三線擺的運動方程、周期及角位置概率分布

吳明玨，王順宇，李 俊，夏雪連，章禮華

(安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133)

三線擺主要由水平放置的較小墊盤與較大懸盤，以及對稱連接墊盤與懸盤邊緣正三角形頂點的三條懸線組成[1].現(xiàn)有不少關(guān)于三線擺的研究，如謝淼、呂丹等人的大角度三線擺周期的近似公式[2]，王菊香等人的三線擺周期的近似公式[3].常關(guān)注的內(nèi)容有轉(zhuǎn)動慣量的測量、特定狀態(tài)下的運動微分方程及周期[4]，但較少系統(tǒng)性地討論不同初始擺角情況下三線擺的運動微分方程、周期及角位置概率密度分布情況.本文分別對大擺角及小擺角兩種情況進(jìn)行分析，通過近似處理、積分求解等一系列手段給出了上述兩種情況下，三線擺的運動微分方程、周期及位置概率密度分布的分析結(jié)果.

1 三線擺的運動微分方程

三線擺結(jié)構(gòu)如圖1所示，上、下圓盤的半徑分別為r和R，懸線長均為L.將墊盤吊起時，二圓盤面均被調(diào)節(jié)至水平，兩盤間的距離為H，兩圓盤心在同一垂直線O1O2上，懸盤可繞中心線O1O2做扭轉(zhuǎn)運動[5，6].

圖1 三線擺裝置簡圖

1.1 大擺角情況下三線擺扭轉(zhuǎn)運動的微分方程

當(dāng)懸盤處于平衡位置時，系統(tǒng)的幾何約束為

H2=L2-(R-r)2

(1)

當(dāng)懸盤角位移為θ時，其垂直高度增加h，在懸線不能伸長的理想狀態(tài)下，幾何約束變?yōu)?/p>

(H-h)2=L2-(R2+r2-2Rrcosθ)

(2)

由式(1)與式(2)得

2Hh-h2=2Rr(1-cosθ)

(3)

由于實驗中下盤上升高度遠(yuǎn)小于兩盤間高度，即可取h<

(4)

對式(4)中的時間t求導(dǎo)，得懸盤上下平動的速度為

(5)

在忽略摩擦力及阻力影響的情況下，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由此可利用分析力學(xué)中保守系拉格朗日方程進(jìn)行運動微分方程的求解,可得系統(tǒng)動能中懸盤的轉(zhuǎn)動能與上下平動能，系統(tǒng)動能表示為

(6)

若將自然狀態(tài)下懸盤高度定義為勢能零點，系統(tǒng)勢能可表示為

(7)

由式(6)、(7)可得系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為[7]

(8)

由保守系統(tǒng)拉格朗日方程

可得三線擺扭轉(zhuǎn)運動在大擺角情況下的運動微分方程，為

(9)

1.2 小擺角情況下三線擺扭轉(zhuǎn)運動的微分方程

當(dāng)擺角θmax不超過5°時，習(xí)慣上稱為小擺角運動，此時可取sinθ≈θ，則式(9)變?yōu)?/p>

(10)

式(10)為三線擺扭轉(zhuǎn)運動在小擺角情況下的運動微分方程，為非線性方程.但若考慮實驗裝置的特殊尺寸，則可將式(10)化為線性振動方程，此時三線擺做簡諧運動.即若三線擺的幾何尺寸中Rr較小于H，即滿足[5]：

式(10)描述的運動方程可化簡為

(11)

上式為三線擺扭轉(zhuǎn)運動小擺角近似情況下的運動微分方程，具有簡諧運動特征.

2 三線擺的運動周期

2.1 大擺角情況下三線擺扭轉(zhuǎn)運動的周期

由于系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此懸盤任意時刻的動能與勢能之和為常量C，表示為

T+V=C

(12)

即有

(13)

其中，由于懸盤上下運動的幅度較小，因此上下平動的動能可忽略不計，得

(14)

由式(14)整理可得[2]

(15)

令

(16)

對式(16)兩端同時求導(dǎo)得

(17)

將式(16)、(17)代入式(15)中有

(18)

上式為第一類橢圓積分.

(19)

上式為三線擺大擺角運動時的周期公式，利用數(shù)值計算可以給出三線擺的周期與擺角之間的關(guān)系如圖2所示(其中物理參數(shù)為：H=0.5 m，I=0.0021 kg·m2，m=0.36 kg，R=0.1000 m，r=0.0499 m，g=9.8 N/kg).

總體變化圖

周期局部變化圖圖2 三線擺在不同擺角下的周期

從圖2(a)可以看出，隨著擺角θmax的增加，三線擺的周期不斷變大. 但從圖2(b)并結(jié)合計算可知，當(dāng)三線擺的擺角小于0.314 rad(即18°)時，周期曲線近似平行于水平軸，三線擺可視為做固定周期的簡諧運動.

2.2 小擺角情況下三線擺扭轉(zhuǎn)運動的周期

三線擺在小角度擺動情況下，式(10)可近似為

(20)

為簡諧運動的標(biāo)準(zhǔn)形式.此時，三線擺可看成是做簡諧運動.而由簡諧運動的相關(guān)性質(zhì)可得

(21)

(22)

3 三線擺運動的角位置概率分布

若記三線擺運動過程中在角位移θ處的瞬時概率為p(θ)，即角位置的概率密度函數(shù)為p(θ)，結(jié)合三線擺運動的周期，則有

(23)

其中，dt為角位移θ～dθ對應(yīng)的時間，T為三線擺運動的周期.

3.1 大擺角情況下三線擺扭轉(zhuǎn)運動的位置概率密度函數(shù)

(24)

解上述方程得

(25)

將式(19)、(25)代入式(23)，再取n=1的近似情況下，可以得到

(26)

為三線擺扭轉(zhuǎn)運動大擺角情況下的位置概率密度函數(shù)，其分布規(guī)律如圖3所示.

圖3 擺角 θmax為時的角位置概率分布情況

3.2 小擺角情況下三線擺扭轉(zhuǎn)運動的角位置概率密度函數(shù)

進(jìn)一步考慮三線擺做小角度擺動時，由式(22)及式(23)可直接得出小擺角情況下的角位置概率密度函數(shù)：

(27)

由小擺角情況下的三線擺運動為簡諧運動，運動學(xué)方程為

θ=θmaxsin(ωt+φ)

(28)

將式(21)、(28)帶入式(23)進(jìn)行積分得

(29)

為三線擺扭轉(zhuǎn)運動在小角度情況下的角位置概率密度函數(shù)，其中φ由初始值決定.

由式(29)可得三線擺在擺角θmax取0.087 rad(即5°)時的角位置概率密度函數(shù)圖像如下圖4所示.

圖4 擺角θmax取0.087rad(即5°)時的角位置概率分布情況

4 結(jié)束語

綜上所述，本文分析了三線擺在傳統(tǒng)意義下大擺角、小擺角下的運動方程、周期，發(fā)現(xiàn)在三線擺的固有結(jié)構(gòu)不變時，擺角的變化對周期的影響并不是那么敏感.考慮兩種情況下三線擺角位置概率密度函數(shù)及分布情況，得出三線擺扭轉(zhuǎn)運動在平衡位置的概率最小，而在最大角位移處的概率最大.因而選擇平衡位置作為周期測量計時的始末位置可減少測量誤差，這對于提高三線擺周期測量的準(zhǔn)確度具有重要的參考意義.