破解中考幾何壓軸題技巧探究

何軍健

摘 要：幾何壓軸題常見于全國各地?cái)?shù)學(xué)中考試卷。幾何壓軸題注重考查學(xué)生思維能力，難度比較高，對考生的幾何知識基礎(chǔ)掌握程度要求很高，同時需要學(xué)生具備一定的綜合應(yīng)用能力，學(xué)生要在有限時間內(nèi)完成有一定難度，所以學(xué)生要快速找到解決壓軸題的突破口還是需要一定技巧。因此文章主要對破解中考幾何壓軸題技巧進(jìn)行探究，總結(jié)了“以問為導(dǎo)，尋找線索”“化繁為簡，各個擊破”“前后聯(lián)動，融會貫通”三個破解技巧。

關(guān)鍵詞：中考;幾何壓軸題;解題技巧

一、問題的提出

壓軸——指一場折子戲演出的倒數(shù)第二個劇目。在考試中所說的壓軸題是從這里引申過來的。很多數(shù)學(xué)考試通常把最有分量的試題放在最后三道題，也是我們所說的壓軸題，這也是學(xué)生成績拉開距離的題目，可見放在這些位置的題目無論是分值還是難度都不一般。每年的數(shù)學(xué)中考試后，說起中考壓軸題，特別是幾何壓軸題，很多學(xué)生都說無從下手，或者有些會說：“題目我都沒有看過……為什么會出現(xiàn)這種情況呢？難道壓軸題真的是高不可攀的山峰嗎？”

筆者任教畢業(yè)班多年，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)這種情況有客觀原因也有主觀原因。客觀原因是我們都知道壓軸題就是一張?jiān)嚲砝锩姹容^難的題目，出題目的就是要區(qū)分出優(yōu)等生和一般生，達(dá)到為高一級學(xué)校選拔人才的目的，所以壓軸題難度比較高，主要考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，學(xué)生要在有限時間內(nèi)完成有一定難度;而主觀原因是很多教師一開始就灌輸：“壓軸題很難的，考試時間不多，把多點(diǎn)時間放在檢查前面已經(jīng)完成的題目，保證正確率。”人為地給學(xué)生營造恐懼心理，讓很多學(xué)生談題色變，以至在考試過程中很多學(xué)生都放棄壓軸題。如何讓學(xué)生突破壓軸題這個瓶頸呢？筆者認(rèn)為在平常的教學(xué)中要教會學(xué)生破解壓軸題的技巧。

二、技巧的概念界定

技巧，指表現(xiàn)在文學(xué)、工藝、體育等方面的巧妙的技能。如“談話技巧”;或者指技巧性的運(yùn)動。如“技巧比賽”。技巧也可以說是屬于“方法”的一個范疇，主要指對一種生活或工作方法的熟練和靈活運(yùn)用，也可比喻解決問題的好辦法。而數(shù)學(xué)解題技巧是指根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)問題的不同特性，總結(jié)歸納出的巧妙的解題好方法與技能，幫助學(xué)生準(zhǔn)確快速地找到解題思路，化難為簡，提升駕馭數(shù)學(xué)的能力，最終達(dá)到解題目的。

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)家存在的理由就是解問題。因此，數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問題和解。”數(shù)學(xué)家G·波利亞曾說過，“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”。他長期致力于“怎樣解題”的研究，他指出：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且要善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題。”法國著名數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪在其名著《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》把學(xué)生的解題過程與數(shù)學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)造相提并論：“一個學(xué)生解決某一代數(shù)或幾何問題的過程與數(shù)學(xué)家做出發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造的過程具有相同的性質(zhì)，至多只有程度上的差異。”因此中學(xué)數(shù)學(xué)教育首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練，教會學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)總結(jié)題目的解法和技巧，提高解題能力。

三、破解中考幾何壓軸題技巧的探究

對于中考幾何壓軸題的研究，每年都有不少文章針對當(dāng)年全國各地最新的中考幾何壓軸題進(jìn)行破解，國內(nèi)不少學(xué)者也對破解中考幾何壓軸題的常用方法進(jìn)行研究，取得不同程度的效果。但是眾所周知，中考壓軸大題都是出題老師的心血結(jié)晶，不會重復(fù)出現(xiàn)題目，思路也是做過多少套模擬題都沒有遇到過的新型題目，或者是之前碰到過一個類似的題型。可見中考壓軸題設(shè)計(jì)的可變性，每一道題的設(shè)計(jì)都不是一成不變的，那么是否可以找到一些方法或技巧去解決變化的中考幾何壓軸題？筆者認(rèn)為不管題目如何變化，總能找到一些破解中考幾何壓軸題的通用技巧。筆者經(jīng)過多年的畢業(yè)班教學(xué)實(shí)踐，對破解中考幾何壓軸題技巧進(jìn)行研究，總結(jié)了如下三個破解技巧。

（一）以問為導(dǎo)，尋找線索

對于中考壓軸題，很多學(xué)生聽到“壓軸”二字就害怕，以為一點(diǎn)都不會做，其實(shí)壓軸題并不是競賽題，只是綜合性及創(chuàng)新性更強(qiáng)。一般地，中考數(shù)學(xué)壓軸題通常有三個小問，其中第一問比較簡單，中等水平的學(xué)生能夠比較輕易地解出來;第二問通常有些難度，通常要利用第一問的條件和結(jié)論。所以解決這一問可以用“以問為導(dǎo)，尋找線索”的方法解決。

我們知道所有題目設(shè)計(jì)的條件中有明顯和隱含的，而所有的條件都是為問題而設(shè)計(jì)的，所以我們要快速判斷出所給條件為誰服務(wù)，則要明白服務(wù)對象是誰。因此筆者認(rèn)為破解壓軸題也一樣，特別是解決壓軸題第一問，可以先了解問題，后帶著問題看題目，尋找解題的線索，這樣可以達(dá)到事半功倍的效果。

如：（2015·陜西中考）如圖，在每一個四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12.

（1）如圖①，點(diǎn)M是四邊形ABCD邊AD上的一點(diǎn)，則△BMC的面積為____________________;

（2）如圖②，點(diǎn)N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點(diǎn)，請你求出△BNC周長的最小值;

（3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此時cos∠BPC的值;若不存在，請說明理由。

分析：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，考查的知識點(diǎn)比較多。如何快速解答這道題呢？若直接讀題目，雖然題目文字不多，有好幾個明顯條件，但是所給條件與什么問題匹配？一下子是判斷不出來的，但若我們先看問題再回頭看題目，就基本可以判斷條件的作用。例如第一問，問題是求△BMC的面積，那么按照求三角形面積公式：[12]底邊×高，要解決這個問題，就要找到對應(yīng)的底邊和高。所以回頭看題目就知道底邊BC是已知，沒有給出高，需要求高。又比如第二問，要求△BNC周長的最小值，要解決這個問題則需要知道各邊長，所以看題目就會留意要看是否給出與此三角形有關(guān)的線段長度。通過這樣操作，明確解題的方向。

從以上例子我們可以看出，用“以問為導(dǎo)，尋找線索”的方法解決幾何壓軸題，既節(jié)省了時間，避免重復(fù)花時間閱讀題目，又可以幫助學(xué)生快速找到問題所需要的條件和突破口，大大增加了得分概率。筆者認(rèn)為教會學(xué)生這種解題思路，可以提高學(xué)生解決幾何綜合題的能力，特別是對于很多學(xué)習(xí)程度中下的學(xué)生來說是提高解決綜合題第一問的能力的一個好方法。

（二）化繁為簡，各個擊破

幾何綜合題大多是平行線、三角形、四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)、圓等知識的綜合運(yùn)用，考查知識點(diǎn)多、圖形復(fù)雜且條件隱晦，難度較高，要求學(xué)生有較強(qiáng)的理解能力、分析能力、解決問題的能力，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)基本方法有較強(qiáng)的駕馭能力，并有較強(qiáng)的解題創(chuàng)新意識和能力。但是所有復(fù)雜的圖形都是由基本圖形構(gòu)成的，所以，遇到圖形復(fù)雜的幾何綜合題時可以嘗試用“化繁為簡，各個擊破”的方法，通過重畫圖形，把復(fù)雜圖形拆解回基本圖形，逐步遞進(jìn)，識破命題意圖，這樣就能很清晰找到解題方法。

分析：本道題是一道圓綜合題，重點(diǎn)考查切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想等。題目文字不多，但是圖形給學(xué)生的感覺比較復(fù)雜，線段錯綜復(fù)雜，容易給學(xué)生造成視覺混亂，給學(xué)生造成恐懼感。筆者認(rèn)為壓軸幾何題的圖形復(fù)雜是必然的，因?yàn)橐坏谰C合題要考察的知識點(diǎn)較多，知識點(diǎn)的構(gòu)成靠眾多具備某些特征的基本圖形構(gòu)成，所以它的圖形必然復(fù)雜。那么如何破解呢？筆者經(jīng)過多年畢業(yè)班教學(xué)實(shí)踐及研究多年的中考幾何壓軸題，發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)問題的逐步遞進(jìn)把圖形拆解，我們可以重新畫圖，把一些不需要或沒有用到的線先省去，簡化圖形，從而達(dá)到化繁為簡，各個擊破。

比如我們看第一問，它是求證CD是⊙O的切線，這一問實(shí)際上主要是與圓和線段CD有關(guān)，而線段OF、FD、AD及點(diǎn)G、A都沒有涉及，我們可以重新畫圖，把這些線段及沒有涉及的點(diǎn)省去，簡化圖形，如右圖為簡化后的圖形。此圖相對原圖就簡單明了，學(xué)生在平常都接觸過，學(xué)生只要連接OC證OC⊥ED即可。證明過程如下：

至此，已經(jīng)完成第一、第二問的解題，第三問才真正用到原圖。一般第三問都是比較難的，況且分值也不多，這時在時間不多的情況下我們可以考慮放棄。

由以上例子可以發(fā)現(xiàn)，在遇到圖形復(fù)雜的幾何綜合題時可以嘗試化繁為簡，各個擊破，可以把原題圖形做化繁為簡處理，把還沒有用到的點(diǎn)或線不畫上去，簡化圖形，避免復(fù)雜的圖形影響學(xué)生的思考，讓學(xué)生快速、清晰地找到解題方法。

（三）前后聯(lián)動，融會貫通

一般地，中考數(shù)學(xué)壓軸題通常有三小問，壓軸題三小問之間命制的模式有并列、遞進(jìn)或并列與遞進(jìn)混合的邏輯關(guān)系，也就是有些壓軸題各小問是并列關(guān)系（即各問之間是獨(dú)立關(guān)系），有些是遞進(jìn)關(guān)系（即第一問為第二問服務(wù)，第二問又為第三問服務(wù)，有些第一、第二問都為第三問服務(wù)），有些是并列與遞進(jìn)混合關(guān)系。壓軸題第一問比較簡單，中等水平的學(xué)生能夠比較輕易地解出來。所以，看到壓軸題，學(xué)生不要過于恐懼，拿下第一問還能得兩三分。第二問通常有些難度，通常要利用第一問的條件和結(jié)論，所以，如果第一問做不出來，后面就更難。第三問難度最大，考驗(yàn)的是學(xué)生的綜合能力。所以解答壓軸題還有一個技巧就是注意三小問之間的邏輯關(guān)系，判斷出它們的邏輯關(guān)系，捕捉命題者思路，然后前后聯(lián)動，融會貫通，快速找到解題方法。

如：（2017·南充中考）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，AF=[14]AB。

（1）求證：EF⊥AG;

（2）若點(diǎn)F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運(yùn)動，點(diǎn)G運(yùn)動速度是點(diǎn)F運(yùn)動速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只寫結(jié)果，不需說明理由）？

（3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)S△PAB=S△OAB，求△PAB周長的最小值.

分析：本題是四邊形綜合題目，綜合性強(qiáng)，主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)等知識。本題文字不多，圖形也不算復(fù)雜，我們?nèi)绾慰焖僬业剿悸啡ソ鉀Q呢？筆者認(rèn)為可以用“前后聯(lián)動，融會貫通”的方法去找到突破口。

首先看問題，發(fā)現(xiàn)第一、第二問的問題都是證明EF⊥AG，而第三問由面積去求周長，可以猜想本道題整個邏輯關(guān)系基本上是遞進(jìn)關(guān)系或部分是遞進(jìn)關(guān)系，所以關(guān)鍵是要解決第一問，解決不了第一問，估計(jì)第二、第三問有一定的難度，所以突破口在第一問。解答過程如下：

由于第一問是證明特殊位置的結(jié)論，第二問是探索運(yùn)動情況下第一問的結(jié)論是否成立，根據(jù)遞進(jìn)關(guān)系，猜想第二問的判定證明思路和方法可以模仿第一問去做，實(shí)際第一問的解決方法對第二問有提示作用，這樣就很容易解決了第二問，看具體證明過程：

（2）解：成立;理由如下：

以上例子說明，我們在做幾何壓軸題時可以由命題者設(shè)計(jì)的三個問題的邏輯關(guān)系，通過前后聯(lián)動，融會貫通，快速找到相應(yīng)解決問題的突破口。

四、結(jié)束語

幾何壓軸題作為考查考生思維能力的一個重要方面，在中考中仍占有相當(dāng)?shù)谋壤Ｒ詭缀沃攸c(diǎn)知識為載體，要求考生根據(jù)題意設(shè)計(jì)有一定層次、一定長度的推理過程，以檢測考生的邏輯思維能力、基本圖形分析能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，仍是中考命題的重點(diǎn)之一，幾何壓軸題對考生的知識基礎(chǔ)掌握程度要求很高，學(xué)生需要一定的思維能力，但是要能快速找到解決壓軸題的突破口還是需要一定技巧的。根據(jù)多年任教畢業(yè)班和教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，筆者總結(jié)出破解中考幾何壓軸題的三個通用技巧，目的在于遇到幾何壓軸題時，為學(xué)生快速找到解題思路，化難為簡，提升駕馭數(shù)學(xué)的能力，最終達(dá)到解題目的。

（廣東省茂名市崇文學(xué)校，茂名525000）