論深度探究促規律理解

趙行娜

摘 要：學生在二年級已經學習了平均分，理解了除法的基本含義，“有余數的除法”是在此基礎上學習除法后被除數有剩余的情況，理解“余數要比除數小”是這節課的教學難點，筆者在教學中讓學生通過多維度的探究幫助學生真正理解“余數要比除數小”，設計對應練習，幫助學生內化規律。

關鍵詞：小學數學;“有余數的除法”;規律理解

“有余數的除法”是人教版教材二年級下冊第六單元的教學內容，這部分知識是表內除法知識后的延伸和擴展，也是今后繼續學習除法的基礎，具有承上啟下的作用。筆者在教學中，將例1和例2作為一課時內容。在“余數要比除數小”規律的探索中，教材呈現了擺正方形的操作活動，幫助學生理解“余數要比除數小”的規律，通過這樣單一的一次操作，學生只是記住這一規律，直接學習應用這一規律。這樣得出規律，顯然是不嚴謹的。

一、追根溯源

二年級學生的思維仍然具有直觀性、具體性、形象性等特點，他們的假設、判斷、理解等一系列思維過程都是在原有的知識經驗基礎之上進行的。而“余數要比除數小”的規律過于抽象，所以學生理解起來有一定的困難。那么在教學中應該讓學生在具體情境中，通過豐富、有效的操作活動，使余數和除數兩者之間的關系自然顯現。

二、研究過程與內容

基于以上分析，筆者認為學生要真正理解“余數要比除數小”這個規律，必須要充分經歷規律的抽象過程，建立充分的表象，才能使得規律自然顯現。

（一）多維研究，促規律具體化

為了讓規律抽象的過程更直觀、更科學，學生探究的過程必須是多方位的。

1. 維度一：除數一定，被除數變化

問題呈現：通過分一分，知道了9支鉛筆，每人分4支，可以分給2人，還剩余1支。如果鉛筆的數量增加到10支、11支、12支……16支，還是每人分4支，分的結果會怎么樣呢？算式又該怎么表示呢？

學生嘗試在探究紙上分一分、算一算。完成后仔細觀察分的結果和算式，說一說發現。在學生完成后，教師組織全班交流，介紹每次分的結果和算式。根據學生的回答，將結果展示在黑板上。

通過擺分一分的操作活動，引導學生根據自己平均分的結果列出算式后，再進行觀察比較。在這次探究中，學生能夠感悟到：在每人分4支的情況下，不管鉛筆的數量變成多少，如果有剩余，最后的余數一定小于除數。這次探究是對“余數一定小于除數”這個規律的初步感知，培養學生勇于質疑的精神。

2. 維度二：被除數一定，除數變化

問題呈現：如果現在用這16支鉛筆，每人分3支，結果怎么樣？如果有剩余，可能會剩余幾根？為什么？如果每人分5支呢？6支、7支呢？（見表1）

在這次探究中，學生能夠感悟：同樣都是16支鉛筆，不管每人分幾支，如果有剩余，最后的余數都小于除數。這次探究是對所感知的規律作進一步驗證。

3. 維度三：被除數和除數都變化

提出疑問：通過剛才的探究，發現當除數不變，被除數變化的時候，如果有余數，余數小于除數;當被除數不變，除數變化的時候，如果有余數，余數也小于除數，這是為什么呢？

猜想：如果被除數和除數都變化了，結果會怎么樣？

嘗試探究：如表2所示。

本題沒有給出鉛筆的數量，每人的支數也沒有確定，探究后組織學生討論：仔細觀察這些算式，你們又發現了什么？學生通過觀察、比較，能夠深切體會不管被除數和除數怎么變化，如果有剩余，余數始終小于除數。從一組到多組，從一維到多維，從感性到理性，就能形成系列較為充分的操作體驗和直觀感知，再通過分析和比較、抽象和概括，進而發現“余數小于除數”的規律，從而促進學生進一步理解余數、余數和除數的關系，理解有余數除法。

（二）適時追問，促規律抽象

為了提升學生的思考力，發展他們的思維，在學生探究后的討論中，教師要適時追問，讓學生可以進一步思考，提升思考層次，逐步達到抽象概括。比如在第一次探究后，教師提問：仔細觀察這些算式，你們發現了什么？在學生關注到余數后，追問一：如果鉛筆的數量繼續增加，余數會是幾？追問二：可能是4、5、6……嗎？為什么？追問三：余數和誰有關系？是怎樣的關系？為什么？在第二次探究后，教師提問：仔細觀察這些算式，你們又發現了什么？追問一：如果每人分的鉛筆數量繼續增加，余數可能是幾？追問二：為什么？通過多次追問，促使學生對有余數除法由感性認識上升到理性認識，進一步幫助學生加深對有余數除法的理解，感受數學知識間的相互聯系。

（三）對應練習，促規律內化

學生三次探究之后發現了“余數小于除數”的規律之后，跟進相對應的鞏固練習是必不可少的。以下“闖三關”的游戲模式，引導學生利用所學知識解決實際問題，進一步加深對規律的感悟，培養學生的應用意識。

第一關是利用“余數比除數小”的知識解決問題，通過獨立思考、猜一猜、說一說、議一議等方式讓學生明白：擺三角形時，剩余的小棒應少于3根，因為夠3根小棒就能再擺一個三角形，擺正五邊形依此類推。

第二關是3道選擇題。從原先分鉛筆、擺圖形這些具體形象的事物中，抽象到算式的應用，每一道題都承載了不同的小目標。第一小題可以根據“余數小于除數”的規律直接判斷。第二小題根據余數比除數小，可知余數可能是1，2，3，4，序號①出現了0，目的是明確余數最小是1，0即是沒有余數，不需要寫。第三小題是第一小題的逆向思維，幫助學生進一步理清余數和除數的關系。

第三關解決問題是借助“貓媽媽分小魚”的情境，對規律的實際應用。圖中每只小貓分得的小魚條數與小貓只數同樣多，說明除數和商是一樣的，最后剩余7條，可見小貓至少8只，那么根據題意，可列式：8×8+7=71（條），也會出現□÷8=8（條）……7（條），滲透兩者之間的聯系。

多維度的探究、充分的直觀操作，為表象思維和抽象思維提供了“腳手架”，學生充分經歷探究規律的過程，適時的追問，幫助學生充分感知余數的含義，并逐步進行抽象，使得余數和除數的關系發現能夠水到渠成，最后通過設計具有針對性、層次性和挑戰性的練習，讓學生更深入地感悟“余數比除數小”這一規律。

三、成果與分析

筆者在磨課過程中對探究過程進行這樣的調整后，COP團隊對這節課進行了數據采集和分析，我們發現：

1. 探究的深度。問題的類型中，更多的是推理性問題和創造性問題，在探究的深度和課堂生成的高度中，我們所關注的思維深度、對話深度、問題類型都接近，甚至高于全國常模數據，體現了探究過程中，學生能夠跟著探究的推進做進一步思考和發現。

2. 學生的參與度。在S-T曲線圖中，可以發現學生的行為要高于教師行為，說明探究過程中，學生能夠積極參與探究、思考與表達，而不是為了完成教學內容，教師代替講。在練習過程中，學生能夠靈活應用規律，清楚表達，尤其能夠感受學生的對規律的理解和思維的提升，大大提高作業的正確率。

參考文獻

[1]張春潔.“有余數的除法的認識”教學設計與說明[J].小學數學教育，2020（Z2）.

[2]黃紅軍.善用對比，促進內化——人教版教材二年級下冊“有余數除法”教學設計化[J].小學教學參考，2019（02）.

（浙江省寧波市奉化龍津實驗學校，寧波315000）