非線性脈沖微分方程組邊值問題正解的存在性

王明高,唐秋云

(1.山東理工大學 數學與統計學院,山東 淄博 255049;2.齊魯醫藥學院 山東 淄博 255300)

1 引言及預備知識

脈沖系統作為現代科學領域中廣泛存在的一類系統，應用于許多領域中，比如人口動力學、生物系統、工業機器人、最優控制等。因此，對脈沖微分方程的探討已經引起了國內外學者的興趣，傅希林等[1]、Guo等[2]、郭大鈞[3]闡述了較系統的脈沖微分方程方面的理論基礎；依據這些理論，田亞芳等[4]、Agarwal等[5]、盧振花等[6]應用Leggett-Williams不動點定理研究了脈沖微分方程的至少3個正解的存在性；劉衍勝[7]、尚亞亞等[8]在Banach空間中研究了二階脈沖微分方程邊值問題的解的存在性；鄭鳳霞等[9]、Xie等[10]、王巖巖等[11]分別用混合單調算子的不動點定理和錐上的不動點定理得到脈沖微分方程正解的存在性；張亞莉[12]、唐秋云等[13]、朱雯雯等[14]則是利用錐上不動點定理研究了微分方程(組)邊值問題的正解。然而由于脈沖微分系統的多樣性，在Banach空間中研究二階脈沖微分方程組的文獻目前還比較少。本文通過構造一個特殊的算子，將脈沖問題轉化為連續性問題，在Banach空間中運用錐壓縮與錐拉伸不動點定理研究了二階脈沖微分方程組邊值問題，得到兩個正解存在性結果，運用Sadovskii不動點定理得到了一個正解的存在性結果。

本文考慮二階非線性脈沖微分方程組邊值問題正解的存在性,方程組見式(1)。

(1)

其中θ為E中零元,fi∈C[J×P×P,P]，Iik∈C[P,P],i=1,2;k=1,2,…,m。

引理1.3[3]設E,F都是Banach空間,A,B分別是E,F中有界開集,E,F,E×F中的非緊性測度用α(·)表示,E×F中的范數用‖(x,y)‖=max{‖x‖,‖y‖}定義,則α(A×B)=max{α(A),α(B)}。

引理1.4[2](錐拉伸和錐壓縮不動點定理)設P為E中的一個錐,Pr,s={x∈P,r≤‖x‖≤s}(s>r>0),并設A:Pr,s→P為嚴格集壓縮算子,并滿足下面條件之一：

(i)當x∈P,‖x‖=r時，‖Ax‖≥‖x‖,且當x∈P,‖x‖=s時，‖Ax‖≤‖x‖，

(ii)當x∈P,‖x‖=r時，‖Ax‖≤‖x‖,且當x∈P,‖x‖=s時，‖Ax‖≥‖x‖,

則A在Pr,s中至少具有一個不動點。

引理1.5[2](Sadovskii不動點定理)設D為Banach空間E中的有界凸閉集。如果A∶D→D是凝聚的,則A在D中至少具有一個不動點。

2 正解的存在性

為方便起見，先列出下列條件:

(H2)對任意的r>0,fi(t,x,y)在[0,1]×BE(0,r)×BE(0,r)上一致連續，且其中BE(0,r)={x∈E,0<‖x‖≤r}。

(H3)存在lij≥0(i=1,2;j=1,2),滿足α(fi(t,C1,C2))≤li1αE(C1)+li2αE(C2),?t∈J,C1,C2為E中的有界集，且存在Lik≥0,D為有界集，使α(Iik(D))≤Likα(D),其中i=1,2;k=1,2,…,m,并且

K=∶{(x,y)∈C[J×J]∶?t,s∈J,x(t)≥tx(s),y(t)≥ty(s)}。

(2)

(3)

(4)

則易證(x,y)也是邊值問題(1)的解。

現考慮積分方程組(4),令

則

(5)

(6)

對?(X,Y)∈K,根據式(5),(6)定義算子

(7)

則方程組(4)轉化為

(8)

對?(X,Y)∈K,定義算子

(9)

其中

且T1(X(t))，T2(Y(t))由式(7)定義,易證式(9)在K上的不動點也是積分方程組(8)的解,通過式(5),(6)可得積分方程組(4)的解,即邊值問題(1)在Q中的解。

根據式(2),(3)令

K1=∶{X∈C[J,P]∶?t,s∈J,X(t)≥tX(s)},K2=∶{Y∈C[J,P]∶?t,s∈J,Y(t)≥tY(s)},

引理2.1 假設Iik∈C[P,P],i=1,2;k=1,2,…,m,則Ti:Ki→Qi(i=1,2)連續有界。

證明顯然Ti(i=1,2)的定義是合理,且對?t∈J,?X∈K1有T1(X(t))≥X(t)≥θ。假設{Xn}?K1,X0∈K1，使得

顯然由I1k(k=1,2,…,m)的連續性知

故由式(7)知

同理

類似可得

因而‖T1(Xn)-T1(X0)‖→0(n→∞),故T1∶K1→Q1連續。同理可證T2∶K2→Q2連續。

假設Ω?K1有界,則存在常數M>0,使得?X∈Ω,‖x‖≤M。由(5)知

故T1(Ω)[0,t1]有界。因為I11連續,所以I11(T1(Ω(t1)))也有界,且有

同樣，由I1k的連續性可得I1k(T1(Ω(tk)))有界。

類似可得

故T1(Ω)有界,即T1:K1→Q1有界。同理，T2:K2→Q2有界。證畢。

類似于文獻[13]中引理2.3的證明,易得以下引理。

引理2.2設(H1)滿足,Ω為K中有界集,則{A(X,Y)∶(X,Y)∈Ω}在J上等度連續,且對?ε>0存在δ>0,滿足

‖A(X(t),Y(t))-A(X(t′),Y(t′))‖<ε。

關于|t-t′|<δ和(X,Y)∈Ω一致成立。

由非緊性測度定義及引理1.3容易推出以下引理。

引理2.3設(H1)成立,Ω為K中的有界集,則

引理2.4 若(H1)～(H3)滿足,則A∶KR→K是嚴格集壓縮算子。

證明首先說明對?(X,Y)∈KR，A(X,Y)∈K,且Ai(X(t),Y(t))≥θ,i=1,2,t∈J。另由(H1)和引理2.1知

‖fi(t,T1(X(t)),T2(Y(t)))‖≤ai(t)‖T1(X)‖+bi(t)‖T2(Y)‖+ci(t),i=1,2。

(10)

所以由式(9)得

故有‖A(X,Y)‖<+∞。

對?t,t′∈J有

因此A(X,Y)∈C[J×J]。

又對?t,u,s∈J,由于G(t,s)=min {t,s}≥min {ut,s}≥tmin {u,s}=tG(u,s)。所以

故A(KR)?K,即A∶KR→K。

現證A∶KR→K連續。設

對?t∈J,由(10)知

‖fi(t,T1(Xn(t)),T2(Yn(t)))‖≤ai(t)‖T1(Xn)‖+bi(t)‖T2(Yn)‖+ci(t)≤(ai(t)+bi(t))M+ci(t),i=1,2。

(11)

對?ε>0,由(H2)知,存在N1∈N，使得當n>N1時,有

‖f1(t,T1(Xn(t)),T2(Yn(t)))-f1(t,T1(X0(t)),T2(Y0(t)))‖≤2ε。

所以

‖A1(Xn(t),Yn(t))-A1(X0(t),Y0(t))‖

同理,對上述ε,存在N2∈N，使得當n>N2時,有

‖A2(Xn(t),Yn(t))-A2(X0(t),Y0(t))‖<ε。

故對?ε>0,取N=max {N1,N2},當n>N時，有‖A(Xn,Yn)-A(X0,Y0)‖<ε,即

下證A∶KR→K為嚴格集壓縮算子。設Ω?KR有界,易知A(Ω)為有界集,根據引理2.2,A(Ω)在J上等度連續。以下證明αC(A(Ω))≤lαC(Ω)(l<1)。事實上,由引理2.3可知,只需證明

(12)

令Ω1={X|(X,Y)∈Ω},Ω2={Y|(X,Y)∈Ω}。因為

由(H3)知

所以由引理2.3,(H3)及文獻[3]中(9.4.11)知

由t的任意性知式(12)成立,即αC(A(Ω))

定理2.1設條件(H1)～(H5)滿足,且存在R>0使得

(13)

證明只需說明A在錐K中滿足引理1.4即可。首先證明對式(13)中的R有

‖A(X,Y)‖≤‖(X,Y)‖,?(X,Y)∈?KR。

(14)

事實上,對?(X,Y)∈?KR,由(H1)及(13)式知

故有(14)成立。

其次,由于(H4)成立,我們選取充分小的r(0

‖A(X,Y)‖≥‖(X,Y)‖,?(X,Y)∈?Kr。

(15)

最后,由(H5)成立,取充分大的R1>max {1,R},可以證得

‖A(X,Y)‖≥‖(X,Y)‖,?(X,Y)∈?KR1。

(16)

事實上,

根據定理2.1易知下面結論成立。

推論2.1設條件(H1)～(H3)滿足,(H4)和(H5)有一個成立，且對于定理2.1中的R使得式(13)仍然成立。則A在K中至少有一個非平凡不動點。

證明略。

定理2.2設條件(H1)～(H3)滿足,則A在K中至少有一個非平凡不動點。

3 結論

本文是在前期研究微分方程組邊值問題正解存在性[13]的基礎上進一步考慮了Banach空間中脈沖微分方程組邊值問題。另外，在本文中借鑒了文獻[1]將脈沖問題轉化為連續性問題方法，利用錐拉伸和錐壓縮不動點定理，得到了脈沖微分方程組BVP(1)多個正解的存在性(見定理2.1),并在最后運用Sadovskii不動點定理得到了一個正解的存在性結果(見定理2.2)。