空間向量在立體幾何中的應用

孫成琪

摘 要：空間向量知識為幾何問題的解決提供了很大的便利。幾何問題一般都非常抽象并且復雜，而空間向量知識能夠降低幾何問題的復雜程度，轉化成簡單的代數問題，能夠幫助人們更好的研究幾何問題，因此在高中數學中具有非常重要的地位。本文針對空間向量在立體幾何中的應用進行了詳細的闡述與分析，將空間向量作為立體幾何的解題工具，簡化立體幾何的題目難度，將幾何問題轉化為代數問題，解析空間向量如何將立體幾何問題變得更具程序性以及可推理性。

關鍵詞：空間向量;立體幾何;應用分析

向量知識在立體幾何中的應用是數學領域的一場革命，它為幾何問題的解決提供了更加清晰的思路[1]。由于向量具有數形結合的特點，能夠將幾何中的位置問題轉化為代數中的數量問題，并且能夠依據題目構造出空間直角坐標系，使幾何問題得以簡化，求解思路避開幾何中的復雜位置，清晰、流暢解題[2]。本文通過解析具體例題，對空間向量在立體幾何中的應用進行了詳細分析。

一、向量知識在幾何解題中的作用

當高中數學中引入向量知識后，復數在解題中的意義逐漸被向量取代，向量在數學解題中逐漸占據重要地位[3]。向量的引入使平面與空間問題的解決更加簡化，是促進幾何問題代數化的重要媒介

向量法分為兩部分，一是平面向量，另外則是空間向量[4]。前者能夠應用在不等式問題的解答中，同時還能簡化證明過程，例如平行問題、共線問題等。還能夠解決求值問題，例如距離相向問題等。而空間向量在立體幾何中的應用主要包括下面兩種類型，一種是位置關系問題，另一種則是度量問題。前者包括線線平行、線面平行等，后者則包括點面距離、角度問題等。向量在立體幾何問題的解決中具有明顯優勢，能夠將繁雜的空間幾何問題簡單化，使其簡便易懂。空間向量的引入，還能夠彰顯數學中數形結合的完美優勢。

二、應用向量解決立體幾何問題的步驟

應用向量解決立體幾何問題主要分為下面幾個步驟[5]：第一、創建空間直角坐標系，坐標系的坐標軸盡量選取已經存在的三條線，如果沒有這樣已經相互垂直的三條線，則需要先找到相互垂直的兩條線，再繪制出第三條線，使其分別垂直于這兩條線。第二、標注解題時會用到的點的坐標，該步驟一定要仔細認真。第三、寫出解題所需的向量坐標，坐標一定是由終點坐標減去起始坐標。第四、應用已經列出的向量坐標解決問題，解決問題過程中一定要運用正確的公式，認真對待運算過程。

三、空間向量在立體幾何中的具體應用

空間向量在立體幾何問題解決中的應用主要包括以下幾個方面：

3.1空間向量對于線面成角問題的解決

線面成角在立體幾何中非常常見，但是傳統的解題方法非常繁瑣，將空間向量引入到此類解題中，能夠將線面成角問題變得更加簡單，將復雜的問題轉變成簡易易懂的代數問題。

例1：圖1正方體中，求對角線A1B與面BB1D1D之間的形成的角。

該題目解決的關鍵是求出面的法向量，對于題目中已經存在與待求平面相垂直的直線的時候，該直線就可視為面的法向量;對于題目中不存在與待求平面相垂直的直線的時候，則需要假設出待求平面的法向量，通過方程求出法向量，再將其帶入到題目中。

3.2空間向量對于面面成角問題的解決

面與面之間的成角問題是立體幾何中的常見考察題型，該題型對于初學者而言具有較大的難度，但在引入向量后，難度將得到降低，能夠讓題目得到較容易的解答。

求兩個面之間的夾角往往可將其轉化成這兩個待求面的法向量之間的夾角問題，創建直角坐標系，運用坐標表示出法向量，再結合圖形判斷兩個平面之間的夾角與法向量之間夾角的關系，求出法向量之間的夾角，進而求出兩個平面之間的夾角。

3.3空間向量對于點面距離問題的解決

點與面之間的距離問題也是立體幾何中的常見題型，由于立體幾何抽象性強，此類題型的解題難度較大，引入向量知識之后，解題過程簡化，解題效率將得到大幅提高。

例3：圖3的正方形ABCD邊長為1，PD垂直于平面ABCD，PD=1，E為AB的中點、F為BC的中點，則點D與平面PEF之間的距離為多少？

解題分析：創建圖3中的空間坐標系，則下列點的坐標分別為：D（0，0，0），P（0，0，1），E（1，1/2，0），F（1/2，1，0）。

求解點與平面之間的距離的時候，有些點在平面中的射影位置不好尋找，則需要運用向量知識解決此類問題，向量的引入能夠減少輔助線，降低解題難度。

空間向量在立體幾何中的應用，不僅能夠解決線面成角問題、面面成角問題以及點到平面之間的距離，同時還能夠解決異面直線之間的距離、線線平行問題、面面垂直問題等，這些問題共同的特點是題目均存在一定的難度，且頻繁出現在高中數學的試卷中，但傳統的解題方法解決此類問題非常繁瑣，引入空間向量后，能夠將復雜的結合問題轉變成簡易易懂的代數問題。

結束語

總而言之，向量知識在立體幾何中的應用對于降低復雜的空間幾何問題具有非常重要的意義。在幾何問題中合理應用向量知識，將空間問題中的位置關系轉變成數量關系，減少輔助線的應用，進而使幾何問題得以簡化、使問題更加簡單。向量知識的應用，向人們展示出一種新的解題思想與解題方法，它突破了傳統的解題思想，同時也為今后探求新的解題思想提供了有效的促進效果，培養我們的空間想象能力以及探索創新能力。

參考文獻

[1]馬彥彬.向量在立體幾何中的應用研究[J].考試周刊，2018（40）：83.

[2]韓子萱.空間向量在立體幾何中的運用[J].中華少年，2018（02）：285.

[3]馬建華.高中數學空間向量在立體幾何中的應用[J].考試周刊，2017（81）：87.

[4]王千迎.空間向量在立體幾何中推廣與運用[J].課程教育研究，2017（38）：140.

[5]孫平.掌握空間向量神器決戰高考立體難題——例析空間向量在立體幾何中的應用[J].數學教學研究，2017，36（03）：57-62.