不同換元方式對不定積分計算過程的影響探討

鄧昌瑞

【摘要】針對一類被積函數帶根號的不定積分計算，介紹了用三種不同的換元方式或方法進行求解.得到了只有合理使用換元方法，才能使積分計算過程變得更加簡單的結論.

【關鍵詞】換元法；直接去根號法 ；化簡法；變形法

【中圖分類號】O數學類

一、引 言

在微積分中，如果被積函數帶有根號，這種不定積分的計算過程往往比較復雜.求解這種類型的不定積分，一般都用換元法先把根號去掉，然后再進行下一步的計算.不過，用換元法去根號也要講究方式方法，因為稍有不當，雖然把根號去掉了，但也可能使不定積分的計算過程變得非常繁雜而導致求解失敗.也就是說，在計算被積函數帶有根號的不定積分的過程中，一定要根據不定積分的具體情況合理使用換元法，盡量使其計算過程變得簡單.下面通過舉例方式說明這一點.

二、不定積分的三種去根號方法

為體現用換元法去根號也要講究方式方法的重要性，下面以計算不定積分∫ax-1ax+1dx（a≠0）為例進行說明.可以看出，這個積分的被積函數中含有一個較為復雜的二次根號.根據該題的實際情況，去掉這個根號采取的方法一般有三種：一是不做任何變換，直接用換元法去掉根號（這里簡稱為直接去根號法）；二是先化簡，把它變得更簡單后再去根號（這里簡稱為先化簡，后去根號法）；三是先變形，將復雜根號變成若干個簡單的根號后再逐步一個一個的去掉根號（這里簡稱為先變形，大根號化小根號法）.具體如下：

1.直接去根號法

四、結 論

從上面對不定積分的計算中我們可以看出，本題不定積分的計算如果用直接去根號法進行求解，會使得求解過程變得十分繁雜，稍不留意就會出錯；但用先化簡，后去根號法進行求解，求解過程就相當簡單，也就不容易出錯；而用先變形，大根號化小根號法去做，難易程度則適中.這道題目的求解介紹也就告訴我們：對于一些較為復雜的不定積分的計算，計算方法或過程往往不止一種，只要找對方法，可以把復雜的不定積分計算問題變得非常簡單，但如果找不對方法，那么較為簡單的積分計算也可能會變得相當復雜.要做到這一點，只有勤加練習，學會融會貫通，就一定能掌握好不定積分的計算.

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