探索數學規律三部曲： 感知 強化 內化

吳東琴

[摘 要]以“商的變化規律”為例，探析數學規律教學的策略，促進學生在感知、強化、內化的過程中深刻理解數學規律，最終完成知識的整體建構。

[關鍵詞]數學規律;感知;強化;內化

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）08-0068-02

小學生以形象思維為主，理解數學規律往往需要大量的感性材料做支撐。教師可引導學生從具體的生活情境中去驗證規律，強化學生對數學規律的認識，通過溝通新知與舊知的聯系，促使學生把新知納入已有的認知體系之中，完成知識的內化過程。本文將以“商的變化規律”教學為例，論述如何促使學生在感知、強化、內化的過程中深刻理解數學規律。

一、在觀察中概括，感知規律

數學觀察是指學生通過對數字、字母、符號等數學要素進行觀察進而提升對數學本質認識的過程。在數學觀察的過程中，教師要注意觀察的維度：指導學生從不同的角度展開數學觀察，從而全面、準確地識別數學現象，探究數學規律;要注意把觀察和思考、概括有機結合，因為概括是學生認識數學規律的重要方式。

【教學片段1】

出示題目：

師：大家有什么發現嗎？

生1：當被除數乘以10，除數不變時，商也乘以10。

師：還可以概括得更準確嗎？

生2：被除數乘以一個數，除數不變，商也乘以同一個數。

師：如果從下往上觀察呢？

生3：被除數除以一個數，除數不變，商也除以同一個數。

師：把同學們概括的數學規律再總結，就是“被除數乘（或除以）一個數，除數不變，商也乘（或除以）同一個數”。那么，這個被除數乘或除以的數可以是0嗎？

生（齊）：不能。

師：被除數乘（或除以）一個數（0除外），除數不變，商也乘（或除以）同一個數。再觀察一組算式，通過計算結果，你發現了什么規律？

生4：被除數不變，除數乘一個數，商反而除以同一個數。

師：如果從下往上觀察呢？

生5：被除數不變，除數除以一個數，商反而乘同一個數。

生6：這個結論要加上“0除外”，這樣就更準確了。

師：被除數不變，除數乘（或除以）一個數（0除外），商反而除以（或乘）同一個數。

師：觀察、計算下面的算式，你發現了什么規律？

生7：從上往下觀察，被除數和除數同時乘同一個數（0除外），商不變。

生8：從下往上觀察，被除數和除數同時除以同一個數（0除外），商不變。

師：現在，我們已經得出了三條商的變化規律。我把這三組算式放在一起，你又有什么發現？

生9：當被除數或者除數的其中一個發生變化時，商也會隨之發生變化。但是，當被除數和除數同時發生變化時，商反而不變。

生10：除數不變時，被除數和商的變化是一致的，但是當被除數不變時，除數和商的變化卻是相反的。

教學中，教師引導學生從不同的維度觀察算式，從而概括出商的變化規律。具體來看，首先，教師引導學生觀察每一組算式，在分別得出商的三條變化規律的基礎上，又引導學生從整體上進行觀察，使學生在宏觀上把握這三條商的變化規律的內部聯系。其次，學生在對商的變化規律進行概括時，經歷了從生活語言向數學語言的過渡，在這個過程中，教師對學生進行適時引導，不但提升了學生的數學表達能力，還加深了學生對數學規律的認知深度。再次，在觀察、概括商的變化規律的過程中，學生經歷了一個對知識從陌生到熟悉的過程，經歷了認知由慢到快的過程，在此過程中，學生的學習經驗也得到了增長。最后，在概括商的變化規律時，教師引導學生考慮“0”這一特殊情況，提升了學生的思維嚴謹性。

二、借助生活經驗，強化規律

數學知識若僅體現在數字中，而無法與現實生活產生聯系，必然是枯燥乏味的，難以給學生留下深刻印象。教師應引導學生把數學知識的學習建立在生活的具體情境之中，在現實生活中尋覓數學的“影子”，這樣不但可以調動學生學習的積極性，還能夠加深學生對數學知識的認識深度。

【教學片段2】

師：在動物園中，把6根香蕉平均分給3只猴子，每只猴子可以分得多少根？如果香蕉的數量是60根，每只猴子可以分得多少根？如果香蕉的數量是600根呢？

生1：6÷3=2（根），60÷3=20（根），600÷3=200（根）。

生2：猴子的數量不變，香蕉的數量越多，每只猴子分到的數量也就越多。

生3：份數不變，總量越多，每份的數量也就越多。

師：想一想，這和剛才講的“商的變化規律”有什么關系呢？

生4：被除數乘（或除以）一個數（0除外），除數不變，商也乘（或除以）同一個數。

師：老師把這道題改動一下。把600根香蕉平均分給3只猴子，每只猴子可以分得多少根？如果把這些香蕉分給30只猴子，每只猴子可以分得多少根？如果分給300只猴子呢？

生5： 600÷3=200（根），600÷30=20（根），600÷300=2（根）。

生6：香蕉的數量不變，猴子的數量越多，每只猴子分得的香蕉數量就越少。

生7：總量不變，分的份數越多，每一份的數量就越少。

生8：被除數不變，除數乘（或除以）一個數（0除外），商反而除以（或乘）同一個數。

師：這也就解釋了當被除數不變的時候，除數越大，商反而越小，除數和商的變化是反向的。

師：把6根香蕉平均分給3只猴子，每只猴子可以分得多少根？把60根香蕉平均分給30只猴子，每只猴子可以分得多少根？把600根香蕉平均分給300只猴子，每只猴子可以分得多少根？

生9： 6÷3=2（根），60÷30=2（根），600÷300=2（根）。

生10：香蕉的數量增多，猴子的數量也增多，每只猴子分得的香蕉數量不變。

生11：總量增多了，分的份數也增多了，每一份的數量沒有變。

生12：被除數和除數同時乘（或除以）同一個數（0除外），商不變。

生動的生活情境使學生更加深刻地認識到商的變化規律的本質，使數學規律超越了一組組單調、抽象的數學算式，變成活潑生動、真實可見的生活現象，從而激發了學生的思考熱情，加深了學生對規律的理解。

三、溝通知識聯系，內化規律

數學知識并非孤立存在的，教師要引導學生把握新舊知識之間的聯系，通過新舊知識的對比，使學生更好地理解新知識，把新知識納入已有的認知體系之中。

【教學片段3】

師：商的變化規律和我們學過的積的變化規律有什么聯系呢？

生1：一個因數乘（或除以）一個數（0除外），另一個因數不變，積也乘（或除以）同一個數;一個因數乘（或除以）一個數（0除外），而另一個因數除以（或乘）同一個數，它們的積不變。這就是積的變化規律。

生2：它們都探究了“變”與“不變”的關系。

生3：有的時候變化是一致的，而有的時候變化卻是反向的。

生4：商的變化規律和積的變化規律在本質上一樣。

師：為什么？

生4：因為我們可以把除法中的被除數看作乘法中的積，把除法中的除數和商看作乘法中的因數。

師：對，除法和乘法本來就互為逆運算，除法可以改寫成乘法，乘法也可以改寫成除法。因此，商的變化規律和積的變化規律在本質上具有一致性。

教學中，通過引導學生溝通商的變化規律和積的變化規律的內部聯系，加深了學生對新知識的理解，使學生認識到商的變化規律是建立在積的變化規律基礎上的，從而形成完整的知識體系，最終完成知識的內化和建構。

數學規律本身的隱蔽性和抽象性決定了學生的探索過程必然是曲折的，因此，教師要順應學生的思維特點，結合學生的已有經驗，從不同的角度闡釋數學規律的內涵，使學生在感知、強化、內化的過程中完成知識的整體建構。

（責編 童 夏）