基于偏微分方程的圖像修復方法研究

苗曉，張新東，唐泉，楊思淵

(新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

圖像修復是利用已破損區域的周邊信息，通過確定擴散信息和擴散方向來獲得缺損區域信息，達到圖像復原的目的[1]。目前，圖像修復技術主要有基于紋理的圖像修復算法[2]以及非紋理圖像修復技術即基于偏微分方程(PDE)的修復算法[3]。基于偏微分的圖像修復算法有曲率驅動擴散(CDD)修復算法[4]和BSCB修復算法[5]、全變分(TV)修復算法[6]。其中，Shen等[6]于2002年在TV去噪模型的基礎上提出了TV圖像修復模型。

TV圖像修復模型由去噪模型發展而來，模型在去噪的過程中較好地保護了圖像邊緣，且PDE方法實現方便。但是該模型也有不足之處，例如不滿足視覺連通性原理，適合修復破損面積較小的區域；適合修復變化平滑的圖像等。為了進一步優化TV模型的修復效果，研究者們進行了大量的實驗模擬。基于TV模型不滿足視覺連通性原理，Shen等[6]進一步提出三階PDE方法-CDD圖像修復模型，通過曲率調節各項異性擴散，從而滿足視覺連通性。2013年，王濤等[7]通過對TV模型加入擴散系數，利用其控制各參考點對待修復區域的貢獻值，得到過渡自然，邊緣清晰的圖像。其提出的改進模型得到的圖像在獲得較高峰值信噪比p的同時增加了修復時間。2015年，王戰等[8]提出一種全新的梯度優先計算方法，該方法對大區域的破損有較好的修復效果。本文找到一種對待修復區域實現不同權值的辦法，即在TV模型中引入一個以梯度模值作為參數的擴散函數，此類函數在小梯度區域，擴散函數取值較大，增強圖像的平滑度；在大梯度區域，擴散函數取值較小，降低圖像的平滑度，保護了圖像的邊緣信息，也提高了圖像的修復速度。以下計算對給定圖像，其破損區域記為ω，破損區域的外鄰域記為Ω，修復后的區域為ω∪Ω且邊緣連通。

1 模型的改進和實現

基于TV模型的圖像修復代價函數為：

(1)

其中，Z=Z(x,y,t)為t時刻修復后圖像的像素值；Z0=Z(x,y,0)為待修復圖像的像素值；?是梯度算子；λ是拉格朗日乘子。

通過求解式(1)的最小能量泛函得到其Euler-Lagrange方程：

(2)

式(2)對應的梯度下降流方程為：

(3)

其中，β是一個較小的常量，以保證梯度模|?Ζ|為零時式(3)有意義。

類似梯度下降流方程，Malik等[9]提出各項異性擴散方程(P-M方程)如下：

(4)

其中，g是擴散系數函數，且是一個滿足g(0)=1，g(∞)=0的非負有界遞減函數。

本文在文獻[10]的基礎上針對擴散函數進行修改，得到新的擴散函數如下：

(5)

其中，正常數K是調整保護梯度的范圍。此擴散函數可以在小梯度區域增強平滑，大梯度區域降低平滑。所以，將此擴散函數作用于修復模型便可控制各參考點的權值，從而使圖像邊緣清晰，過渡自然。

(6)

2 數值實現及結果分析

2.1 方程的離散化

圖1 鄰域像素點Fig.1 Neighborhood pixel points

(7)

其中，h表示步長，選取h=1，然后估算半像素點{n,e,s,w}的梯度值，如下，以e點為例[7](其余點類似):

(8)

梯度模值：

(9)

依次算出其余半像素點梯度模值，代入式(7)得

div(v)=(v1e-v1w)+(v2n-v2s)

(10)

將式(10)代入式(6)對應的定常方程，則得到離散化的修復方程為：

(11)

(12)

式(12)即為最終得到離散方程的差分格式，模型的穩定性分析請參考文獻[11]。

本文取λO(0)=0，將各像素值統一帶入式(11)，化簡得到：

(13)

式(13)是對待修復點進行一次迭代的具體形式，那么迭代n0次的具體形式為:

(14)

2.2 實驗結果分析及對比

本實驗在CPU為2.0 GHz，內存為4.0 GB的計算機平臺，運用Matlab2016對算法進行實驗操作。實驗分別采用Pepper和Lena灰度圖像，像素大小為256×256，進行兩組對比實驗。對比實驗1，對Pepper圖像進行小區域劃痕修復，對比實驗結果如圖2所示。對比實驗2，對Lena圖像進行大區域劃痕修復，對比實驗結果如圖3所示。經過反復實驗對比，取自適應參數β為0.01，峰值信噪66(p)達到最大值時迭代停止，即得到修復圖像。

圖2 小區域破損實驗結果對比Fig.2 Comparison of damage experiment results in small areas

圖3 大區域破損實驗結果對比Fig.3 Comparison of damage experiment results in large areas

從實驗結果可知，本文算法不僅對小區域破損圖像有明顯修復效果，對大區域破損同樣有效。根據圖2我們發現采用 TV 算法輸出的修復圖像不滿足視覺連通性，根據文獻[10]算法輸出的修復圖像有一定的階梯效應。由表1～2數據可知，本文算法輸出的修復圖像無論是迭代次數、用時，還是修復效果，均具有明顯優勢。基于偏微分的圖像修復采用峰值信噪比來對修復的結果進行評價[13]。評價函數如下

(15)

其中，M×N為圖像的大小，Z*(i,j)和Z(i,j)分別為原圖像和修復后圖像在對應像素點的像素值。p值越大，則表明修復效果越好。不同算法得到的修復圖像，其p值及迭代時間和迭代次數如表1～2所示。

表1 小區域劃痕修復實驗

表2 大區域劃痕修復實驗

綜合表1～2數據可知，TV算法、文獻[10]算法與本文算法相比，本文算法的p值有明顯提高；在修復效果基本相同的情況下，修復圖像所需要的時間最少，體現了本文算法具有良好的應用價值。

3 結論

本文針對TV圖像修復算法的局限性，在給出了一個新的擴散系數函數的基礎上對TV算法進行改進，通過對峰值信噪比、迭代時間及迭代次數進行比較發現，本文算法修復效果更好，數值實驗結果驗證了該算法的優越性。