多階段問題，競賽主管勝任或不勝任的狀態(tài)隨階段變更而變化，然后對離散性問題，一個一個地進(jìn)行求解。至此，回歸到整數(shù)規(guī)劃可以解決的問題。

浙江一家體育發(fā)展有限公司人力資源部安排一些競賽主管完成A、B和C3個賽事。賽事A、B和C分別需要12、18和30人用1個月來完成。競賽主管甲、乙、丙和丁都可以完成這些賽事，他們的月薪分別是10 600元、12 200元、12 900元、15 700元。

根據(jù)模型邊界條件提出假設(shè)：①賽事：在整個過程中不出現(xiàn)大的調(diào)整；各項條件均滿足各項限制；管理中不出現(xiàn)重大變故；②競賽主管：在一定時期內(nèi)完成相同的任務(wù)；在面對不同的任務(wù)時完成時間相同。模型內(nèi)生變量中，Z表示賽事的總薪酬，tij(i=1，2，3；j=1，2，3，4)t表示月數(shù)，i表示賽事，j表示競賽主管。賽事和競賽主管之間的時間關(guān)系，如表1所示。

表1 賽事和賽事主管的時間關(guān)系

完成3個賽事的總薪酬，等于競賽主管甲、乙、丙和丁參與完成賽事A、B和C各所用的月數(shù)和月薪酬的乘積之和，可以表示為：10 600(t11+t21+t31)+12 200(t12+t22+t32)+12 900(t13+t23+t33)+15 700(t14+t24+t34)；

賽事A完成所需的時間約束為：t11+t12+t13+t14≥12；賽事B完成所需的時間約束為：t21+t22+t23+t24≥18；賽事C完成所需的時間約束為：t31+t32+t33+t34≥30。[8]

綜上所述，我們得線性規(guī)劃模型如下：

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

這是一個整數(shù)規(guī)劃優(yōu)化問題，對變量有整數(shù)約束，一般不能使用單純形法，采用LINGO能夠較容易地求解，具體的程序如圖1。[9]

圖1 LINGO模型窗口中顯示的整數(shù)規(guī)劃程序圖

運(yùn)行程序輸出結(jié)果。圖2當(dāng)前模型的類型為純整數(shù)線性規(guī)劃，當(dāng)前解的狀態(tài)表示已經(jīng)達(dá)到全局最優(yōu)解，當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值為636 000，使用的特殊求解程序分支定界算法，變量數(shù)量總數(shù)12整數(shù)變量數(shù)，約束數(shù)量總數(shù)為4，非零系數(shù)數(shù)量總數(shù)為24。

圖2 LINGO狀態(tài)窗口圖

據(jù)圖3輸出結(jié)果可知：找到全局最優(yōu)解，目標(biāo)值為636 000.0，各變量的值：T11=12.00000，T21=18.00000，T31=30.00000，給出檢驗數(shù)、松弛變量和對偶價格的值。

圖3 LINGO報告窗口圖

整理相應(yīng)的運(yùn)行結(jié)果如表2，總薪酬最小為：Zmin=636 000.0。

表2 結(jié)果數(shù)據(jù)表1

通過模型計算結(jié)果可以看出，競賽主管甲工作于賽事A、B和C是最優(yōu)解。其中的原因，是競賽主管甲的月薪最低，所有的賽事都由其完成，可以讓總薪酬降到最低。因此，模型在邏輯上正確，符合實(shí)際情況，可以作為進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)。

現(xiàn)實(shí)的賽事管理工作中，啟動、規(guī)劃、執(zhí)行、監(jiān)控和收尾各個階段都面臨著諸多不確定性，在實(shí)施過程中又常常面臨范圍、質(zhì)量、進(jìn)度、預(yù)算、資源和風(fēng)險等多重具體的制約因素的干擾。只有逐步考慮各種復(fù)雜因素問題，由數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)去分析在各種情況下人員分配的最優(yōu)解，模型才具有實(shí)用性。[10]

2 模型的擴(kuò)展

在體育組織中，成功的賽事管理有時間、成本和績效三約束，這與內(nèi)部條件和外部環(huán)境密切相關(guān)。組織的結(jié)構(gòu)和對人員配備的關(guān)注度為賽事管理提供了背景，它們既能起到支持與促進(jìn)的作用，也可能妨礙賽事正常運(yùn)作。大多數(shù)體育組織的業(yè)務(wù)范圍是健身指導(dǎo)和競賽表演，所采用的常見結(jié)構(gòu)類型是矩陣型——一個職能部門與項目部門雙重的層級。對賽事管理而言，組織環(huán)境是復(fù)雜的、動態(tài)的，有多種運(yùn)營形式的需要，存在機(jī)會多而資源少的挑戰(zhàn)。因此，競賽主管是一個領(lǐng)導(dǎo)密集型的職業(yè)，在賽事實(shí)施中發(fā)揮核心作用，他們需要大量的時間來協(xié)調(diào)賽事和部門之間對關(guān)鍵資源的共享。[11]

2.1 賽事的進(jìn)度約束和組織約束

增加模型邊界條件：根據(jù)資源估算的結(jié)果，A、B和C3個賽事要求在18個月內(nèi)完成。為確保履行職責(zé)、開展工作的連續(xù)性、穩(wěn)定性和有效性，通常競賽主管在每6個月中只安排1個賽事。

3個賽事要求只能在18個月內(nèi)完成，則競賽主管甲、乙、丙和丁各自的工作時間都不超過18個月：

因為競賽主管在每6個月中只能被安排一個賽事。

表3中，aij，bij，cij，dij(i=1，2，3；j=1，2，3)，a，b，c，d表示競賽主管甲、乙、丙和丁，i表示賽事，j表示時期。aij，bij，cij，dij=0表示競賽主管不被安排賽事；aij，bij，cij，dij=1表示競賽主管被安排賽事。

表3 賽事的進(jìn)度和組織約束關(guān)系

競賽主管甲、乙、丙和丁在時期一、時期二和時期三，各階段都有可能被安排參與賽事，則：

競賽主管們在1個時期內(nèi)參與1個賽事，薪酬應(yīng)按6個月來計算，則每位競賽主管時期一、時期二和時期三的所用時間之和為工作于1個賽事所用的總時間，有：

綜上所述，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，增加約束條件如下：

約束條件：

S.T.

編寫LINGO程序求解，運(yùn)行程序輸出結(jié)果，Z=736800.0，整理輸出結(jié)果如表4和表5所示。[12]

表4 運(yùn)行程序輸出結(jié)果1

表5 運(yùn)行程序輸出結(jié)果2

由于賽事的進(jìn)度約束和組織約束，競賽主管乙、丙和丁被安排參與賽事，因此總薪酬增加。

2.2 賽事的趕工約束和沖突約束

增加模型邊界條件：為了推動體育競賽表演業(yè)跨越式發(fā)展，賽事A和B入庫《重點(diǎn)培育品牌體育賽事名錄庫》，要求能夠在12個月內(nèi)完成。由于個人工作風(fēng)格的差異，競賽主管甲和乙存在個性沖突，意見分歧成為負(fù)面因素，致使他們不能同時在1個賽事中工作。

賽事A和B在12個月內(nèi)完成：

6(a11+b11+c11+d11+a12+b12+c12+d12)≥12

6(a21+b21+c21+d21+a22+b22+c22+d22)≥18

競賽主管甲和乙在時期一、二和三里不能同時出現(xiàn)：

0≤a11+b11≤1 0≤a21+b21≤1

0≤a31+b31≤1

0≤a12+b12≤1 0≤a22+b22≤1

0≤a32+b32≤1

0≤a13+b13≤1 0≤a23+b23≤1

0≤a33+b33≤1

增加這些約束條件：

約束條件：

S.T.

6(a11+b11+c11+d11+a12+b12+c12+d12)≥12

6(a21+b21+c21+d21+a22+b22+c22+d22)≥18

0≤aij+bij≤1(i=1，2，3j=1，2，3)

編寫程序，由程序運(yùn)行結(jié)果可得Z=757 800.0，整理輸出結(jié)果如表6和表7所示。

表6 程序運(yùn)行結(jié)果1

表7 程序運(yùn)行結(jié)果2

賽事的趕工約束和沖突約束將會給人員安排帶來額外損失。對于趕工約束，可以采用快速跟進(jìn)的方法，把正常情況下按順序執(zhí)行的活動或階段并行執(zhí)行，來縮短賽事期間。對于沖突約束，可以采用妥協(xié)合作的方法，綜合考慮不同的觀點(diǎn)和意見，尋找能讓全體當(dāng)事人都在一定程度上滿意的方案，引導(dǎo)各方達(dá)成一致意見并加以遵守。

3 結(jié)論

本文以體育賽事人員安排問題為背景，在綜合數(shù)學(xué)建模方法和軟件應(yīng)用的基礎(chǔ)上，針對人員安排的計算展開討論，設(shè)定了一些常量和決策變量對問題中的已知和求解結(jié)果進(jìn)行表示，利用規(guī)劃模型進(jìn)行人員安排問題的求解。求解完成所有賽事所需總薪酬的最小值的人員分配方案后，再考慮進(jìn)度、組織、趕工和沖突的問題，對約束進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)換，然后運(yùn)用LINGO軟件對模型進(jìn)行求解，討論了這些因素對總薪酬的影響，最終得出賽事的人員安排。

基于運(yùn)籌學(xué)整數(shù)規(guī)劃的體育賽事人員安排模型，可以結(jié)合人力資源負(fù)荷圖，研究比賽期間約束下的人力資源均衡問題。對于勞動力來說，人力資源的成本將隨著雇傭人數(shù)和培訓(xùn)人員的需要而增加。在賽事的人力資源需求中，為了使各工作人力資源需求的波動最小，應(yīng)對競賽主管進(jìn)行再次分配，使其能夠以比較穩(wěn)定的人力資源使用率來降低人力資源成本。