HPM視角下的高中函數概念教學對學生函數概念理解的影響

劉思璐 沈中宇 汪曉勤

(1.華東師范大學教師教育學院 200062；2.華東師范大學數學科學學院 200241)

1 引言

近年來，課例研究在改善教學、促進教師專業發展等方面的作用日益受到研究者的關注[1-4]. 其中，課例研究的實施效果是課例研究的研究主題之一. 可以將課例研究的實施效果分為幫助教師學習、改善課堂教學、促進課程實施、分享教學成果和融合理論與實踐等方面，因此，通過課例研究改善課堂教學是課例研究的實施效果中重要的研究主題之一[5].

隨著HPM課例研究的深入開展，實施HPM課例研究的效果日益受到人們的重視. 實踐表明，在課堂教學方面，數學史有助于揭示知識之諧，促進數學理解[6]. 在HPM課例評價框架中，“價值的深刻性”是十分重要的維度[7]，但是，對于不同的主題，如何有效地檢測HPM教學對學生理解的影響，是需要HPM課例研究者去解決的重要課題. 根據國際上HPM已有研究的相關啟示，還需要進一步規范研究方法, 注重實證研究[8].

函數是中學數學的核心概念，關于學生對函數概念的理解，人們已經做了大量的實證研究. 有的研究者將學生在函數概念上的認知發展過程分為“作為算式的函數”、“作為變化過程的函數”和“作為對應關系的函數”三個階段[9]，或“認識變量”、“突出關系”等六個層次[10]；有的研究者基于SOLO水平或APOS理論對函數概念的理解水平進行劃分[11-12]. 盡管有研究表明，高中生對函數的理解與歷史上數學家的理解具有一定的相似性[13]，但迄今很少有人借鑒函數概念的歷史來刻畫學生理解水平的變化過程.

鑒于此，本研究以函數概念的歷史演進過程作為參照系，構建學生的函數概念理解的分析框架，在此基礎上檢測學生在HPM視角下的函數概念教學前后學生理解水平的變化. 具體的研究問題為：在HPM視角下的函數概念教學實施前后，學生在函數概念各理解水平上發生了哪些變化？ HPM視角下的函數概念教學中的哪些因素造成了學生的函數概念理解水平的變化？希望通過本研究，為函數概念的教學以及HPM課例評價的研究提供參考.

2 理論框架

2.1 函數概念的歷史

早在公元前2000年，古巴比倫就有許多不同的表格用來匯編日、月、行星的星歷表，這可以是看作早期的函數萌芽. 然而直到18世紀中期函數才被正式定義為新的、一般化的數學概念，以歐拉(L. Euler, 1707—1783)為代表的數學家在其專門論述函數的著作《無窮分析引論》(1748)中將函數定義為解析表達式. 到了1755年，歐拉在《微分學原理》又用“依賴于其他變量的變量”重新定義了函數[14]. 1837年，狄利克雷(G.L.Dirichlet, 1805—1859)在“用正弦和余弦級數表示完全任意的函數”一文中提到若兩個變量之間存在對應關系，被唯一對應的變量就是函數[15]. 1939年，布爾巴基學派在《數學基礎—集合論》一書中用“兩個集合之間的單值對應關系”來定義函數，并論述了函數與序偶集的關系[16].

直到現代，函數概念也還在不斷發展，在上述函數概念發展史中，值得注意的是四個代表性函數概念階段，它們與現代中學數學的函數內容息息相關，按照歷史序依次是“解析式”函數定義、“變量依賴”函數定義、“變量對應”函數定義、“集合對應關系”函數定義. 而且從函數概念史來看，其發展并不是推翻舊定義重構新定義的過程，而是為了研究范圍更廣的問題從而擴展其適用性的過程，最直接的證明就是后面的函數概念可以解釋屬于之前概念的函數.

但是對于函數概念的理解，一直是數學家和學生的難點. 比如函數概念發展到“對應說”時期，仍有許多數學家甚至是教科書采用“解析式說”和“變量依賴說”定義函數[17]. 國外有關研究也發現許多17—18歲學生的概念意象與歐拉的概念意象相一致，而不是與現代概念的定義相一致[18]. 通過了解函數概念發展的曲折歷史，也許給出了其中的一些解釋.

2.2 基于數學史的函數概念理解水平

對應于四個代表性的函數概念階段，可以將學生理解劃分為四個水平，如表1所示.

表1 基于數學史的函數概念理解水平

根據函數概念史每一階段理解水平的特征和內涵，將函數概念的理解劃分為4個水平，每一個水平對函數的解釋都有其特點，并與已有的相關研究中的理解水平相對應.

3 研究方法

本研究對函數概念的HPM課例研究效果進行檢測，基于已有文獻，可以將HPM課例研究效果的研究設計分為三種類型. 第一種類型為通過對課堂中學生的參與和行為的反思獲得學生學習發展的證據[19]. 第二種類型為通過對學生課例前后的測試展示學生學習的發展[20]. 第三種類型是通過學生學業成就的標準測試說明課例研究對學生學習的長期和大規模影響[21]. 本研究采用第二種類型的研究設計，在此類型的研究設計中，有研究采用實驗組與控制組的方法進行準實驗研究[22]，也有研究采用案例研究的方法關注學生在課例研究前后的變化[23]. 其中有的案例研究持續時間為一年，有的則持續時間為一到兩節課.

本研究使用案例研究的方法，綜合使用了問卷調查、課堂觀察和訪談的方法. 通過問卷調查檢測HPM視角下的函數概念教學前、后，學生對函數概念的理解水平有哪些變化. 通過課堂觀察和對師生訪談了解此次教學中，造成學生對函數概念理解水平的變化的因素有哪些.

3.1 研究對象

問卷調查法的研究對象為上海市某高中高一年級經過HPM視角下函數概念課的135名(四個班)學生. 訪談法的研究對象為這四個班中隨機抽取的8名學生. 該校處于上海市中等水平，四個班級均為平行班.

3.2 研究工具

依據已有的函數概念理解水平問卷和該課例的教學設計，經過小組討論后，選取其中的部分問題進行改編[24-25]，經過預測試的調整，最終編制了可對比的前、后測問卷，具體內容見表2.

表2 前、后測問卷題目

續表

Q1考查學生對函數解析式的理解程度. Q2考查學生對初中函數在依賴關系下的理解程度. Q3考查學生對中學函數對應關系中“唯一性”的理解程度. Q4考查學生對函數對應關系中離散情況的理解程度. 通過給被訪談學生看自己前、后測問卷進行訪談，了解學生在本節課后對函數概念有哪些新的理解，同時本節課的哪些具體內容促進了學生的這些理解.

3.3 數據收集

學生的函數概念前后測問卷. 課前讓學生完成前測問卷. 接著進行HPM視角下的函數概念教學并錄音. 四個班的HPM函數概念課均由同一位教師完成，該課共分為五個環節，依次是創設情境，引入主題；基于歷史，探究新知；回顧歷史，深化了解；練習鞏固，鞏固新知；總結內容，交流感悟[26]. 課后讓學生完成后測問卷

對學生的跟蹤性訪談. 課后隨機抽取8份前測問卷確定訪談學生并找到對應的后測問卷輔助進行訪談.

課堂實錄. 授課教師進行課堂的文字轉錄，其目的之一是促進教師對于教學的反思.

對授課教師的訪談. 整個課例研究過程結束后，針對教學和學生，對教師進行訪談.

3.4 數據分析

本研究主要采用質性文本分析方法. 第一步，整理與編號. 將每份學生問卷進行五位數編號，第一位數為題號(1代表Q1)，第二位數為前、后測(1代表T1)，后三位數為學生問卷上編號，比如11021代表Q1中T1的問卷編號為021號的學生答案. 第二步，分類與統計. 依據歷史上函數概念理解水平，將學生答案劃到其相應的水平. 判斷理由為空白或無關理由，為0水平. 學生在函數概念各理解水平上的具體表現見表3. 統計每道題前、后測不同水平百分比，得到學生在HPM視角下的教學前、后，函數的理解水平有哪些變化. 學生問卷所顯示水平的分類由兩位研究者進行，第一位研究者對所有問卷進行分類，第二位研究者隨機抽取10%進行檢驗. 第三步，分析與歸因. 根據統計圖分析學生不同理解水平的變化，再通過課堂觀察和師生訪談，分析學生產生這些變化的原因，從而了解HPM視角下的函數概念教學中的哪些因素造成了學生的函數概念理解水平的變化.

表3 學生的典型答案

比較表1和表3，發現基于數學史的函數概念理解水平和學生在函數概念各理解水平上的答案是相對應的. 根據表3可以看到，不同水平的學生答案表現是存在差異的，且同一水平的具體表現也不一致的. 比如L2水平的具體表現為“根據圖像判斷”、“回答依賴關系”和“識別變量變化”.

4 研究結果

4.1 函數理解水平的變化

通過比較前、后測調查問卷的結果，發現學生在函數概念各理解水平上發生明顯的變化，具體變化見表4，其中Q表示題號,L表示理解水平，T表示測試.

表4 學生的理解水平變化

根據表4，從總體上可以看到前后測所顯示學生理解水平的變化. 0水平(空白或者無效理由)明顯減少，說明課后更多的學生對函數的辨析有了自己明確的理由. 1水平學生數也明顯減少. 但是對于Q1處于1水平的比例不論是前、后測在4道題中都是最高的，這跟題目考查目的有關，該函數可用每一水平進行解釋，而解析式水平是學生較為常見的. 2水平也明顯減少，值得注意的是課前大多數學生的有效答案處于該水平，也許是因為學生在課前對“y隨x的變化而變化”的函數理解較為印象深刻. 3水平的學生明顯增多，且在后測有效答案中占比最高. 4水平經歷了從無到有的變化，但是后測中占比是依然較少，可能是學生對于“集合對應水平”理解不到位，所以他們更傾向于用自己剛學過且容易理解的水平進行判斷.

從表4還可以看到，學生在回答不同問題時可能會調用不同的理解水平來進行判斷. 比如Q4中處于2水平的學生在前、后測的比例都是四道題中最高，而Q1中2水平的比例則不高. 進一步查閱學生對Q4的判斷理由，發現有很多學生認為該題中只有點沒有連接起來成為圖像，所以不是函數，體現了學生對于函數是連續的函數意象.

4.2 HPM視角下的教學對函數理解水平變化的影響因素

結合調查問卷的所顯示出來的函數認識水平的變化，進一步通過訪談和課堂實錄，發現HPM視角下的教學對函數理解水平變化的影響因素主要體現在三個方面.

4.2.1 四個階段的函數定義為學生提供函數概念表述方式

根據統計圖，發現四道題答案所顯示的0水平比例在前測中都占有相當大的比重，而后測中都有所減少，說明大部分學生在課后能夠表達出自己對于函數的理解. 這種表達的方式是由于這節課的教學內容和模式所產生的.

通過從課堂實錄中，可以看到：

師：通過剛剛的例子，原來“解析式說”對函數的認識并不全面，它的概念還需改進.

……

師：由于“解析式說”不太完善，歐拉在1755年又重新定義了函數，與剛剛提到的初中函數定義類似，該定義稱為“變量依賴說”.

通過對學生的訪談，可以看到：

研究者：今天學了歷史上四個函數的概念，有解析式說、變量依賴說、對應說、集合說，在四個定義中，你們最喜歡哪個？

生1：我最喜歡依賴關系，因為它比較有規律.

生2：我喜歡集合說，因為它是我們現在對函數的定義，算是目前為止最標準的一個.

通過對課堂實錄和學生的訪談發現，學生通過課上所提供數學史中的函數概念，可以找到與自己理解水平對應的函數概念，并用其進行判斷和表達，可見數學史上的各種函數定義為學生提供了自己所理解的函數概念的表述方式.

4.2.2 狄利克雷函數促進學生掌握變量對應關系

根據統計圖，發現四道題答案所顯示的1、2水平比例明顯減少，3水平明顯增加且比例在后測中較大. 這跟這節課的教學內容本身有著很大的關系. 但是教師通過重構式、順應式和附加式將函數概念的歷史融入數學課堂教學的方式對學生理解變量對應關系是有著很大幫助的.

通過從課堂實錄中，可以看到：

師：歷史上有位數學家叫狄利克雷，有一天他提出一個函數，這個函數的特點是當x為有理數時，y對應的值為1，當x是無理數時，y對應的值為0.

學生發現用“變量依賴說”并不能夠很好解釋這個例子.

師：狄利克雷所提出的這個函數……兩個變量之間還有依賴關系嗎？

生：沒有依賴關系.

師：由此我們發現用“變量的依賴關系”來刻畫函數，好像也不太合理……也就是我們需要把“依賴”這個詞換一下就可以了.你覺得可以換什么詞呢？

生：可以把“依賴”改成“對應”.因為具體的函數關系中，每一個x的值，都有一個y的值和它相對應.

通過對教師的訪談，可以看到：

研究者：您的教學設計修改了很多，從時間順序上來看，最開始有初步的教學設計，課例研討后有改進的教學設計，請問有什么修改的地方？

教師：……還有一個就是如何在課堂上讓學生出現“對應”這個詞，怎么啟發學生從依賴到對應？所以借鑒了語言描述的狄利克雷函數……

狄利克雷當年為了說明自己函數定義中“任意對應”的性質，舉出了特殊的狄利克雷函數[15]，通過訪談說明了該函數是突破函數依賴關系的較好反例，教師通過順應式來簡化狄利克雷函數再給學生呈現，有助于學生認識到之前對于函數是依賴關系的局限性. 可見合理利用數學史能夠促進學生對變量對應關系的理解.

4.2.3 文氏圖激發學生理解集合對應關系

根據統計圖，發現四道題答案所顯示的4水平基本上都是在后測中才出現. 集合對應關系對于中學生而言是需要很高的認知水平才能理解的. 如何幫助學生在學習變量對應關系的函數概念后繼續理解集合對應關系的函數概念是教學內容的上一個難點.

通過從課堂實錄中，可以看到：

師：集合語言使得表示更簡單，所以大家能不能用文氏圖表示狄利克雷函數. 如果用方框表示實數集，用一條線把實數集分為有理數和無理數，按照對應法則，對于每一個x的值，y都有唯一確定的值與其對應，若x取任意有理數和任意無理數，它對應的y分別是多少？

生：0和1.

師：既然x的取值范圍看成集合，是否y取到的值也能看成集合？這個集合里面有多少個數？

生：0和1兩個數.

師：接著我們用文氏圖表示y值構成的集合. 當我們用文氏圖表示x和y構成的集合的時候，函數可以看成什么之間的對應關系呢？還僅僅是兩個變量之間的對應關系嗎？

生：可以看成兩個集合之間的對應關系.

通過對學生的訪談，可以看到：

研究者：你們可以談一下初中概念和高中概念有什么不一樣呢？

生：感覺比較復雜一點了.

研究者：為什么覺得更加復雜了呢？

生：需要注意的點很多.

研究者：哪些點是你覺得需要注意的呢？

生：概念里面的專有名詞一定要很精確. 比如唯一對應，集合對應.

研究者：“文氏圖能幫助你更好地理解集合對應這個概念嗎？”

生：“我覺得可以，因為當x取一個值的時候，y也有唯一確定的一個值與它對應，它的圖像(這里指教師畫的狄利克雷函數的文氏圖)能讓我更好地理解集合對應關系.”

根據課堂實錄可以看到教師在逐漸引導學生通過文氏圖來理解函數變量對應關系. 根據學生訪談發現學生注意到狄利克雷函數的文氏圖下的對應關系，雖然學生并沒有明確提到集合對應關系，但是綜合來看改編使用數學史對于學生理解集合對應關系的函數概念是有著激發作用的.

5 討論

根據以上的研究結果，下面將從函數概念的理解和數學概念的理解兩個方面進行討論.

學生對于函數概念的理解往往是通過概念表征及其之間的聯系進行測試的[27-28]，本研究是根據學生對于函數表征的解釋來進行理解水平的劃分.根據學生回答4道測試題的答案理由以及基于歷史的函數概念理解水平來看，從解析式角度去判斷函數是學生最為熟悉和容易理解的一種解釋方式. 值得注意的是，從Q2和Q4的前測學生水平取向為“變量依賴水平”，可以看到“函數要有依賴關系”、“函數是有規律的”在學生心里是占有一席之地的. 而對于課后的認識水平，學生更多傾向于“變量對應水平”，這從某種程度上說明了經過這節課的教學，學生的理解水平得到了提高. 但正如已有研究所表明的，學生對函數概念的理解存在概念定義與概念意象分離的情況[29-30]，這解釋了仍有部分學生在課后處于解析式水平和變量依賴水平的脫節現象.

學生對于數學概念的理解方面，這里將借鑒Sfard數學概念的二重性及其在歷史觀上概念發展的三個階段來討論[31]. Sfard將數學概念分為了“操作性概念”和“結構性概念”，并對兩者之間的關系進行了互補性和依賴性的說明.對于學生而言，“操作性定義”的“解析式水平”和“變量依賴水平”往往是更易于接受的，因為從歷史觀上看，概念形成的第一個階段即前概念階段是根據已知進行操作的、作為過程的階段.而到“變量對應水平”是從“操作性概念”到“結構性概念”的轉變，其特征是：以前是禁止的，現在是有用的，但其使用仍然存在爭議，這個過程是對概念進行新的抽象性的構建，屬于第二階段即長時間的以操作為主要方法的階段，需要在教學中引導學生反復操作與理解.“集合變量水平”更加偏向于“結構性概念”，可看作是第三階段即結構階段，這是更高級的新的成熟的數學對象產生的階段，但該階段很難達到，甚至學生在中學階段的學習結束后都無法達到.

基于以上的討論，學生對于函數概念的理解水平的變化得到了進一步的論證與解釋.

6 結論與啟示

根據以上結果，可以獲得如下結論: 從總體上看，經過HPM視角下的函數概念教學，學生對于函數概念的理解水平有所提升. 除去不能顯示出學生理解水平的答案，發現課前大多數學生對函數的概念理解是處于解析式水平和變量依賴水平，而課后大多數學生的理解水平提升到變量對應水平，少數學生達到了集合對應水平，但仍有部分學生處于解析式水平和變量依賴水平，無效答案也有所減少. HPM視角下的函數概念教學對學生理解的影響因素包括四個階段的函數定義、狄利克雷函數及其文氏圖表示. 對函數歷史及其教育意義的研究說明了函數概念經歷了不斷完善和抽象的過程，函數的歷史有助于教師在恰當的時機讓學生接受合適的函數定義[32-33].

基于以上結論，可以得到以下啟示:

6.1 參照歷史坐標，理解學生水平

學生答案所表現出他們對函數概念的理解水平與函數概念的歷史水平存在相似性，并且學生對函數概念的理解水平的發展與其歷史水平的發展也具有相似性. 但學生的認知基礎以及學習環境是不同的，教學中應因勢利導，因材施教，將歷史作為理解學生認知水平的參照系，而非照搬歷史.

根據課后學生理解水平的結果，發現學生對函數概念的理解是存在困難的. 歷史上函數概念的發展經歷了200多年，掌握一定的數學史知識有助于教師預測學生的學習困難[34]，讓學生在短時間內理解新的函數概念是不現實的，這需要教師給予學生足夠的耐心和時間來幫助他們.

6.2 尋找歷史動因，跨越認知障礙

歷史上函數概念的每一次演進，背后都有其相應的歷史動因，從函數的解析式階段到變量依賴階段，背后是歐拉等數學家對振動弦問題的思考和討論，從變量依賴階段到變量對應階段，涉及狄利克雷對函數“任意性”的認識，從變量對應階段到集合對應階段的轉化涉及布爾巴基學派對數學基礎的思考.

在函數概念的教學中，需要透過函數概念的發展階段，找到這些歷史動因，將其由數學發展史中的“原初性問題”轉化為課堂教學中的“本原性問題”[35]，將歷史上推動函數概念發展的函數例子設置成環環相扣的問題串， HPM視角下的教學對函數理解水平變化的影響因素顯示，這些問題串可以幫助學生跨越障礙，達成對函數概念的深入理解.

6.3 依據歷史階段，編制研究工具

隨著數學史融入數學教學受到越來越多數學教育研究者的重視，需要更多的實證研究證據說明數學史在數學教育中的作用[36]. 為了進一步規范研究方法，需要基于一定的理論基礎，開發合適的研究工具.

在HPM視角下數學概念教學的課堂效果評價方面，可以通過劃分數學概念的歷史發展階段制定學生數學概念理解水平，從而編制適當的問卷以及訪談提綱，檢測學生在理解水平的變化并探明其影響因素，最后建立依托實證研究的HPM視角下數學概念教學的課堂評價效果評價體系.