基于混合變量規(guī)劃的雷達(dá)最優(yōu)搜索方法

陶 慶，張勁東，邱旦峰

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京 210016)

0 引言

對(duì)遠(yuǎn)距離目標(biāo)進(jìn)行空中防御時(shí)，為捕獲目標(biāo)，雷達(dá)需要長(zhǎng)時(shí)間處于開(kāi)機(jī)狀態(tài)，這樣無(wú)異于會(huì)增加雷達(dá)暴露的幾率。為了避免該情況發(fā)生，在實(shí)際作戰(zhàn)時(shí)，一般都是由預(yù)警機(jī)協(xié)同作戰(zhàn)，對(duì)空域進(jìn)行預(yù)搜索。在目標(biāo)達(dá)到地面雷達(dá)搜索范圍時(shí)打開(kāi)雷達(dá)，并根據(jù)預(yù)警機(jī)所提供的引導(dǎo)信息進(jìn)行小范圍的搜索，以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的快速捕獲[1]。因此，如何有效地利用引導(dǎo)信息來(lái)提高相控陣?yán)走_(dá)的搜索效率成為了研究的關(guān)鍵。

就目前而言，關(guān)于相控陣?yán)走_(dá)搜索這一研究方向已經(jīng)有許多研究成果。文獻(xiàn)[2]基于近空高超音速目標(biāo)防御的背景，根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定最短的跨屏距離和最少的雷達(dá)掃描次數(shù)。對(duì)于有預(yù)警信息的小范圍引導(dǎo)搜索，文獻(xiàn)[3]分別在單目標(biāo)和多目標(biāo)情況下建立目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間模型，通過(guò)合理地分配波束的照射時(shí)間來(lái)優(yōu)化搜索性能。以上研究皆沒(méi)有考慮搜索過(guò)程中波位照射順序?qū)走_(dá)搜索性能的影響。對(duì)此，文獻(xiàn)[4]通過(guò)將全局信息增益最大的波位作為下一時(shí)刻雷達(dá)需要搜索的波位來(lái)確定搜索順序，降低虛警概率對(duì)雷達(dá)搜索效率的影響的同時(shí)提高雷達(dá)搜索檢測(cè)性能，但因其計(jì)算量較大導(dǎo)致耗時(shí)過(guò)多且每個(gè)波位駐留時(shí)間是均勻分配的。

本文結(jié)合以上研究工作，同時(shí)對(duì)波位的搜索順序以及各波位上雷達(dá)的波束駐留時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化，使得雷達(dá)搜索效率最大化。將目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間作為評(píng)判雷達(dá)搜索性能的標(biāo)準(zhǔn)，以各個(gè)波位的駐留時(shí)間為連續(xù)變量，結(jié)合整數(shù)規(guī)劃的思想，將搜索順序表示為離散變量，建立搜索資源最優(yōu)分配模型，并采用拉格朗日乘子法對(duì)該混合規(guī)劃模型求解。仿真結(jié)果表明，本文方法不僅能保證高搜索效率，還能同時(shí)得到各波位的最優(yōu)搜索數(shù)據(jù)率以及搜索順序。

1 引導(dǎo)信息下的搜索模型

1.1 搜索區(qū)域模型

對(duì)于協(xié)同作戰(zhàn)來(lái)說(shuō)，預(yù)警機(jī)先進(jìn)行大空域搜索，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)后向雷達(dá)提供目標(biāo)的位置信息，此時(shí)相控陣?yán)走_(dá)可根據(jù)預(yù)警機(jī)提供的引導(dǎo)信息在小范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，從而較快地檢測(cè)出目標(biāo)。但是預(yù)警機(jī)所提供的信息一般都會(huì)伴隨著隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。在此假定引導(dǎo)信息的誤差統(tǒng)計(jì)特性已知，假設(shè)預(yù)警機(jī)所提供的目標(biāo)方位及俯仰向的位置信息為(θEp,θAp)，目標(biāo)的真實(shí)位置信息為(θE0,θA0)，則可得到

(θE0,θA0)=(θEp,θAp)+(εE,εA)

(1)

式中，(εE,εA)表示引導(dǎo)信息的誤差，假設(shè)其滿足f(εE,εA)二維聯(lián)合分布。通常情況下，引導(dǎo)信息下的搜索區(qū)域的確定要遵守一定的原則，即該區(qū)域不可過(guò)小，搜索區(qū)域太小會(huì)導(dǎo)致該區(qū)域中并無(wú)目標(biāo)，亦不可過(guò)大，太大會(huì)浪費(fèi)雷達(dá)資源在無(wú)目標(biāo)的區(qū)域，導(dǎo)致引導(dǎo)信息失去意義。因此引入目標(biāo)出現(xiàn)置信度ι，其定義為目標(biāo)出現(xiàn)在搜索區(qū)域Ω中的概率，即[4]

(2)

需要注意的是，搜索區(qū)域確定時(shí)需要使得方位向與俯仰向的范圍相當(dāng)，以避免出現(xiàn)其中一個(gè)方向范圍過(guò)大而另一個(gè)方向過(guò)小的情況。考慮到置信度法求解搜索區(qū)域時(shí)計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，在此選用置信度法的一個(gè)特例，3倍均方差法來(lái)簡(jiǎn)化求解搜索空域。根據(jù)概率論內(nèi)容，假設(shè)變量x以及均方差σ服從高斯分布，則有

P(|x|<3σ)=99.7%

(3)

因此，根據(jù)預(yù)警信息所給的位置，對(duì)方位以及俯仰向前后各取3倍均方差的距離構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，取該正方形的外接圓作為搜索區(qū)域即可保證目標(biāo)落入此區(qū)域的概率足夠大。

1.2 目標(biāo)出現(xiàn)概率模型

在通過(guò)3倍均方差法確定最佳的搜索區(qū)域之后，需要根據(jù)雷達(dá)的波束寬度，在搜索區(qū)域內(nèi)進(jìn)行合理的編排。由于雷達(dá)波束在球面坐標(biāo)系中存在波束展寬效應(yīng)[5]，而這一現(xiàn)象在正弦坐標(biāo)系下不復(fù)存在，因此需要進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，將搜索區(qū)域以及雷達(dá)波束由雷達(dá)球面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成正弦坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行波位編排。對(duì)于雷達(dá)球面坐標(biāo)系中一點(diǎn)(E,A)轉(zhuǎn)換到正弦坐標(biāo)系下坐標(biāo)(α,β)，其轉(zhuǎn)換公式為

(4)

式中,T為雷達(dá)陣面傾角。

為了使波位可以盡可能地覆蓋搜索區(qū)域且不會(huì)造成因波位重疊而導(dǎo)致的資源浪費(fèi)。本文選擇交錯(cuò)波束編排方式來(lái)對(duì)搜索空域進(jìn)行編排[6]。假設(shè)編排后的總波位數(shù)為N，Ωk表示為第k號(hào)波位。想要獲得波位的出現(xiàn)概率pk就需要在每個(gè)波位范圍內(nèi)對(duì)引導(dǎo)誤差概率密度分布函數(shù)f(εE,εA)進(jìn)行積分，同時(shí)忽略波束內(nèi)部的差別。這樣一來(lái)會(huì)對(duì)目標(biāo)出現(xiàn)概率的計(jì)算帶來(lái)一定的誤差，并且計(jì)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜。因此本文采取統(tǒng)計(jì)方法來(lái)計(jì)算各波位中目標(biāo)出現(xiàn)的概率。計(jì)算過(guò)程如下：

步驟1： 在雷達(dá)球面坐標(biāo)系下，隨機(jī)產(chǎn)生Q個(gè)服從二維誤差分布f(εE,εA)的目標(biāo)。

步驟2： 將Q個(gè)目標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到正弦坐標(biāo)系中，對(duì)于編排好的波位，記Qk(k=1,2,…,N)為落在第k號(hào)波位內(nèi)的目標(biāo)數(shù)。

當(dāng)Q的取值越大，通過(guò)上述過(guò)程所得到的目標(biāo)出現(xiàn)概率越接近于真實(shí)值。至此即可得到引導(dǎo)信息下的搜索空域確定以及各波位的目標(biāo)出現(xiàn)概率。波位編排具體流程如圖1所示。

圖1 波位編排流程圖

2 引導(dǎo)信息下雷達(dá)最優(yōu)所搜算法

2.1 目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間模型

對(duì)于傳統(tǒng)的搜索方式，雷達(dá)一般將資源平均分配給每個(gè)波位進(jìn)行照射，這樣就會(huì)導(dǎo)致部分資源會(huì)浪費(fèi)在目標(biāo)出現(xiàn)可能性低的波位中，以至于發(fā)現(xiàn)目標(biāo)所用的時(shí)間較長(zhǎng)。對(duì)此，就需要將資源合理地分配給每一個(gè)波位，從而縮短目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的時(shí)間。

假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在第k號(hào)波位上，此時(shí)可得雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間[7]為

(5)

式中，tk為雷達(dá)在第k號(hào)波位上的駐留時(shí)間，Tpri為脈沖重復(fù)周期，Tr表示搜索幀周期。此時(shí)總的平均搜索時(shí)間可以表示為

(6)

Pdk表示第k號(hào)波位上的檢測(cè)概率。假設(shè)目標(biāo)為Swerling Ι型且虛警概率為Pfa，此時(shí)Pdk可由下式計(jì)算得到：

(7)

式中,SNRk為第k號(hào)波位上的回波信噪比。假設(shè)雷達(dá)發(fā)射功率為Pt，根據(jù)雷達(dá)方程，雷達(dá)接收的回波功率可表示為

(8)

(9)

式中，k0為玻耳茲曼常數(shù)，B為發(fā)射信號(hào)的帶寬，F(xiàn)N為雷達(dá)接收機(jī)噪聲系數(shù)，T0為標(biāo)準(zhǔn)室溫。實(shí)際情況下，目標(biāo)一般都會(huì)自身攜帶干擾機(jī)或者借助支援式干擾機(jī)，向雷達(dá)施加干擾信號(hào)(本文以壓制干擾為例)，嚴(yán)重降低雷達(dá)接收端SNR，從而干擾雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)，達(dá)到自衛(wèi)的目的。本文以雷達(dá)接收SNR降低程度表示壓制干擾的強(qiáng)度，則可得到對(duì)應(yīng)壓制干擾條件下脈沖積累后的信噪比為

(10)

式中,Jk表示第k號(hào)波位受到的干擾強(qiáng)度。

2.2 基于混合變量規(guī)劃的雷達(dá)最優(yōu)搜索算法

通過(guò)上節(jié)所提模型可以求得各個(gè)波位的最優(yōu)駐留時(shí)間。但無(wú)法確定搜索空域下最優(yōu)的波位搜索順序。針對(duì)該問(wèn)題，本文借用整數(shù)規(guī)劃的思想，引入搜索順序變量δk,j=1/0，分別表示第k號(hào)波位的搜索次序是否為j，其中k=1,2,…,N,j=1,2,…,N。為了更好地理解，我們隨機(jī)定義了一組搜索順序，以N=6為例，如表1所示。

表1 搜索順序變量分配

由表1可知，δ2,1=1可表示雷達(dá)對(duì)第2號(hào)波位第一個(gè)進(jìn)行照射，以此類推可得到其他波位照射順序的表示。并且可以發(fā)現(xiàn)表中的每一行有且僅有一個(gè)順序變量為1，每一列也有且僅有一個(gè)順序變量為1，這就可以分析得到順序變量δk,j的約束條件，即

(11)

(12)

將式(12)代入式(6)來(lái)替換其中的Tk，可得到總的包含搜索順序變量的目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間：

(13)

綜上所述，雷達(dá)搜索順序可由效率矩陣和式(13)共同決定，可得到相控陣?yán)走_(dá)最優(yōu)搜索模型如下：

(14)

式中，δk,j為離散的整數(shù)變量,tk為連續(xù)變量，η為搜索過(guò)程占用總的雷達(dá)時(shí)間的比例，T_resourse為雷達(dá)總的時(shí)間資源。對(duì)于這種混合變量模型，本文引入NCP函數(shù)方法，將0-1離散變量經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換變?yōu)榈葍r(jià)的非光滑方程，進(jìn)一步使用凝聚函數(shù)法對(duì)其進(jìn)行光滑化[9]。再使用連續(xù)變量的優(yōu)化方法對(duì)模型進(jìn)行求解。離散變量δk,j的轉(zhuǎn)化過(guò)程如下：

(15)

(16)

該優(yōu)化模型共有N2+2N+1個(gè)等式約束，在此令C1=Φ1,1，C2=Φ1,2,…,CN2=ΦN,N，CN2+1=u1, …，CN2+N=uN，CN2+N+1=v1，…，CN2+2N=vN，CN2+2N+1=?。即可把約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的增廣拉格朗日乘子法來(lái)求解問(wèn)題，得到增廣拉格朗日函數(shù):

(17)

表2 拉格朗日乘子法求解流程

3 計(jì)算機(jī)仿真試驗(yàn)

為了體現(xiàn)本文算法的有效性，本節(jié)設(shè)計(jì)了兩種場(chǎng)景：其一為目標(biāo)的干擾落在搜索區(qū)域內(nèi)，這種情況下可將區(qū)域內(nèi)各波位受到的干擾強(qiáng)度等效為相等；其二為目標(biāo)的干擾落在搜索區(qū)域外，此時(shí)區(qū)域內(nèi)各波位受到的干擾強(qiáng)度由波位與干擾的相對(duì)位置決定。在不同的雷達(dá)時(shí)間資源下針對(duì)兩種場(chǎng)景比較本文所提算法與均勻順序搜索方法所得到的平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間。

3.1 仿真參數(shù)

本次仿真以某一相控陣?yán)走_(dá)為例，雷達(dá)的系統(tǒng)參數(shù)如表3所示，雷達(dá)的陣面傾角T=15°，陣面法線指向的方位角為80°，雷達(dá)搜索波束的寬度為3°×3°，雷達(dá)的總的時(shí)間資源T_resourse=4 s，Tpri=0.001 s，搜索資源比例η=0.5，即總時(shí)間資源的一半用來(lái)搜索。目標(biāo)向雷達(dá)施加的干擾強(qiáng)度J=16 dB，在此假設(shè)兩個(gè)場(chǎng)景，場(chǎng)景一為目標(biāo)施加的干擾處于搜索區(qū)域內(nèi)部，場(chǎng)景二為目標(biāo)施加的干擾處于搜索區(qū)域外部，靠近搜索區(qū)域最左側(cè)。其分布如圖2所示。兩種場(chǎng)景下預(yù)警機(jī)向雷達(dá)提供的引導(dǎo)信息均為：目標(biāo)在雷達(dá)球坐標(biāo)系下的位置為(16°,24°)，目標(biāo)與雷達(dá)距離為50 km。引導(dǎo)信息的位置誤差為(εE,εA)，分別為方位向與俯仰向上相互獨(dú)立的零均值高斯白噪聲，誤差標(biāo)準(zhǔn)差均為2°。

表3 雷達(dá)系統(tǒng)仿真參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果分析

基于以上參數(shù)，首先要對(duì)搜索區(qū)域進(jìn)行確定，根據(jù)3倍均方差法可以確定出目標(biāo)落入置信度為99.7%的搜索區(qū)域，再將該區(qū)域轉(zhuǎn)換到正弦坐標(biāo)系中，采用常用的交錯(cuò)編排方式在該區(qū)域中進(jìn)行波位編排并對(duì)波位進(jìn)行編號(hào)，結(jié)果如圖2所示。隨機(jī)產(chǎn)生1 000個(gè)服從二維誤差分布f(εE,εA)的目標(biāo)并將其轉(zhuǎn)化到正弦坐標(biāo)系如圖3所示，通過(guò)前文提到的統(tǒng)計(jì)法可以求得目標(biāo)在各個(gè)波位上的出現(xiàn)概率,如表4所示。

圖2 搜索區(qū)域與波位編排

圖3 隨機(jī)目標(biāo)在各波位的分布

表4 各波位的目標(biāo)出現(xiàn)概率

根據(jù)前面假設(shè)的兩種干擾場(chǎng)景，可以通過(guò)計(jì)算分別得到兩種場(chǎng)景下各個(gè)波位所受到的干擾強(qiáng)度，結(jié)果如圖4所示。在得到各波位的目標(biāo)出現(xiàn)概率之后，采用本文所提算法進(jìn)行優(yōu)化，分別在兩個(gè)場(chǎng)景下計(jì)算得到每個(gè)波位上的回波信噪比和最佳波束駐留時(shí)間以及最優(yōu)的波束照射順序如圖5、圖6和圖7所示。

圖4 兩種場(chǎng)景下各波位的干擾強(qiáng)度

圖5 兩種場(chǎng)景下兩種方法優(yōu)化后的SNR

圖6 場(chǎng)景1下的搜索資源分配與搜索順序

圖7 場(chǎng)景2下的搜索資源分配與搜索順序

對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，計(jì)算得到場(chǎng)景1下目標(biāo)的平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間為T(mén)opt_1=0.788 2 s，相對(duì)而言，通過(guò)順序搜索算法計(jì)算得到的平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間Tave_1=1.088 5 s，場(chǎng)景2下兩種算法計(jì)算得到的平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間結(jié)果分別為T(mén)ave_2=1.011 5 s，Topt_2=0.701 s，兩種場(chǎng)景下均勻搜索方法均大于最優(yōu)搜索算法優(yōu)化所得結(jié)果，體現(xiàn)了本文算法的有效性。

由圖5可知，由于場(chǎng)景1中各波位所受干擾強(qiáng)度相同，影響時(shí)間資源分配的因素主要為目標(biāo)出現(xiàn)概率，因此該場(chǎng)景下優(yōu)化后只有4號(hào)波位的SNR大于均勻順序搜索方法得到的SNR。而場(chǎng)景2中由于各波位受到干擾強(qiáng)度不同，各波位分配的時(shí)間資源由檢測(cè)概率和出現(xiàn)概率共同決定，因此場(chǎng)景2下本文算法優(yōu)化后大部分波位的SNR都大于均勻搜索方法。

通過(guò)對(duì)比圖6和圖7可知，場(chǎng)景2下3號(hào)波位所分配的時(shí)間資源占比相對(duì)于場(chǎng)景1有明顯提高，這是由于場(chǎng)景2中干擾位于3號(hào)波位左側(cè)導(dǎo)致搜索區(qū)域內(nèi)各波位受到干擾強(qiáng)度不均勻，結(jié)合圖4可知 3號(hào)波位受到的干擾強(qiáng)度相比于其他波位要大，為了對(duì)抗干擾，雷達(dá)對(duì)其所分配的時(shí)間資源也相對(duì)較多，體現(xiàn)了本文算法可針對(duì)不同場(chǎng)景對(duì)時(shí)間進(jìn)行動(dòng)態(tài)分配。

為了更好地驗(yàn)證本文算法所提供的高搜索效率，將針對(duì)兩種場(chǎng)景在不同的搜索資源比例下與傳統(tǒng)的順序搜索算法進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 場(chǎng)景1下兩種算法平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間比較

圖9 場(chǎng)景2下兩種算法平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間比較

由圖8和圖9可知，相比于傳統(tǒng)順序搜索方法，本文方法在兩個(gè)場(chǎng)景中的各個(gè)搜索資源比例下所得到的目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間更小。此外，隨著搜索資源比例的提高，兩種方法計(jì)算得到的目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間不斷減小，并且本文算法相對(duì)于傳統(tǒng)方法的優(yōu)化程度也隨之縮小。這也從側(cè)面說(shuō)明在資源受限的情況下，本文所提算法的有效性更高。對(duì)比圖8和圖9可知，場(chǎng)景2下兩種方法所得到的平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間要小于場(chǎng)景1，這是因?yàn)楦蓴_位于搜索區(qū)域外，導(dǎo)致各波位的干擾強(qiáng)度要小于場(chǎng)景1中的情況。且在搜索資源比例較低的情況下，場(chǎng)景2中本文算法相較于均勻順序搜索算法，優(yōu)化效果比場(chǎng)景1要好。證明了本文算法對(duì)場(chǎng)景的變化具有較好的適應(yīng)性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)預(yù)警機(jī)引導(dǎo)信息下相控陣?yán)走_(dá)快速搜索問(wèn)題，首先根據(jù)引導(dǎo)信息確定搜索區(qū)域以及波位編排，其次計(jì)算各個(gè)波位的目標(biāo)出現(xiàn)概率，最后以目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時(shí)間為標(biāo)準(zhǔn)，提出了基于混合變量規(guī)劃的雷達(dá)最優(yōu)搜索方法，該方法同時(shí)對(duì)各波位的波束駐留時(shí)間以及照射順序進(jìn)行優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，本文方法可以快速地搜索到目標(biāo)并且可得到各波位最佳駐留時(shí)間以及最優(yōu)搜索順序。證明了該方案具有有效性的同時(shí)，還體現(xiàn)出其對(duì)場(chǎng)景變化具有一定的適應(yīng)性。