麥克斯韋速率分布的特色推導方法

馮仕猛

(上海交通大學 物理與天文學院，上海 200240)

平衡狀態下的理想氣體分子以不同的速度運動，由于碰撞，每個分子的速度都不斷地改變，使分子具有各種速度.因為分子數目很大，分子速度的大小和方向是無規的，所以無法知道具有確定速度u的分子數是多少,但可知道速度在u1與u2之間的分子數是多少.1859年，麥克斯韋首先獲得氣體分子速度的分布規律：在平衡狀態下，忽略氣體分子間相互作用,分布在任一速率區間的分子數與總分子數的比率滿足一定的分布，這就是麥克斯韋速率分布.

麥克斯韋速率分布函數的推導比較復雜，許多教材僅僅給出分布函數的表達式，很少涉及具體的詳細推導過程[1-3].文獻報道的一些推導方法[4-6],但初學習者學完仍然難以借助該推導來有效記住其表達式和理解其物理意義，物理教學不應該僅僅介紹一些結論性的公式，而應該把這些公式對應的物理圖像和邏輯推理給學生解析清楚.只有這樣，學生才能把知識學活并能進一步地把握更深層次的物理規律,為他們將來創新性學習和工作奠定堅實的基礎.

本文利用速度空間的概念，通過創新性地排列組合法來推導麥克斯韋速度分布律.由于這種方法獨特、簡單,物理圖象清楚,學生課后的反響比較好，得到絕大多數學生的認可.

1 理論推導

首先,假定體積為V的容器內一定量的理想氣體處于平衡態下,氣體總分子數為N.分子的速率分別是v1、v2、v3、…、vi,每個速率對應的分子數分別為N1、N2、N3、…、Ni,而且每個分子是可以區分的，則根據排列組合原理，其總的微觀狀態分布數為

(1)

因為對于有速度大小為vi的氣體分子，如果它在某時刻在空間的某一位置可以往任意方向運動，它往每個方向運動的概率都是相同的.這樣就能給出以速率vi為半徑的速度球(速度空間)，速度球表面上的每一個點都是該氣體分子可能出現的一種狀態，該表面積與單位厚度構成的球殼體積就是該氣體分子在此速率vi與vi+dvi(dvi=1)之間可以選擇的狀態數多少，如圖1所示.

圖1 速度球模型

如果分子速率分別是v1、v2、v3、…、vi,對應分子數分別為N1、N2、N3、…、Ni,，單個分子對應的狀態數分別是：

(2)

因此，式(1)對應的微觀狀態數就進一步修正為

(3)

利用lnN!=NlnN-N，對式(3)兩邊取對數得

(4)

將式(4)簡化為

(5)

然后對式(5)兩邊求偏導數得到

(6)

令

(7)

式(7)中U是系統的總動能，Ei是速率vi為單個分子的動能，對式(7)兩邊求偏導數得到

(8)

利用拉郎隔日法，設函數：

W=lnΩ+αG+βh

(9)

式中α、β是常數.對式(9)兩邊再求偏導數得到

(10)

將式(6)和(8)帶入到式(10)中得到

(11)

當式(11)為0時，對應的Ω極大值，也就是平衡態下概率最大的一種分布.利用

(12)

從式(12)可以得到

(13)

令C=e-α，因為α是常量，所以C是常量.由于系統總的分子數不變，所以

(14)

(15)

(16)

因為式(16)中速度空間球殼的厚度為1，所以對于單個氣體分子，根據概率分布的定義，其對應的概率分布為

(17)

根據動量和沖量的關系，理想氣體平衡狀態下溫度與方均根速率關系[7]，可以得如下關系式：

(18)

(19)

式(19)就是經典的麥克斯韋速率分布函數，與經典教材上給出的表達式相同，但其推導過程所對應的物理意義比較清楚，而且推導所需要的數學知識并不復雜，低年級大學生基本能完整的理解，這對于他們正確理解麥克斯韋速率分布是非常有用的.

2 討論

本文的推導相對比較簡潔、物理圖像比較清楚，但有幾點需要特別說明如下：

1) 利用本論文的推導方法給出麥克斯韋速率分布函數，教學中的一個難點是怎么理解速度空間的概念.筆者在教學中，舉了一個簡單的例子闡述這個概念的物理意義，如一個人站在一個很大的廣場中央，他可以選擇任意方向運動，如果每秒跑10米，讓學生思考有多少個選擇的方向.然后讓學生想象一下：以起跑點為圓心，速度為半徑畫一個園，其周長上的任意一點都對應學生可以選擇的運動方向，選擇的總方向數就等于周長.把一個運動方向當作該學生可以選擇的狀態，周長就是該學生可以選擇的總狀態數.由此而導出空間中一理想氣體分子以某一速度運動，其選擇的狀態數就是速度球的表面積；再進一步引申到速度薄球殼的體積就是氣體分子在某一個速率處單位速率間隔內可以選擇的總狀態數，學生就比較容易理解速度球與狀態數的關系.

2) 熱學教學中，利用理想氣體平衡狀態下和氣體分子與周圍容器壁發生彈性相撞的假設條件，再根據經典的力學理論中動量和沖量的關系，首先推導出熱力學溫度與平均平移動能的關系，就是本文中式(19)中前一等號的部分.按此序教學，學生容易理解相關的概念.

3 總結

本文利用從微觀狀態數最多的分布出發，引入了速度空間概念，推導出了麥克斯韋速率分布的表達式.這種推導方法直觀、簡單，便于學生構建相關知識的物理圖像以及對該部分內容物理意義的理解，這是本文研究的意義所在.大學物理是大學生最重要的基礎課程之一，課程教學過程中，多從不同的側面或者不同的層面演繹和推導一些重要的知識，對于構建其相關知識點的物理圖像、強化學生的空間想象力、培養學生的創新性思維都是非常重要的.