高中數學發散性思維教學的思考與實踐*
——讀《中國的孩子玩不起數學》一文有感

2021-04-17 15:40:07梁永年

中學數學月刊 2021年11期

梁永年

(江蘇省濱海中等專業學校 224500)

1 原文概述

最近，偶讀我國著名教育學博士上官子木的一篇文章《中國的孩子玩不起數學》[1]，讓人感觸良多．作者首先談到競賽能力不是創造能力，我國只是競賽獲獎的大國，而美國是創造獲獎的大國，美國獲得數學最高獎“菲爾茨獎”的人數在世界上遙遙領先，而中國竟然沒有！如此現象，原文作者認為影響因素是多方面的，并強調基礎教育存在很多致命的缺陷．

原文作者先是論述學生的數學興趣問題，進而論述學生玩數學的問題，指出我們培養了一大批厭倦甚至仇視數學的數學高材生，是只重視競賽獲獎，而不重視學科興趣培養的必然代價；指出我國教學的刻板要求、強化訓練是興趣的大敵；指出數學承載升學就業負擔，學生玩不起；指出學生對我國數學教學只能仰視，他們不覺得好玩；指出我國數學教學缺乏層次，一方面對普通學生的要求太高，另一方面又不能為有興趣的學生提供適宜的教學環境；還指出我國基礎教育在過度求精深之外的另一個缺陷是求全．

文章最后強調了讓學生玩得起數學的幾個關鍵要點：要對現行數學教學方法和方式進行改進、要使校外的數學奧數與升學脫鉤等等．

2 興趣之失

不可否認，學生是有差異的，有些學生天生對數學感興趣，也有些學生對數學感覺一般，若遇到優秀教師的合理引導，也可能會對數學產生興趣．可如今，我們的教學不僅沒有調動那些本不喜歡數學的學生的興趣，還扼殺了那些本來對數學有興趣的學生的興趣．正如原文作者所講，有些數學高材生也厭倦甚至仇視數學．那么，學生的興趣是如何丟失的呢？

(1)大量作業扼殺了學生的興趣

現在，不少教師似乎都明白一個“道理”：多壓一點作業，學生的成績能好一點．這些教師也知道，若學生能認真完成適量的作業，效果應該更好．但他們又擔心學生的時間被其他學科搶走，不敢減少作業量．加之計算機網絡和印刷技術的高度發達，教師布置作業更加容易，使得學生總有做不完的作業．小學生的作業要到晚上9點才能完成，初中生的作業要到晚上10點甚至更晚才能完成，而高中生的作業在晚上11點之前能完成的很少．還有些學生要罰抄作業，那就更慘了!寒暑假本應該是學生自主發展特長的重要時間，也都被大量的作業占據．今年筆者親聞某高一學生的作業有180張講義(正反面印)和一本上百頁的習題冊，而且暑假還補課近30天．如此之多的作業，學生只能疲于應付，哪有時間玩數學？何談興趣？即使數學好的學生，興趣也被扼殺了！筆者女兒上初二時，一次周末作業遇到一個格點面積問題，指導她得到答案后，與她商定作業完成后，再探討一下格點多邊形的面積公式，遺憾的是一直未有機會．筆者一直任教高中數學，發現一個現象：近年來，粗心的學生越來越多．通常我們認為男生比較容易粗心，女生相對細心，但現在好像不分男女生．不知道是不是因為作業多，學生忙于應付，長期以往養成了不良的作業習慣所致？

再看看我們布置的作業，大量的重復訓練，同一類型的問題反復做．這樣的熟化訓練確實能打好學生的基礎，讓學生一見到常規問題立即就有解題方法，尤其是對那些數學本來不好的學生有很大的促進作用．但對數學優生是傷害，他們的發散思維得不到發展、創造想象力受到遏制，本來玩數學的時間變成機械重復訓練，數學的興趣被逐步磨滅．所以這樣的作業是一種“扯平”教育，數學中下等生向前近了一步，數學優生向后退了一步，不能人盡其才．記得20世紀80年代上小學，作業很少，那時候沒有打印練習，有時教師在黑板上抄幾道題讓我們回去完成，幾乎不需要花時間，偶爾教師也出一兩道難題，讓我們回去鉆研，班上大部分學生不做，但總有五、六個學生花大量時間去思考鉆研，并且第二天這幾個學生還圍在一起討論．可惜的是，現在這些現象已不多見．

(2)課堂教學不能調動學生的興趣

我們的數學教學節奏之快，令人瞠目結舌．本來高中三年，兩年半的新授課，半年高考復習，變成高三一年復習．10年前，高一、高二每學期期末考試前留一兩個星期復習，現在都有一個月的復習時間．如此教學，我們真正的新授課教學還剩多少時間？能真正落實知識生成教學嗎？很顯然，仍然是填鴨式教學，根本不能讓學生體現數學發現之樂．知識生成教學是一個探究發現的學習過程，是在教師適度的引導下，學生打開思路去自主發現的過程，它能夠激發學生的想象力、鍛煉學生的發散思維能力，但需要教師給出足夠時間．短時間的知識生成教學，無疑是教師過度引導所致，問題過多、過碎，指向性過強，是強迫學生的假發現，學生的想象力得不到提升．比如，學習正余弦定理之后，有多少學生想到是否有正切定理而去鉆研的？幾乎沒有．現在的一些公開課、優質課、觀摩課確實上得不錯，但都是教師在別的班級反復試上，同事幫助反復磨課而成，有多大的現實意義呢？還有，課堂討論氣氛熱烈，是不是學生已經做過充分的準備呢？是不是教師的問題過于簡單呢？一個數學知識的發現，所有學生都能迅速參與討論，我們的學生真的那么聰明嗎？

夯實基礎歷來是我國數學教育的強項，教師注重題型歸納教學、注重解題方法的總結教學，使學生面對常規問題能夠迅速找到解題思路，加之大量的數學練習，練就了學生扎實的基本功．近年來，變式教學成為不少教師課堂教學的重要一環，變式教學的初衷是觸類旁通，拓展學生的思維、拓寬學生的思路．但實際教學中，變式教學被教師演變成相似題目的重復訓練，這也變成打好學生數學基礎的一個十分有效的教學手段，對目前的考試有奇效．可惜的是，目前的變式教學只是機械變式，沒有變出新思想、沒有變出新穎性，更不是學生思考后的變式，仍然是固化學生思維的指向性教學，是枯燥的重復訓練教學，沒有起到激發學生發散思維的作用，沒有能夠調動學生的興趣．

教學要求過于統一、過于精益求精，不能因材施教．以考試要求為教學標準，讓很多基礎差的學生疲于應付，甚至苦不堪言；同時又讓基礎好的學生吃不飽，他們早已掌握了相關知識方法，還要繼續重復訓練，只為熟能生巧，考試更快更準．也有些學校為了因材施教，讓那些優生得以充分地發展，分出了強化班、競賽班等，但這些班不是以調動學生的興趣為目的，而是進一步增加教學難度，學生壓力仍然很大，還是玩不起數學．總之，我們是以提高學生解題能力為目的的教學，過于強調學生的熟練程度，過于重視解題技巧，而不能做到以學生探索為目的的發現教學，難以激發學生的好奇心．數學的奧秘，是教學的難題，如果不能做到讓學生自己探索發現，那么學生的發散思維將受到極大的限制．

3 發散教學之思

早在之前，我國就提出創新教育，強調要培養學生的創新意識、創新思維、創新精神．所謂創新，就是要能跳出常規思維，能夠想開去而有新的發現．因此，創新思維是教學的一個重點!我們都知道，數學教學的一個重要任務就是提升學生的思維能力．通過數學教學，可以提升學生的邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力等，但就我國數學教學而言，數學教學急需培養學生的發散思維能力．我國學生數學基礎確實扎實，但缺乏創新思維，很難發現新問題，都是教師提出問題，學生被動解決，學生既無興趣又后勁不足，故而在數學上難以有重大成就．因此，我們需要解放思想，加強發散思維教學．

(1)低起點，發散要求

起點高，學生難以參與思考，只能被動接受，久而久之容易喪失興趣而玩不起數學．起點低，則學生都能參與而不排斥數學，不會使本來有興趣的學生喪失興趣．當然，低起點不等于低要求，如果總是讓學生完成低難度問題，也不能調動學生的興趣，特別是數學優生的興趣，學生的數學能力也得不到提升．我們應該通過低起點問題，讓學生發散思維．需要提醒的是，這不同于循序漸進、逐步加深，而是要根據低起點問題，提出沒有預設方向的發散性問題，引導所有學生聯想開去，學生可以推廣加深問題、可以類比發現同類問題、可以歸納猜想新問題等．學生提出的問題是否有深度和廣度？是否有價值？并不重要．重要的是他們想問題的過程，長此以往，學生提出的問題可能會超出教師的能力范圍，這正是我們需要的！這也是學生玩數學的過程，他們怎能沒有興趣？

上文提及的變式教學并沒有錯，問題是，這個變式問題應該由誰提出？如果是在教師的引導下，由學生提出問題，教師幫助修訂而后挑選有價值的問題，再讓學生解決，那是最好不過了．事實上，我們現在的變式教學要么是讓學生加強練習某種題型，達到熟化的目的，要么是逐步加深問題，達到加強邏輯推理的目的．但總是學生沿著教師的思路被動完成問題，是指向性思維的訓練，不能打開學生的發散性思維．

現在的課堂教學強調師生配合、強調學生活動，是有道理的．課堂教學滿堂灌，學生被動接受，當然遏制他們的思維．我們現在的課堂教學，教師課堂提問次數多，學生也能積極回答，但仍然沒能打開學生的思維，這些零碎的提問往往是教師給一個較難的題目預設某些解題方向，引導學生完成的過程．比如問題“為達成這個目標，我們應該怎么做？”是一種指向性很強的問題，訓練的是邏輯思維能力，這也是我國教學的強項．數學教學當然需要這種邏輯思維能力的培養，但不能總是這樣，我們需要大幅增加發散性問題的比例，如問題“就這個條件，我們能想到什么呢？”“通過這個問題的解決，大家還能發現什么結論？”等等．發散性問題的教學下，學生想到的內容會很雜，這需要教師整合，需要教師有較強的數學專業素養，而且解決一個問題需要耗費大量的課堂時間，課堂容量會變得很小，與那些大量評講例題、大量訓練的課堂相比，短期內考試成績可能會有大的落差．因此，我們需要解放思想，以培養學生思維(特別是發散思維)能力為目標，激發學生的興趣，相信經過一定的時間，學生的考試成績也一定不會差，甚至會超越那些大容量教學的班級．事實上，我們也注意到，一些施行大容量教學的班級，學生平時考試成績確實很好，但高考成績卻平平，甚至會被其他班級反超．其原因是平時考試熟題多，這些學生接觸的題型多，考試成績自然好，而高考原創題較多，只有會思考才能取得好成績．

(2)作業多樣化，增加開放題

上文已談到，目前學生作業太多，嚴重遏制學生的興趣，需要減量．還有一個問題，即作業形式過于單一，都是千篇一律的指向性問題，學生要么會做、要么不會做，不是做對就是做錯，基礎差的學生容易受到傷害，也不能充分調動優生的積極性．因此對于作業問題，首先要減量，把學生從繁重的作業任務中解放出來，讓他們做自己愿意做的作業，讓他們深入鉆研有意義的問題；其次要增加開放題，與教學一樣，降低起點問題的難度，讓學生愿意做，然后設計開放問題，逐步引導學生深入鉆研，答案不一定非對即錯，允許學生談自己的思路和想法、談自己的發現等等，目的是打開他們的發散性思維．答案有深入與膚淺之分，但教師不給等級之分，只對答案進行點評，讓學生都有成就感，能夠調動他們的學習興趣，比大量完成那些機械作業要有意義．

過去，教師一般都強調課前預習，要求學生先看看課本，再聽講新課時更容易接受．現在很少有教師提出這樣的要求，況且學生也沒有時間完成．倘若學生有時間，預習作業還是有必要的，但不能僅僅是預習課本；甚至可以不要求學生看課本，提出相應問題，給出足夠時間(如一個星期)讓他們探索，之后教師匯總學生的探究成果自然銜接新授課，這樣的預習作業更有價值．目前學生在校期間的主要作業是課后作業，特點是量大且形式單一，我們需要解放思想控制作業量，這一點毋庸置疑，另外還需要豐富作業形式，可以設置低起點的探究問題、可以要求學生根據原問題提出新問題、可以不要求學生具體求解而讓他們寫出解題思路、可以讓學生根據一個數學現象談自己的認識和想法．寒暑假時間較長，要調動學生完成作業的興趣，更要豐富作業形式，甚至可以一個假期讓學生完成一個研究報告，教師需要考慮的是合理選題，既要選學生能夠研究的問題，又要是學生感興趣的問題，還要能夠鞏固上學期學習內容的問題才好．曾看到一家網絡媒體報道，我國一位大學教師的兒子在美國讀小學，小學畢業寫了一篇二十多頁的歷史研究論文．該報道如果是真，會讓我們很多中小學教師自慚形穢，試想：我們有多少中小學教師有這個能力？而這也一定與美國教育有關，與美國教師的作業要求有關．

(3)合理分層教學

不可否認，學生間存在很大差異，分層教學有一定的合理性．事實上，學生按中考分數線錄取到不同高中，就是典型的分層教學．不僅如此，很多高中內部還進行了分層教學，如強化班、競賽班等．但后者的分層教學有待商榷，它是學生綜合能力的分層、是好差之分，對眾多學生是一種打擊，也易產生教學資源不合理分配而引發不公平．同一所學校，有沒有必要進行分層教學？個人認為，國家規定的公共課程不宜分層教學，讓所有學生接收同等學習待遇，畢竟同一學校的學生人數有限，整體差距不是很大，沒有必要讓學生產生心理上的落差．但我們可以設置各學科的興趣班，利用每天下午3、4兩節上課，讓所有學生根據自己的興趣選擇班級，發揮自己的強項，讓每位學生找到成就感．如數學興趣班，讓學校數學水平高且教學能力強的教師上課，帶領那些對數學有興趣的學生玩好數學，拓展課本知識，探究發現數學未知，指導學生學寫數學小論文，逐步培養學生的研究意識，激發他們的研究能力．

4 加強高考導向

高考事關每位學生的切身利益，家長對學校寄予厚望，加之教育主管部門的考核，高考成績已經成為各所高中學校的生命線．校長對高考不敢懈怠，學校對教師的考核自然更看重成績，教師教學當然不能不考慮提高學生的成績．大量訓練能對高考起作用，當然不會減少練習量；反復歸納總結解題方法有作用，當然會加強題型、方法的評講．培養學生的發散思維對考試效果不好，還影響練習時間和例題評講量，教師當然就不會這樣做了．因此，高考命題對教師教學起著關鍵作用，教師教學定會因高考命題導向改變而改變，高考試題測度重視思維，教師自然會加強思維教學．至于高考命題導向，不敢妄語，提幾點想法與讀者交流探討．

(1)高考應分層考試

上雙一流大學的考生與上大專院校的考生，同考一份試卷，測試信度不高．試想：兩道填空題分值一樣，一道容易題、一道難題．如果一位差生做對了容易題而難題沒做，但是另一位優生在容易題上粗心做錯卻做對了難題，他們的能力一樣嗎？

(2)減少題量

題量過多，表面上是考查學生的思維反應速度．其實剛好相反，這并不能考查學生的思維能力，題量大，常規問題必然多，否則學生肯定來不及，這就導致大量熟化訓練起作用、多總結歸納有作用，是學生反饋能力的考查．題量小一點，多出一點原創題，給學生足夠時間思考分析，才是對思維能力的考查．

(3)增加發散性問題的考查

目前高考數學試題中極少見到開放性試題，這也是教師教學不解放思想的根本原因．如果高考試題需要學生發散開去想，而且這類試題比重大，對高考起決定性作用，就不怕教師不改變教學理念．

5 辯證關系