砂巖蠕變特性試驗及三維非線性力學模型研究

劉凡熙，趙立財，余建星，蔣騰健

(1. 廣西南寧水利電力設計院，廣西 南寧 530001；2. 天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300354；3. 南寧市城市建設投資發展有限責任公司，廣西 南寧 530031)

巖石是一種非均質非線性的地質材料，不僅具有彈性和塑性特征，其蠕變特征也是巖石力學中的核心研究內容之一[1]。水利水電工程、采礦工程、隧道工程中巖體蠕變變形明顯會對工程建設與運營造成威脅[2]。

對于巖石蠕變特性已有大量研究，江宗斌[3]探究水化學溶液和低溫對板巖蠕變特性的影響規律，基于此建立水化學-應力-損傷耦合模型；徐鵬等[4]以粉砂巖為研究對象，開展多級增量循環加卸載流變試驗，根據試驗結果提出一種可描述塑性應變變化規律的裂隙塑性元件，與Burgers模型串聯從而得到一個新的蠕變模型；梁冰等[5]進行片麻巖三軸壓縮蠕變試驗，對其起始蠕變應力閾值、長期強度和加速蠕變啟動時間進行分析；何峰等[6]開展不同含水率下的煤巖蠕變試驗，研究水對煤巖蠕變變形、長期強度等的影響。

目前關于砂巖蠕變特性試驗所建本構模型多為一維應力狀態下的力學模型，難以反映巖石在三維應力狀態下的蠕變行為。本文以某大型水利樞紐工程壩肩砂巖為研究對象，進行差異性圍壓條件下的三軸壓縮蠕變試驗。重新定義了一個與時間和圍壓都相關的黏彈性模量E(p，t)，并得到了新的三維非線性力學模型。

1 蠕變試驗

1.1 試驗設備

蠕變試驗采用RLW-2000型巖石三軸流變試驗系統。該試驗儀器由軸向、圍壓、孔壓加載系統進行荷載控制，由伺服、控制系統進行荷載和位移控制，通過數據采集和自動繪圖系統進行試驗成果采集和輸出。軸向加載系統和圍壓加載系統的控制部分采用全數字伺服控制器，設備最大加載圍壓70 MPa，最大軸向荷載2000 kN。

1.2 試驗材料及方案設計

本文研究背景為某大型水利樞紐工程壩肩邊坡，在滑帶附近取砂巖樣，將巖樣加工成直徑50 mm、高100 mm的圓柱樣，并打磨斷面使其平整。砂巖基本物理力學參數如表1所示。

表1 巖石基本物理力學參數Table 1 Basic mechanical parameters of rock

圖1 不同加載等級下的偏應力設置圖Fig.1 Schematic diagram of deflection stress at different loading levels

1.3 試驗結果

圖2為分級加載蠕變曲線，將每級軸向荷載(偏應力)標示在曲線上方。在圖2的基礎上利用玻爾茲曼線性疊加原理[7]可得到分別加載蠕變曲線，如圖3所示。

圖2 分級加載蠕變曲線Fig.2 Graded loading creep curves

圖3 分別加載蠕變曲線Fig.3 Separate loading creep curves

根據圖2、3可作如下分析：

(1)巖石在軸向荷載下，首先產生一定量的瞬時彈性應變，之后蠕應變發展累積，蠕應變量值遠小于彈性應變量值。當偏應力水平達到最后一級時，巖石出現加速蠕變階段，蠕變速率急劇增長，在短時間內屈服破壞。由此可知，巖石不僅表現有瞬時彈性階段、衰減和穩定蠕變階段，達到破壞偏應力水平后還表現有加速蠕變階段。

(2)在圍壓5 MPa～15 MPa下，巖石蠕變試驗歷時分別為228 h、203 h和188 h，破壞偏應力水平持續時間分別為25.81 h、6.49 h和3.24 h，蠕變試驗總歷時和破壞偏應力水平持續時間隨著圍壓的增大而遞減。

2 試驗結果

2.1 蠕變速率

研究巖石蠕變速率的變化規律，可以更好地認識蠕變變形發展過程。張春陽等[8]提出如下蠕變速率解析方法：

(1)

式中：Δti為蠕變時間;ε1，ε2，…，εn為各微段蠕變；Δε1，Δε2，…，Δεn為微段蠕變之差；Δε和vi表示Δti時間內總應變和平均應變速率。

根據式(1)的方法繪制蠕變速率曲線，如圖4所示，限于篇幅，僅給出圍壓5 MPa下的蠕變速率曲線。

圖4 蠕變速率曲線Fig.4 Creep-rate curves

由圖4可看出，巖石第4級蠕變加載曲線呈“桶”形，曲線簇從左到右分為3個區域：衰減蠕變階段、穩定蠕變階段和加速蠕變階段。其中巖石第1～4級加載等級下的衰減蠕變階段，對應圖中區域Ⅰ，該階段的蠕變速率在同一加載等級下逐漸遞減，在同一時刻隨著加載等級的提高而遞增；穩定蠕變階段對應圖中區域Ⅱ，該階段的蠕變速率在同一加載等級下基本保持恒定，在同一時刻隨著加載等級的提高而遞增;加速蠕變階段對應圖中區域Ⅲ，蠕變速率劇增，短時間內達到極限值。

2.2 穩態蠕變速率與偏應力的關系

繪制不同圍壓不同加載等級下的巖石穩態蠕變速率與偏應力的關系曲線，如圖5所示。

圖5 穩態蠕變速率與應力水平關系曲線Fig.5 Curves of the relationship between steady creep rate and stress level

由圖5可知，3種圍壓下的穩態蠕變速率與偏應力皆呈冪函數關系，R2分別為0.993 9、0.994 8和0.994 5。在巖石的穩定蠕變階段，雖然穩態蠕變速率與圍壓呈冪函數增長關系，但穩態蠕變速率變化范圍較小，相對比較恒定，由此說明該階段是巖石微裂紋不斷發育和擴展的過程，巖石蠕變全過程皆處于微裂紋發育、延展直至貫通的活動狀態。

2.3 等時應力-應變關系

選取圖3中1 、11、21、31、41、51、61 h共7個時間節點的偏應力-應變數據，繪制成等時蠕變曲線簇，如圖6所示。李良權等[9]取該曲線簇的拐點為巖石長期強度。

圖6 等時蠕變曲線簇Fig.6 Isometric creep-curve clusters

由圖6可知，通過取拐點的方法，圍壓5 MPa、10 MPa和15 MPa下的長期強度分別為19.8 MPa、22.3 MPa和24.7 MPa，長期強度隨圍壓的增強而逐漸增大。隨著時間增長，等時蠕變曲線簇逐漸偏于橫軸，表現出明顯的非線性特征。當巖石未進入加速蠕變階段時，蠕變變形為黏彈性變形，對應圖6中曲線簇的近線性段，于是將等時應力-應變曲線的斜率定義為黏彈性模量E(p)。圖7為黏彈性模量與不同圍壓的關系曲線。

圖7 黏彈性模量與圍壓關系曲線Fig.7 Relationship between viscoelastic modulus and confining pressure

由圖7可發現曲線近線性，用式(2)對圖7中7條曲線進行線性回歸，結果如表2所示。

E(p)=Mp+N。 (2)

由表2可知，R2平均值為0.994 7，E(p)的兩個參數M、N的變化在某種意義上可反映砂巖蠕變的非線性特征，圖8為M、N隨時間變化的數據分布。

圖8 M和N擬合Fig.8 Fitting of M and N

從圖8可看出，M值與時間t呈冪函數關系，N值與時間t線性相關。式(3)、(4)分別為M、N的擬合結果：

M=-at-b,

(3)

N=-ct+d。

(4)

將式(3)、(4)代入式(2)得

E(p,t)=-at-bp-ct+d。

(5)

式(5)即為本文所建可反映差異性圍壓條件的黏彈性模量，通過式(5)可建立砂巖受時間和圍壓影響的時效力學響應過程。

3 三維蠕變力學模型

3.1 模型建立

元件模型具有結構簡單、便于應用的特點，但常用的傳統元件模型如西原模型、Burgers模型等，其本構方程為線性狀態，難以描述巖石蠕變的非線性特征。故本文在傳統Burgers模型的基礎上，串聯一個非線性黏塑性元件[10]，從而得到六元件模型。假定其中Kelvin體中的彈性體服從式(5)，從而得到一個新的非線性蠕變力學模型。模型示意圖如圖9所示。

圖9 模型示意圖Fig.9 Illustration of the model

當σ0<σL時，非線性黏塑性體失效，其狀態方程為：

(6)

式中，σ0為初始應力，σA、εA、E1和η1分別為圖10模型A部分的應力、應變、彈性模量和黏滯系數，σB、εB、E(p,t)和η2分別為模型B部分的應力、應變、黏彈性模量和黏滯系數。相應的蠕變方程為：

多年來，何王廟故道一直是周邊40萬人口、200多戶漁民、80萬畝農田的水源地。為給江豚提供一個舒適的生存環境，監利縣對保護區水域的漁業捕撈、網箱養殖、洲灘放牧和農業污水排放等方面進行了綜合治理，并贖買了核心區漁民的捕撈工具，杜絕核心區捕撈活動。

(7)

當σ0≥σL時，非線性黏塑性體發揮作用，相應的狀態方程為：

(8)

式中，σC、εC和η3分別為模型C部分的應力、應變和黏滯系數，σL為長期強度。相應的蠕變方程為：

(9)

式(7)、(9)即為本文所建非線性蠕變力學一維模型。

假設巖石為各向同性體，根據廣義Hooke定律，三維應力狀態下的本構關系為

(10)

式中，σm為球應力張量，Sij為偏應力張量，K為體積模量，G為剪切模量。

由于在巖體工程中，巖石多處于三維應力狀態，而本文巖石蠕變試驗也是三軸壓縮應力路徑，故而有必要建立三維力學模型。假設巖石為各向同性體，分解巖石內部的應力張量，于是有

σij=Sij+δijσm，

(11)

一般認為，σm只改變物體體積，Sij只引起形狀變化，因此也可以將應變張量分解為

εij=eij+δijεm，

(12)

式中，εij為應變張量，εm為球應變張量，eij為偏應變張量。

為了簡化問題，假定巖石材料蠕變僅由偏應力張量引起，與體積變化無關，將式(7)、(9)推廣為三維情形

(13)

式中，(Sij)0為初始偏應力張量，(Sij)L為對應長期強度的偏應力張量。

在本文三軸壓縮蠕變試驗中，中間主應力σ2=p，于是

σm=(σ1+2p)/3，

(14)

再結合式(11)，則有

S11=2(σ1-p)/3，

(15)

將式(5)、(15)代入式(13)可得

(16)

式(16)即為本文所建的新的三維非線性蠕變力學模型的軸向蠕變方程。

3.2 模型參數識別及驗證

新建三維蠕變模型中有G1、η1、η2、η3、a、b、c、d、(σ1-p)L等共9個參數。圖7取拐點的方法可確定巖石長期強度σL，由于σL是通過等時偏應力-應變關系求解而得，所以偏應力(σ1-p)L在數值上等于σL，通過廣義Hooke定律可求解G1。另外7個參數通過數學軟件1stOpt，基于爬山算法(Hill Climbing)求解。圖10為識別結果與圖3試驗數據對比曲線，表3為模型參數。

圖10 試驗數據與預測結果對比曲線Fig.10 Comparison curves between test data and predicted results

表3 蠕變力學模型參數

由圖10和表3可看出，本文新建三維非線性蠕變力學模型具有良好的識別效果，R2平均值為0.971 5，能較為準確地描述砂巖在三維應力狀態下的蠕變力學行為。砂巖在不同應力狀態下，加速蠕變階段具有不同的曲線特征，新建三維模型仍具有較強的識別能力，由此證明本文所建模型的合理性和適用性。

4 結論

(1)巖石穩態蠕變速率與圍壓呈冪函數增長關系，穩定蠕變階段是巖石微裂紋不斷發育和擴展的過程，巖石蠕變全過程皆處于微裂紋發育、延展直至貫通的活動狀態。

(2)通過等時蠕變曲線簇取拐點，得到砂巖在圍壓5 MPa、10 MPa和15 MPa下的長期強度分別為19.8 MPa、22.3 MPa和24.7 MPa，長期強度與圍壓大小呈正相關。砂巖的長期強度折減較大，實際工程應用中應考慮其折減問題。

(3)本文通過研究砂巖蠕變的非線性特征，定義了與圍壓相關的黏彈性模量E(p)，經過推導變換得到了可反映巖石蠕變受時間和圍壓影響的E(p，t)。在傳統Burgers模型的基礎上，串聯一個非線性黏塑性元件，并將E(p，t)應用到模型中，得到一個新的一維蠕變力學模型。將其拓展到三維應力狀態，進行模型辨識，證明新建三維非線性蠕變力學模型描述砂巖在不同三維應力狀態的可行性和合理性。