橫臥式楊氏模量與組裝臺秤實驗儀的設計

李成龍，常芳錦，壽化杰，沈祺凱

(安徽理工大學 力學與光電物理學院，安徽 淮南 232001)

楊氏模量是描述固體材料抵抗變形能力的重要物理量，是選定機械構件的重要依據之一，是工程技術中常用的參數[1].目前高校大學物理實驗中常用靜態拉伸法和彎曲法測量楊氏模量.靜態拉伸法一般使用光杠桿來放大微小形變量，此方法測得楊氏模量有一定的誤差[2].而彎曲法的弛垂度推導公式比較復雜[3]，待測物理量較多，實驗強度大.本文設計了新的實驗方法，能在一定程度上減小實驗誤差，并將楊氏模量實驗拓展成設計性實驗.

1 橫臥式實驗原理

相較于傳統的靜態拉伸法，新實驗儀器將待測鋼絲橫置，將鋼絲兩端固定于水平支架上，并使其有一定的初始張力F而繃緊成水平狀態.于鋼絲中部懸掛鉤碼下拉鋼絲.鋼絲受力情況如圖1中的橫置鋼絲的受力分析圖所示.

圖1 橫置鋼絲的受力分析圖

為了便于計算，設鋼絲長度為2L，鋼絲中點下移量為Δx(實驗中用讀數顯微鏡測得)，則由勾股定理可得兩側鋼絲的伸長量分別為

(1)

本實驗原理的重難點在于計算加砝碼后鋼絲拉力的變化量ΔF，根據平衡力以及相似三角形，可得到鋼絲受到的軸向拉力為

(2)

繼續增加砝碼則

(3)

設鋼絲初始繃緊的張力為F，則

ΔF1=F1-F

(4)

ΔF2=F2-F

(5)

由楊氏模量恒定得

(6)

將式(4)、(5)代入式(6)得初始繃緊張力F為

(7)

再將式(7)代入式(4)，即可得添加砝碼后鋼絲所受軸向拉力的變化量為

(8)

綜上所述，由楊氏模量定義公式可得

(9)

此式即為本實驗的測量公式，推導過程非常精簡，改變兩次砝碼的質量即可測算出金屬絲的楊氏模量.

2 實驗測量與臺秤設計實驗

按公式(9)測相關物理量，測量數據見表1，數據處理中由式(2)、(3)、(7)綜合算得金屬絲張力F.

表1 橫臥式楊氏模量實驗數據與處理

廠家附鋼絲標簽楊氏模量值1.74×1011N/m2.從本實驗設計的推導過程看，本實驗結果對數據擾動比較敏感，且從推導公式可知,要提高實驗測量精度可增加鋼絲長度，用以減小各變化量的相對不確定度,故將鋼絲長度增加到近1 m，再測其楊氏模量，實驗測量數據見表2.

表2 增加鋼絲長度后實驗數據與處理

續表

由于實驗設計的運算步驟較多，不確定度的傳遞過程過于復雜，本文采用Crystal Ball[4]模擬估算兩次實驗結果的標準偏差，以簡化不確定度的計算.

在讀數顯微鏡的測量值上附加一個±0.01mm內的均勻分布的隨機數，進行模擬估算結果如圖2所示.

圖2 Crystal Ball模擬估算結果

對鋼絲長為768 mm的實驗測量數據進行模擬估算，其結果偏差較大，標準偏差約1.0×1010N/m2，楊氏模量測量值范圍約1.426～2.076×1011N/m2，結果波動較大.而鋼絲加長至994 mm實驗模擬估算的結果表明，其標準偏差降至接近1.0×109N/m2，楊氏模量測量值范圍約為1.715～1.785×1011N/m2，實驗結果波動較小、精確度高.

從兩組實驗數據對比看，增加鋼絲長度確實可以提高楊氏模量的測量精度，提高實驗裝置的穩定性.

橫臥式楊氏模量實驗裝置如圖3所示，組裝臺秤實驗裝置圖如圖4所示.基于鋼絲楊氏模量的臺秤設計實驗原理如圖5所示，取一段已測出楊氏模量的鋼絲，固定于水平支架，并使其有一定的初始張力F而繃緊成水平狀態.

圖3 橫臥式楊氏模量實驗

圖4 組裝臺秤測手機重量實驗

在鋼絲中間位置自由放置一載物臺，載物臺由連桿圓臺和帶孔的支架組成，載物臺支桿可在支架孔中上下自由運動，載物臺連桿下壓鋼絲，鋼絲中點會下移；再在載物臺上加載待測物體，鋼絲中點繼續下移，測量兩次下移量Δx，代入計算公式即可算出待測物體重量.

圖5 基于鋼絲楊氏模量的臺秤設計原理

由楊氏模量實驗公式(9)逆推并代入公式(4)、(2)可得待測物體重量：

引入公式(4)得

代入式(2)得

表3 組裝設計臺秤實驗測量數據與處理

最終可得手機重量為1.662 N，質量約169.59 g，與廠家標稱質量170 g，相差0.41 g，相對誤差0.24%.

3 結論

本文設計的橫臥式楊氏模量與組裝臺秤實驗裝置，經過大量實踐證實該裝置具有如下優、缺點：

1) 橫臥式楊氏模量測量裝置，通過對橫向繃緊的鋼絲進行側向微小拉伸，從而對拉力產生分解放大，將原來實驗需要數千克的砝碼，改進為僅需幾百克砝碼，使實驗裝置變得精致小巧.

2) 新的實驗裝置橫向位移量Δx，遠大于金屬絲的伸長ΔL，在一定范圍內使得微小伸長量得到比較準確的測量.但由于Δx的變化是非線性的，隨著鉤碼的增加其變化量越來越小,測量誤差越來越大.故實驗中鉤碼不宜增加過多,本實驗設計只增加3次,且數據處理不適用逐差法.

3) 若鋼絲較短實驗誤差會比較大，實驗設計中可通過增加鋼絲的長度來提高位移量Δx,從而減小測量的相對不確定度.同時由于鋼絲較長,因此鉤碼受力點的微弧形可忽略不計.

4) 利用Crystal Ball插件進行蒙特卡洛模擬估算標準偏差和其它預測值，有助于高效率的優化實驗設計.

5) 該實驗裝置非常容易反向設計出一款簡易臺秤.本文推導出該簡易臺秤的測量公式，并成功用來測定未知物體的重力.此設計將傳統的驗證性實驗項目拓展改進成設計性實驗項目，豐富了實驗內容.