數學“慢學習”的教育價值與教學策略①

華云鋒 段志貴

(1.江蘇省鹽城經濟技術開發區實驗學校 224007；2.鹽城師范學院數學與統計學院 224002)

目前，課堂教學已經廣泛使用現代化教學手段，呈現大容量、快節奏的畫風，學生儼然成為活動的主體、課堂的主人.然而，通過課堂觀察我們不難發現，不是每位同學都能生動、活潑、主動地學習，部分學生反應遲鈍，思維滯后，進程緩慢，以至于失去了學習的興趣.因此，如何尊重個體差異，關注全體學生的發展，有針對性地放慢學習節奏，注重學習體驗和數學思考，便成為我們需要迫切關注和研究的重要課題.

1 “慢學習”是“慢教育”研究的一個常態課題

美國著名心理作家迪安·德爾·塞斯托(Dean Del Sesto)在《快行動，慢思考》一書中講到，人們需要一種慢而深的思考方式，以應付越來越忙碌的學習生活[1].日本初中數學教學經常采用豐富多彩的形式幫助學生提出問題和組織數學活動，給學生足夠的思考和探究時間.學生的創新思維與探索精神是在慢節奏中培養和形成的.

我國對“慢教育”也有一定的研究.張文質先生在《教育是慢的藝術》一書中闡述了“慢教育”的含義，教育是生命的潛移默化的過程，其變化是緩慢的、細微的，它需要生命的積淀[2].上海大學王卿文教授說過，學數學只有慢，不片面地追求速度，反復思考，才能深入理解、透徹領會，真正掌握數學的精髓和真諦.他認為學好數學有訣竅，要達到精深，不能多和快，只能少且慢.中國科學院孫斌勇院士談學數學體會時說，“學數學不要求快，一定要學慢學細”.數學家丘成桐說過，“快沒什么用，做好的學問需要時間。”

“慢學習”就是進行細致化學習、體驗式學習、思考式學習，因為它基于自主分析、獨立思考，所以學得明晰、想得深刻、悟得透徹.只要給學生有“想”和“悟”的時間，讓他們充分體驗和展示，知識遷移就能順應而生.有了潛移默化、潤物無聲的“慢工”，才能換來后期解決問題的“快攻”.

節奏慢下來，思維跟上去，寶貴的是思想、眼光，而不只是進度，我們應讓“慢教育”成為新的價值理念，讓“慢學習”成為“慢教育”研究的一個常態課題.

2 數學“慢學習”的教育價值

2.1 “慢學習”尊重學生個體差異

每位學生是一個獨立的個體，所以其學習方式、學習意志以及學習能力都存在著明顯的差異性.由于個體存在特質，所以不同學生在學習過程中往往表現出不同的狀態，少數同學思維敏捷反應迅速，更多的同學需要思考片刻，才能理解、明白.

“慢學習”是基于學情的一種課堂關懷，慢是為了使學生有充分的學習體驗、充分的認知理解、充分的思維訓練.有的教學環節只有組織學生學慢學細、學通學透，才能理解本質、領悟精髓,慢而細、慢而深的學習才是新教育視角下的一種“生本”課堂形態.

“慢學習”沒有大容量，沒有快節奏，只有適切的內容，適宜的節奏.它是基于學生差異化學情及思維特點進行的體驗式、互動式學習.“慢學習”能夠激活學生的學習內力，發展思維能力，完善自我人格.

2.2 “慢學習”把自主權還給學生

數學課堂教學，除了教給學生應知應會，更要培養學生安安靜靜的自主思考能力、熱情友好的合作與交流能力.課堂上，學生需要時間思考，需要時間體驗，需要時間表達，需要時間辨析.比如，學習多項式的因式分解時，很多同學對公式產生混淆，會犯各種錯誤，有的因為公式特征認知偏差導致“張冠李戴”，如9a2-b2=(3a-b)2；有的因為沒有理解乘法公式與因式分解之間的邏輯關系導致“無功而返”，如(m2+1)2-4m2=(m2+1+2m)(m2+1-2m)=(m+1)2(m-1)2=(m2-1)2.如果我們引導學生先通過自主思考找出出錯原因，辨析公式特征及各自的差異性，再相互交流、彼此共享，就能學有所得.不是老師在前面“牽著”學生走，也不是老師在后面“趕著”學生走，而是老師融入到學生成長共同體中導學助學、領學促學.

學生有自主支配的時間，才能逐步養成主動學習、積極思考的良好習慣.學生是課堂活動的主體，他們活動的時間和進程要體現自主化，老師要給予他們足夠的時間和空間，發揮他們的主觀能動性，讓他們親歷親為，體驗解題過程的酸甜苦辣，慢慢積累成功的經驗，也汲取失敗的教訓[3].

2.3 “慢學習”注重學生學習體驗

因為慢，才會有感受和體驗；因為慢，才能有專注和深刻；因為慢，才能研機析理、學深悟透.這就是“慢慢來會比較快”的學習意境.數學課堂的慢教學就是要在課堂中適當延長學生思考過程，在“慢”中體驗教學思維的靈巧，領悟教學思想的精深.

在“折紙——探索正多邊形與圓的聯系”實驗教學中，可以組織學生動手操作，實現“體驗、實踐、獲得”的新課程理念.通過數學實驗，讓學生發現和研究折疊圓形紙片的基本原理以及圓與正多邊形的內在聯系.如圖，要折出正六形，其本質是折出一個60°的圓心角.可以再進一步思考還能折出哪些正多邊形(如正三邊形、正十二邊形等).本節體驗式教學，在“做”中既訓練學生實踐能力和創新意識，又發展幾何直觀和推理能力，感受轉化思想.

“慢學習”，是慢而不怠，像慢步，但不慢心.“慢學習”的初級階段或許更適合采取模仿式學習，以學習和運用單一知識點解決問題為主；第二階段是嘗試通過“同伴教學”的形式，在觀察和思考后進行關聯分析和思路構建；第三階段是通過合作、交流等形式，嘗試解決一些簡單的實際問題，并能把新知識鏈接到原有的知識結構中；第四階段是自主實踐探究學習，讓探究成為“慢學習”的最好見證，讓探究使“慢學習”的要義更深刻.

3 促進學生“慢學習”發生的教學策略

3.1 選擇“慢學習”的合適路徑

“慢學習”可以對學習的內容進行更好地消化、更好地理解，有益于培養學生分析問題和解決問題的能力.我們在設計教學任務時，要預設給學生思考的空間和交流合作的機會，體現“學為中心”的課程理念.

審題譯題，訓練聯想能力.數學問題具有一定的抽象性，有時涉及的知識內容多，關鍵詞之間關聯度不明顯，這就需要同學們在審題時進行聯想、分析，積極尋找其間的相關信息，對于一個圖形問題，往往在理解題意、形成解題思路上需要花費較多時間，不能急于求成.

例如，已知點P的坐標為(m+1，m-1).(1)點P在直線y=x-2上嗎？(2)若A(3，0)、B(0，6)，且點P在△ABO內部運動，試求m的取值范圍.

在解決題(2)時，很多同學急于根據點P在△ABO內部運動這一條件，得出0

定理證明，培養探索精神.如在證明勾股定理的教學中，學生既驚嘆我國古代西周數學家商高的重大發現——勾三、股四、弦五(勾股定理的特例)，又敬佩古希臘數學家畢達哥拉斯對這一定理成功證明的突破，更折服勾股定理至今已有數百種不同的證明方法.在老師的引導下，同學們可以進行慢而深的探索活動，嘗試拼圖法、等積法，再挑戰割補法、搭橋法等，訓練學生的圖形分析能力和思維創新能力.同樣，對于一個公式產生的背景以及推導過程都要留給同學們充裕的思考時間，進行猜想、推演，而不是在出現公式之后老師再反復解釋關鍵點和強調注意點.

提出問題，發展創新能力.提出問題是需要發散思維和創新意識.由于問題提出的過程和形式是開放的，所以對于認知能力較弱的學生來說也能積極參與其中；而對于能力較強的學生而言，提出問題可以挖掘他們更大的學習潛力.如，某商場經營某種文具，進價為每件20元.試營銷階段發現，當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.接下來，耐心等待學生從不同視角分析、思考并提出各個層級的問題.有的學生提出關于銷售量的一次函數問題，有的學生提出關于銷售利潤的二次函數問題，可謂“智者智仁者仁”.問題提出后，老師可以組織學生自主思考嘗試解決，也可以通過同伴教學、合作交流獲得互助共享.

滲透思想， 強化策略形成.數學思想方法是數學學科的精髓，是學好數學的必備素養.教育不像工業，而更像農業，需要根據植物的生長規律進行澆灌、培育.慢學習追求的是知識的獲得過程，而數學思想方法教學注重的是感悟和浸潤.如，一個數學問題中出現比較多的研究對象以及比較復雜的數量關系時，我們不妨借助設元或者設變量的方法(方程或者函數思想)，將復雜問題轉化為簡單問題(轉化思想)，還可以從不同視角分層次、分類別進行問題研究(分類思想)，可見不同的數學思想方法也可以協同運用、巧妙融合，這就是理解數學本質的學習，也是通過“慢學習”獲得解題策略的價值體現.

3.2 確立“慢學習”的有效方式

數學學習中，學生掌握知識、培養能力的方式是多樣的，一是溯源，通過對情境問題的表象認知和屬性歸納，抽象出新概念的要義；二是內化，通過對所學知識的實踐運用，轉化為數學學習技能，從而理解知識的內涵和數學的本質；三是后延，通過思維拓展或者微探究等形式讓思維的理性上升為思維的悟性，形成解題策略和思想.數學中的知識點都不是孤立的，它會經歷“走出森林、馳于平原、隱于高地”的美麗過程.

3.2.1 活水有源，涓涓細流

行到水窮處,坐看云起時.學習知識，既要注重日積月累，也要明白知識的源頭，生于何地，長向何方.如法則、定理從何而來？有的源于定義，有的依于公理(基本事實).概念之間、定理之間往往是有聯系的，教師在教學過程中要給學生足夠的思維時空，讓學生經歷數學概念的抽象過程和定理的證明過程，不能急于給出數學家發現的結論.如果教師能夠通過巧妙、合理的設計引導學生追溯數學家思維方式，發現問題研究的源頭，那將是極具教學價值的.

在“矩形的判定”這節課的教學中，教師可以提出如下問題：同學們，根據你們已有的學習經驗，你們應該從什么角度來探究矩形的判定定理呢？我們期盼學生經過深思熟慮后的回答：首先從矩形的定義角度，再從矩形性質的逆命題角度進行探究.這樣的回答至少有兩層意義：一是矩形的定義、性質和判定之間有著密切的關系，二是矩形性質、判定的源頭是矩形的定義，它們是基于定義的發散、生成性研究.

再如，運用對稱性的知識解決“將軍飲馬”問題的數學依據就是基本事實：兩點之間線段最短.同樣，“兩直線平行，內錯角相等”是根據基本事實“兩直線平行，同位角相等”進行證明的，十分便捷，正如丘成桐教授所說“利用簡單的公理，卻能推出美妙的定理(或結論)，實在令人神往.”

3.2.2 載體順應，以達內化

知識要轉變為能力，必須要經過“內化”的過程.飯菜吃下去要有一個“消化”的時間，這是生理規律，同樣記憶到大腦中的知識要形成結構化的知識網絡，就要聯系之前所學內容，這離不開“同化、順應”的基本環節.

蘇科版八年級上冊“6.1函數”的教學中，在抽象屬性、概括共性、揭示概念后，要組織學生通過實踐運用環節達成“實現內化、理解本質”的課堂目標，教者設計了以下3個問題.

問題1：用40 cm長的繩子圍成一個長方形，這個長方形的長是寬的函數嗎?面積是長的函數嗎？

問題2：“沙漏”是我國古代一種計量時間的儀器,它是根據上面容器里的細沙漏到下面容器中的細沙數量來計量時間.請說出這個變化過程中，哪個是自變量？哪個是函數？

問題3：下圖表示某一天的氣溫與時間關系的圖像.請判斷、辨別以下兩個問題：

①氣溫是時間的函數；②時間是氣溫的函數.

問題1、2是為了通過“同化”形成對新知識的自我認同，這是必不可少的正向(順應)強化環節；設計問題3是為了讓同學們在辨析或者爭論中形成共識，對函數概念中“唯一”這個核心詞的理解會有較大幫助.

3.2.3 適切后延，品悟策略

根據學情，可以為學有余力的同學提供“問題微探究”環節，促進優生對數學問題的深刻理解，對數學思想的透徹品悟.通過對問題的探究在解決問題的過程中獲得新知，獲得感受，獲得解決問題的方法和思想，從而獲得核心素養的發展和關鍵能力的提升[4].

如，在學習“圓的內接四邊形性質”后，可以設計一個“角的存在性”問題，組織學生進行逐級探究：平面直角坐標系中，已知A(-1，4)，B(4，9).①用尺規作圖，在y軸上找一點M，使得∠AMB=90°. ②若點P(n，0)滿足∠APB=45°，求n的值．③探究：在y軸上是否存在一點Q，使得AQ=QB和∠AQB=135°這兩個結論同時成立？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.題①通過添加“輔助圓”，根據直徑所對的圓周角是直角，便可作圖找點；題②，受到題①借力“輔助圓”的啟發，畫出以AB為弦、圓心角為90°的圓與x軸相交便可輕松求解.題③的解題思路是先假定滿足AQ=QB和∠AQB=135°結論之一，再探究是否得到另一個結論.這個微探究題組，不僅培養學生數學發現的能力，也訓練學生數學演繹的能力，這種在知識延伸處，發展學生的模型思想，形成“探索—發現—演繹”的解題策略，需要學生充分的數學分析和思考才能獲得.

有自由之時間，才能有自由之思想.數學教育應致力于促進學生更積極地進行思考，數學思維顯然就屬于“長時間的思考”[5].數學課堂有思考才能靈動.我們主張“慢學習”的初心就是根據所學內容進行體驗式學習、思考式學習，學生需要充分的時間觀察、感知和分析，便于學得細致、深入和透徹，并以期提高學生的認知能力、領悟能力和“慢學習”的質效.

“慢教育”的路還很漫長，“慢學習”能否有效實施取決于教師是否有尊重學生課堂權益的“學生立場”，是否有研究學生、研究學法的教育素養，是否有以愛育愛、靜待花開的教育情懷.我們愿為學生生命的健康成長培土澆水、育人育心，讓“慢學習”成為初中數學教學中最美的生態景觀.