雙有源橋直流變換器相平面分析與優(yōu)化

肖子衡，何志興，陳峻嶺，陳燕東，歐陽紅林，羅 安

（1.廣東志成冠軍集團(tuán)有限公司，東莞523718；2.國家電能變換與控制工程技術(shù)研究中心（湖南大學(xué)），長沙410082）

相平面分析是描述線性周期時(shí)變系統(tǒng)行為的圖解方法，已成功應(yīng)用于多種諧振變換器[1-5]。此外，文獻(xiàn)[6]中提出多種基于相平面分析的控制方法。對諧振變換器進(jìn)行相平面分析的主要優(yōu)點(diǎn)是狀態(tài)變量天然的微分特征，使其相平面為圓和橢圓的分段軌跡， 一個(gè)開關(guān)周期中的狀態(tài)軌跡形成閉合曲線，因此可以直觀得到其穩(wěn)態(tài)特性。如果考察相鄰周期的狀態(tài)軌跡，可以得到一簇曲線，因而也可以獲得暫態(tài)特性。 除了諧振類變換器，線性周期時(shí)變系統(tǒng)中還有其他類型的非諧振變換器，最具代表性的是雙有源橋DAB（dual active bridge）直流變換器。DAB具有電氣隔離，雙向降升壓能力，固有的軟開關(guān)特性和高功率密度的優(yōu)點(diǎn)，在直流微電網(wǎng)[7-9]、電動(dòng)汽車[10-11]以及固態(tài)變壓器中的隔離級[12-14]得到了廣泛關(guān)注。為了提高DAB 的效率和功率密度，開展了很多研究，并提出了一些調(diào)制方法。文獻(xiàn)[15]提出了單移相調(diào)制方法，易于實(shí)現(xiàn)，得到了廣泛應(yīng)用，且在額定功率和電壓匹配下可以實(shí)現(xiàn)較高的功率密度和效率，但是，在低功率或者電壓不匹配條件下，單移相調(diào)制方法的效率較低，零電壓開通ZVS（zero voltage switching）范圍較小；為了提高DAB 的性能，文獻(xiàn)[16]提出了雙移相調(diào)制方法用于減小無功功率；文獻(xiàn)[17]對其進(jìn)行了改進(jìn)，在低功率條件下得到了較好的性能；文獻(xiàn)[18]提出了擴(kuò)展移相調(diào)制方法用于減小循環(huán)功率，然而，由于雙移相調(diào)制方法和擴(kuò)展移相調(diào)制方法的附加約束條件，DAB 的性能未得到全局優(yōu)化。 由于DAB 的性能與電感電流密切相關(guān)，對DAB 的優(yōu)化就轉(zhuǎn)變?yōu)閷﹄姼须娏鞯膬?yōu)化。 文獻(xiàn)[19-21]關(guān)注電流應(yīng)力IPeak并提出了許多減小IPeak的調(diào)制方法；文獻(xiàn)[22-23]給出了電感電流有效值IRMS最小化的調(diào)制方法， 此調(diào)制方法被稱為電感電流最優(yōu)調(diào)制方法，其工作區(qū)間分為低功率、中等功率和高功率三種， 然而， 在中等功率區(qū)間由于需要求解四次方程，文獻(xiàn)[22]中控制坐標(biāo)的解析表達(dá)式過于復(fù)雜，控制坐標(biāo)需要離線計(jì)算之后才能在實(shí)際中進(jìn)行應(yīng)用，在文獻(xiàn)[23]中，控制坐標(biāo)只給出了數(shù)值解。

綜上所述， 對DAB 電感電流的優(yōu)化存在2 個(gè)難題。第一個(gè)難題是由于傳輸功率的等式約束條件會(huì)造成可行域非凸， 因此， 拉格朗日乘數(shù)法LMM（Lagrange multiplier method）或KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件等常規(guī)凸優(yōu)化方法可能失效[23]；此外，由于優(yōu)化目標(biāo)的表達(dá)式在不同可行域是不同的，在某個(gè)可行域中只能獲得局部最小值，因此，優(yōu)化過程需要以分而治之的方式完成。 另一個(gè)難題是IRMS的表達(dá)式過于復(fù)雜，導(dǎo)致以IRMS為優(yōu)化目標(biāo)難以獲得最佳控制坐標(biāo)的解析表達(dá)式，電感電壓有效值具有表達(dá)式簡單、與IRMS相關(guān)程度高且能部分反映變換器磁性元件損耗等優(yōu)點(diǎn)，可以作為優(yōu)化變量來間接優(yōu)化IRMS，為了同時(shí)考慮ZVS 區(qū)域和IPeak，以電感電流作為狀態(tài)變量， 對DAB 進(jìn)行相平面分析，從DAB 的相平面軌跡中可以直接得到開關(guān)管的ZVS實(shí)現(xiàn)情況與IPeak， 且相平面軌跡與坐標(biāo)軸圍成的面積恰好反映了電感電壓有效值。 本文基于DAB 的相平面分析，采用相對偏導(dǎo)增益法，用分而治之的思想在全功率范圍內(nèi)獲得了電感電壓有效值最小化的解析表達(dá)式。電感電壓有效值最小化調(diào)制方法具有控制坐標(biāo)簡單、在輸出功率變化時(shí)變換器效率較高以及可用于數(shù)字處理器等優(yōu)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了分析的正確性以及所提調(diào)制方法的可實(shí)現(xiàn)性。

1 DAB 時(shí)域與相平面分析

1.1 DAB 拓?fù)渑c等效電路

DAB 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及典型工作波形如圖1 所示，DAB 由輸入直流電容CDC1、 輸出直流電容CDC2、原邊開關(guān)管S1～S4、副邊開關(guān)管S5～S8、功率傳輸電感L 和變比為1∶n 的高頻變壓器組成， 開關(guān)頻率固定為fs。 Vin、Vout、Iin和Iout分別為DAB 的輸入電壓、輸出電壓、輸入電流和輸出電流。 高頻變壓器的端口電壓和原邊電流分別為vAB、vCD和iL。

圖1 DAB 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與典型工作波形Fig. 1 Topology and typical operation waveforms of DAB converter

DAB 正向傳輸功率和反向傳輸功率的典型工作波形如圖1（b）所示，DAB 存在3 個(gè)自由度，分別為原邊占空比φ1、副邊占空比φ2和移相角α，其中α 的取值范圍為[-π，π]，φ1、φ2的取值范圍均為[0，π]，則DAB 的控制坐標(biāo)表示為（α，φ1，φ2）。

為了簡化分析，對DAB 的電氣參數(shù)進(jìn)行標(biāo)幺化，電壓、電流、功率和時(shí)間的基準(zhǔn)值分別為

式中：M 為電壓增益，表示為輸出電壓與輸入電壓的比值。

DAB 在穩(wěn)態(tài)時(shí)半個(gè)周期后電壓和電流的極性與初始值相反，因此只需研究半個(gè)周期即可。 在半個(gè)周期內(nèi)，DAB 一共存在6 種狀態(tài)A、B、C、D、E、F，如圖2 所示。 這6 種狀態(tài)的狀態(tài)變量如表1 所示，其中，IA（0）、IB（0）、IC（0）、ID（0）、IE（0）和IF（0）分別為6 種狀態(tài)的初始電流。 半個(gè)周期內(nèi)6 種狀態(tài)出現(xiàn)的組合順序組成了DAB 的狀態(tài)軌跡OST（operation stage trajectory）， 如OST ACF 指DAB 在半個(gè)周期內(nèi)先進(jìn)入狀態(tài)A，再進(jìn)入狀態(tài)C，最終進(jìn)入狀態(tài)F。

DAB 的輸入功率Pin、輸出功率Pout、控制坐標(biāo)（α，φ1，φ2）與各個(gè)狀態(tài)持續(xù)時(shí)間（θA，θB，θC，θD，θE，θF）的關(guān)系分別為

忽略DAB 的損耗， 由功率守恒定理可得DAB的傳輸功率為：P=Pin=Pout。在控制坐標(biāo)α、φ1和φ2的取值范圍均為[0，π]的情況下，可能的OST 共有6 種，分別為：ABCF、ABEF、ADEF、BCBE、BCFE 和BEFE，其余的OST 均為這6 種OST 的特例。這6 種OST 的功率表達(dá)式和傳輸功率范圍如表2 所示。

圖2 半個(gè)周期內(nèi)DAB 的6 種狀態(tài)Fig. 2 Six operation states of DAB converter in a half switching cycle

表1 6 種狀態(tài)中的狀態(tài)變量Tab. 1 State variables in six states

表2 6 種OST 的功率表達(dá)式和傳輸功率范圍Tab. 2 Power expressions and transmission power range in six OSTs

其中OST ABEF、ADEF 和BEFE 不包含C 狀態(tài)，因此必須先將能量儲(chǔ)存在電感中，使得電感電流急劇增加，再由電感將存儲(chǔ)的能量向輸出端口傳遞。 由于這3 種OST 不能增大DAB 的功率傳輸能力，因此在接下來的優(yōu)化分析中將不被考量[23]。

根據(jù)DAB 的電壓增益和功率傳輸方向，DAB可以劃分為4 塊工作區(qū)域，即：降壓且正向傳輸率（M<1，P>0）、升壓且正向傳輸率（M>1，P>0）、降壓且反向傳輸率（M<1，P<0）和升壓且反向傳輸率（M>1，P<0）。 由于DAB 的對稱結(jié)構(gòu)，這4 塊工作區(qū)域中的控制坐標(biāo)存在如圖3 所示的映射關(guān)系，因此只需要研究（M<1，P>0）的工作區(qū)域即可。

圖3 DAB 工作區(qū)域映射關(guān)系Fig. 3 Mapping relation in DAB operation region

1.2 DAB 的相平面分析

將DAB 時(shí)域波形的x 軸和y 軸替換為電感電壓VL和電感電流IL可得DAB 的相平面圖，如圖4所示，以O(shè)ST ABCF 為例展示了這個(gè)變換過程。

圖4 上邊為電壓和電流的時(shí)域波形，實(shí)線表示DAB 的時(shí)域電壓和電流，虛線表示頻率近似的電壓和電流。 圖4 下邊多邊形代表VL和IL的相平面軌跡， 閉合曲線分別代表VL和IL的基波近似及3 次和21 次諧波近似的相平面軌跡。 隨著諧波次數(shù)的疊加，其相平面軌跡越來越接近于一個(gè)多邊形。

在相平面軌跡中，點(diǎn)a、b、c 和d 的坐標(biāo)分別為（VA，IA（0））、（VB，IB（0））、（VC，IC（0））和（-VF，IF（0））。由于一個(gè)周期內(nèi)時(shí)域波形的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為-π和π，因此相平面軌跡起點(diǎn)為a，逆時(shí)針周期運(yùn)動(dòng)，最小周期為2π。 從相平面圖可知：IA（0）<0、IB（0）>0、IC（0）>0、IF（0）>0，因此原副邊的開關(guān)管都可以實(shí)現(xiàn)ZVS。 電流應(yīng)力可以表示為IPeak=IF（0）。 相平面上的每個(gè)點(diǎn)都是DAB 穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)經(jīng)過的點(diǎn)，相平面軌跡越靠近原點(diǎn)則說明DAB 擁有更小的IL。 為了衡量相平面軌跡離原點(diǎn)的平均距離， 可以考察相平面與坐標(biāo)軸圍成的面積S。 以上述為例，S 可以表示為

雖然S 的最小化并不等同于IRMS的最小化，但通常來說，一個(gè)較小的S 對應(yīng)的IRMS也較小。 對于OST ABCF、BCFE 和BCBE，其IRMS和S 的表達(dá)式如表3 所示。

圖4 DAB 時(shí)域波形與相平面軌跡Fig. 4 Time-domain operation waveform and phase-plane trajectory of DAB converter

表3 OST ABCF、BCFE 和BCBE 的IRMS 和S 的表達(dá)式Tab. 3 Expressions of IRMS and S in OST ABCF, BCFE, and BCBE

表3 中，IRMS的表達(dá)式復(fù)雜，為控制坐標(biāo)的三次函數(shù)，而S 的表達(dá)式簡單，僅為控制坐標(biāo)的一次函數(shù)。 由于OST ABCF、BCFE 和BCBE 的可行域并不是凸集且有重疊部分[23]，因此本文采用相對偏導(dǎo)增益法對其進(jìn)行分段優(yōu)化處理。

2 基于相平面的DAB 優(yōu)化

根據(jù)上述相平面分析，DAB 的優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式，即

式中：X=[α，φ1，φ2]為控制坐標(biāo)；A（X）=S 為優(yōu)化目標(biāo)；P（X）=P 為傳輸功率的等式約束條件；Bi（X）≤0（i=1，2，…，q）為不同OST 的不等式約束條件。 由于P（X）和A（X）均為X 的連續(xù)可微函數(shù)，則P（X）和A（X）的全微分記為

記Xopt為在給定P（X）=P 下使得A（X）最小化的坐標(biāo)，對Xopt進(jìn)行小擾動(dòng)，擾動(dòng)后的坐標(biāo)記X*1、X*2和X*3，可得

式中，ξi（X）（i=α、φ1、φ2）為相對偏導(dǎo)增益。 假設(shè)Xopt是連續(xù)的，則Xopt的性質(zhì)為

文獻(xiàn)[23]中，式（11）被稱為全局最優(yōu)化條件。值得注意的是，如果式（11）的解得到的控制指標(biāo)在可行域范圍內(nèi)，則此解有效；若此解得到的控制指標(biāo)為固定的電壓增益或者傳輸功率， 則此解無效；若此解得到的控制指標(biāo)不在可行域內(nèi)，則需要進(jìn)一步考察可行域的邊界。

2.1 OST ABCF 下的優(yōu)化

將式（11）運(yùn)用于OST ABCF 可得

因此可解得控制坐標(biāo)為

式（13）～式（15）中，傳輸功率的下限由OST ABCF 的可行域條件限制， 低于這個(gè)功率下限，則OST ABCF 將轉(zhuǎn)變?yōu)镺ST BCF。 假設(shè)最優(yōu)控制坐標(biāo)連續(xù)，將式（11）運(yùn)用于OST BCF 可得

由于第1 個(gè)解為固定的電壓增益， 并不有效，將第2 個(gè)解代入OST BCF 的方程可得

類似地，式（17）中傳輸功率的下限由OST BCF的可行域條件限制，低于這個(gè)功率下限，則OST BCF將轉(zhuǎn)變?yōu)镺ST CF。 將式（11）運(yùn)用于OST CF 可得

2.2 OST BCFE 下的優(yōu)化

類似地，將式（11）運(yùn)用于OST BCFE 可得

在M<1、P>0 條件下進(jìn)一步可得控制坐標(biāo)的關(guān)系為

式（20）所求得的控制坐標(biāo)位于OST BCFE 可行域之外。 進(jìn)一步考察OST BCFE 的邊界α∈[0，π]，φ1∈[0, α]，φ2∈[π, φ1+π]，將α 置零時(shí)OST 將由BCFE 轉(zhuǎn)變?yōu)镺ST CFE，此時(shí)的控制坐標(biāo)為

式（21）中的功率上限由OST CFE 的可行域條件限制，超過這個(gè)上限，則OST CFE 將變回OST CF，當(dāng)功率進(jìn)一步增大時(shí)，OST CF 會(huì)變回OST BCF。

2.3 OST BCBE 下的優(yōu)化

將式（11）運(yùn)用于OST BCBE 可得

由于式（22）無解，因此最優(yōu)控制坐標(biāo)始終不在OST BCBE 中。

2.4 不同OST 最優(yōu)解區(qū)域的合并和擴(kuò)展

圖5 全范圍最優(yōu)解區(qū)域劃分Fig. 5 Division of optimal solution region in full operation range

表4 在M<1, P>0 場合下的最優(yōu)控制坐標(biāo)Tab. 4 Optimized control coordinate when M<1 and P>0

由式（13）～式（22）可知，不同OST 的最優(yōu)解有重疊部分，將OST ABCF、BCFE 和BCBE 中的最優(yōu)解進(jìn)行合并，并通過圖3 將其擴(kuò)展至全范圍。

其他場合其他OST 下的最優(yōu)控制坐標(biāo)，均可采用圖3 所示的映射關(guān)系得到，在此不再贅述。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證所提基于相平面分析與優(yōu)化方法的正確性與有效性，本文以TMS320F28335 為核心控制系統(tǒng)搭建了基于IGBT 的DAB 變換器實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，對單移相調(diào)制、電流有效值最優(yōu)化調(diào)制以及所提基于相平面優(yōu)化調(diào)制方法進(jìn)行對比。實(shí)驗(yàn)樣機(jī)主要參數(shù)如表5 所示，基于相平面優(yōu)化的控制框圖如圖6所示。其中，Vin和Vout分別為DAB 的輸入電壓和輸出電壓，二者相除得到電壓增益M，Vref為輸出電壓參考值，Vref與Vout之差通過PI 控制器可以得到功率指令P*。在得到了M 和P*之后，可通過表4 計(jì)算獲得相平面最優(yōu)控制坐標(biāo)（α*，φ*1，φ*2）。 為了防止控制坐標(biāo)的劇烈變化造成的輸出電壓波動(dòng)，最優(yōu)控制坐標(biāo)指令先經(jīng)過一個(gè)低通濾波器再進(jìn)入DAB 的脈寬調(diào)制器， 最終將控制指令送到DAB 主電路的開關(guān)管驅(qū)動(dòng)。

值得注意的是，由于電流有效值最優(yōu)化的控制參數(shù)在中等功率段解析表達(dá)式復(fù)雜，無法進(jìn)行數(shù)字控制[22]，因此在電流有效值最優(yōu)化的實(shí)驗(yàn)中只進(jìn)行了開環(huán)實(shí)驗(yàn)。

當(dāng)輸入電壓Vin=400 V、 輸出電壓Vout=320 V、輸出功率為1.6 kW 時(shí)，圖7 給出了DAB 變換器在3 種調(diào)制方法下的電壓、電流實(shí)驗(yàn)波形。

表5 DAB 變換器實(shí)驗(yàn)樣機(jī)參數(shù)Tab. 5 Parameters of experimental prototype of DAB converter

輸出功率增大為6 kW 時(shí)，圖8 給出了DAB 變換器在3 種調(diào)制方法下的電壓、電流實(shí)驗(yàn)波形。

圖6 基于相平面優(yōu)化的控制框圖Fig. 6 Control block diagram based on phase-plane optimization

圖7 輸出功率為1.6 kW 時(shí)3 種調(diào)制方法下的電壓、電流實(shí)驗(yàn)波形Fig. 7 Experimental waveforms of voltage and current under three modulation schemes with 1.6 kW output power

圖7 中， 在單移相調(diào)制下副邊開關(guān)管硬開通，而電流有效值最優(yōu)化調(diào)制和相平面優(yōu)化均可實(shí)現(xiàn)全部開關(guān)管ZVS；在電流有效值和電流應(yīng)力方面，3種調(diào)制方法的電流有效值分別為6.8、3.9 和4.8 A，電流應(yīng)力分別為13.6、9.6 和10.2 A。 圖8 中，3 種調(diào)制方法均可實(shí)現(xiàn)全部開關(guān)管ZVS；3 種調(diào)制方法的電流有效值和電流應(yīng)力十分接近，電流有效值分別為23.7、23.1 和23.3 A， 電流應(yīng)力分別為32.3、31.9 和31.7 A。

圖8 輸出功率為6 kW 時(shí)3 種調(diào)制方法下的電壓、電流實(shí)驗(yàn)波形Fig. 8 Experimental waveforms of voltage and current under three modulation schemes with 6 kW output power

實(shí)驗(yàn)條件為： 輸入電壓Vin=400 V， 輸出電壓Vout=320 V。 變換器在所提控制方法下的動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)波形如圖9 所示。 圖9（a）為輸入電壓突變所對應(yīng)的動(dòng)態(tài)過程，Vin由400 V 降低至320 V，Vout為320 V，負(fù)載功率為0.6 p.u.，電流應(yīng)力由23.5 A 下降至20.8 A，Vout的響應(yīng)時(shí)間與電壓波動(dòng)分別為90 ms 和55 V。 圖9（b）為負(fù)載突變所對應(yīng)的動(dòng)態(tài)過程，負(fù)載功率由0.3 p.u.增大至0.6 p.u.，電感電流應(yīng)力由15 A 上升至23.5 A，Vout的響應(yīng)時(shí)間與電壓波動(dòng)分別為104 ms 和63 V。

由于圖6 基于相平面優(yōu)化控制框圖中采用了較為保守的PI 參數(shù)，以確保變換器在調(diào)節(jié)過程中沒有超調(diào)，且最優(yōu)控制坐標(biāo)指令先經(jīng)過低通濾波器以避免控制參數(shù)的波動(dòng)，因此，變換器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間相對較長。

當(dāng)輸出功率由額定負(fù)載的10%逐漸增大至滿載時(shí)，3 種調(diào)制方法的效率、電流有效值、電流應(yīng)力以及電壓有效值對比分別如圖10（a）～（d）所示。

從圖10 中可以看出， 隨著輸出功率的逐漸增大，3 種調(diào)制方法的電流有效值和電流應(yīng)力都增大，在輸出功率小于0.63 p.u.時(shí)，單移相調(diào)制由于副邊開關(guān)管硬開通、 電流有效值和電流應(yīng)力大等缺點(diǎn)，導(dǎo)致其效率較低。 相平面優(yōu)化調(diào)制雖然在功率較小時(shí)效率比電流有效值優(yōu)化調(diào)制略低，但是輸出功率大于0.32 p.u.時(shí)二者差異已經(jīng)很小，隨著輸出功率的逐漸增大，3 種調(diào)制方法的效率差異不斷減小，效率最高點(diǎn)在輸出功率為0.88 p.u.時(shí)由相平面優(yōu)化調(diào)制得到，為95.1%。

在電流有效值和電流應(yīng)力方面，相平面優(yōu)化調(diào)制和電流有效值優(yōu)化調(diào)制的電流有效值和電流應(yīng)力接近，都優(yōu)于單移相調(diào)制，這點(diǎn)在輸出功率較小時(shí)尤為明顯。

圖10 3 種調(diào)制方法下運(yùn)行效率、電流有效值、電流應(yīng)力以及電壓有效值與輸出功率的關(guān)系曲線Fig. 10 Curves of operation efficiency, IRMS, current stress, and VRMS with respect to output power under three modulation schemes

在電感電壓有效值方面，相平面優(yōu)化調(diào)制的電感電壓有效值小于電流有效值優(yōu)化調(diào)制的電感電壓有效值， 小于單移相調(diào)制下的電感電壓有效值，這個(gè)結(jié)果可以在一定程度上說明相平面優(yōu)化調(diào)制具有較小的磁性元件損耗。

4 結(jié)論

本文針對DAB 提出了一種基于相平面的優(yōu)化方法。 以DAB 相平面軌跡與坐標(biāo)軸圍成的面積為目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)具有表達(dá)式簡單、能部分反映DAB 電感電流有效值的優(yōu)點(diǎn)。 對該目標(biāo)函數(shù)采用相對偏導(dǎo)增益法和分而治之的優(yōu)化方法，得到了全范圍優(yōu)化控制坐標(biāo)。 最后，將所提相平面優(yōu)化調(diào)制與單移相和電感電流有效值最優(yōu)化調(diào)制進(jìn)行了對比，結(jié)論如下。

（1）本文所提出的相平面優(yōu)化調(diào)制方法控制坐標(biāo)簡單，可以方便地進(jìn)行數(shù)字控制。

（2）除了在極低功率下，相平面優(yōu)化調(diào)制與電流有效值優(yōu)化調(diào)制具有接近的電流有效值、電流應(yīng)力和效率，二者均優(yōu)于單移相調(diào)制，這點(diǎn)在功率較小時(shí)尤為明顯。