數列教學中的數學思想之光

張蜀青

(廣州市執信中學 510642)

1 引言

等差數列和等比數列是中學數學中最常見的兩類數列，不少教師在課堂教學中常常通過一些現實情境、物理常識或者傳說引入相關概念．例如在介紹等差數列時，教材通過會場座椅的排列規律引入等差數列的概念，在介紹等比數列時，有些教師通過傳說中的國王與數學家(也有說是棋士、年輕人等)以稻谷為賭注下棋的故事引入等比數列．然而，這些情境對于激發學生思考似乎并未產生預期的作用，因為它們并不能反映出等差數列與等比數列深刻的思想內涵．國家課程標準強調數學教學需要密切聯系生活，這一理念充分體現在教材中．課程標準也強調數學思想的滲透與學生的數學素養與數學思維能力的提升，這從六大核心素養的提出可見一斑．因此本文通過等比數列求和公式的教學，說明數學課堂中如何在尊重教材的基礎上重組內容，充分體現等比數列求和公式的重要性，進而滲透數學思想，為后續的學習做好鋪墊．

2 等比數列求和的案例設計

“等比數列的求和公式”一直以來是公開課、說課比賽、教學設計比賽的選材熱點．而無論是現實生活還是數學，等比數列都隨處可見，例如銀行貸款本息的計算便與等比數列有關，物理上原子核的裂變過程也是個等比數列．因此課堂教學中以生活情境為出發點還是以數學情境為出發點并無一定之規，教學過程自然流暢、學生不感到突兀即可．

從純數學推導過程看，等比數列求和公式并不難，難在如何讓學生知其所以然．通常純數學的表述是這樣的：

設an=a1qn-1，n∈N，試求{an}的前n項和Sn．

單純從傳授知識的角度推導求和公式并不難，事實上，記

Sn=a1+a2+…+an，

(1)

在Sn的兩邊同時乘以公比q得

qSn=a1q+a2q+…+anq

=a2+a3+…+an+1，

(2)

將(1)與(2)兩式相減得

(1-q)Sn=a1-an+1.

此處需要討論q是否為1，如果q≠1則有

學生并不難理解這個推導過程，如果按此方式展開教學，效率還特別高，因而被很多老師采用，還有的老師介紹了多種推導方法，甚至利用因式分解1-qn=(1-q)(1+q+...+qn-1)推導出這個求和公式．然而，這樣的教學設計存在幾個明顯的問題：1.公式的推導和前面的情境是什么關系？假如沒有關系，這個問題的情境設置目標是什么？2.為什么會想到乘以q再兩式相減？3.過度技巧化的推導方法不僅掩蓋了數列求和公式的本質，還可能引發學生的厭學情緒，喪失探究的好奇心．

教育的目的之一是激發學生的學習熱情，教會他們用數學家的眼光去觀察世界，而不是把數學家思考的結論告訴學生．所以課堂教學不應該僅僅停留在讓大多數學生知道怎么做，更重要的是讓大家知道為什么這么做，這或許也是課程標準強調教育要結合學生實際生活的原因之一．

而數列教學該從生活情境出發還是數學情境出發？我們在《問題驅動的中學數學課堂教學》[1]中提出了兩種方案，一種方案基于生活情境，另一種方案基于數學情境，從教學實踐效果的比較看，兩者并無本質區別．徐利治先生有一種觀點，他認為：“數學教育不妨純粹一點”(參見[2])．他的意思是，基礎教育階段主要是打基礎，學生到了大學可以根據就讀的專業再學習如何用數學．雖然不能完全茍同徐先生的觀點，但創設情境的確不能為了生活化而生活化．

等比數列在我國古代數學中也不罕見，古人云：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，這段話雖然表達的是極限概念，但一尺長的棍子按上述方法逐段截取后得到的便是一個等比數列．因此，等比數列求和公式的教學也可通過對該問題的改編層層深入地展開．

問題1一尺之錘，日取其半，到第n天一共截取了多少？

日期12…n每天截取的長度1214…12n

問題2一尺之錘，日取其q(0

分析：每日截取原來的q(0

日期123…n每天截取的長度q(1-q)q(1-q)2q…(1-q)n-1q

則第n天截取之后截取的總長度為

q+(1-q)q+…+(1-q)n-1q，

這個和就具有一般性了，比問題1復雜了許多，但仍然可以采用逆向思維的方法尋求解決的方法．既然是每日截取原來的q(0

日期12…n每天截取后剩余的長度1-q(1-q)2…(1-q)n

由此可得

q+(1-q)q+…+(1-q)n-1q=1-(1-q)n.

顯然這個結論適用于任何q(0

如果將1-q換成q，則q也在0與1之間，上式轉換成

(3)

有了問題2做基礎，就不難拓展到公比q為一般實數的情形了：

問題3(3)式中的q是否對任意正實數都成立？

這里唯一需要啟發學生的是，q>1如何轉換為0

(4)

及

不難得

而對于q=1，問題是平凡的，學生很容易搞清楚，只需在(4)進行計算時提醒一下分母不能為0．而到問題3還沒有把q所有可能的值都考慮到，還需要討論q<0時的情形.

問題4假如q<0，等式(1)仍然成立嗎？

既然學生能懂得當q>1時，取其倒數取而代之，也自然不難明白當q<0時應該用-q取而代之．在此基礎之上，回到開始的問題可得一般等比數列{an}的求和公式：

Sn=a1+a2+…+an

至此，一般等比數列的求和公式的推導便大功告成了．

與傳統的教學方法相比，上述一系列問題的設計是通過一些學生比較容易理解也方便計算的問題，逐步引導學生發現規律并最終得出求和公式，這里的問題與公式的推導過程是融為一體的，通過特殊的數列幫助學生捕捉到求和公式的信息并逐步得到一般等比數列的求和方法，整個過程一氣呵成，形成關于等比數列求和的一個完整認知鏈，不存在情境與公式推導之間邏輯關系脫節的現象．因此教學過程中情境的創設與問題的解決應該是相呼應的，不能讓情境與數學成為沒有邏輯關聯的兩張皮．

3 拓展——現代數學思想之光

基礎教育改革進行了很多年，其中一個重要的改革內容是將一部分原來在大學階段學習的內容“下放”到了中學，讓學生初步領略現代數學的魅力，這是必要的，也是國際基礎教育改革的趨勢．然而，從某種意義上看，數學思想的滲透也許比下放部分數學內容更重要，這種重要性主要體現在兩個方面：

(1)思想方法是根本，學習數學知識的最終目的也正是為了掌握數學的思維方法；

(2)通過現代數學思想的滲透，讓學生體會現代數學思想的智慧之光，待到他們進入大學，重溫這種思想時可以更深刻地理解晦澀的數學內容，從而做到基礎教育與大學教育之間的無縫銜接．

等比數列作為一類特殊的數列在數學中的應用是司空見慣的，例如阿基米德為了計算拋物線與直線y=x所圍圖形的面積，構造了一個特殊的等比數列，成功地計算出了這個圖形的面積，這也是積分理論早期的萌芽，教師在講授定積分理論時完全可以通過阿基米德的算法切入到定積分的定義．等比數列的應用遠不止于此，在現代數學中也是經常使用的．例如，著名的康托爾三分集就需要等比數列來計算其測度．康托爾集是現代分形幾何中出現的第一個分形集，很多分形集的構造都是基于和康托爾集類似的構造．作為等比數列的拓展，完全可以在課堂上作為一個重要的例子讓學生了解這個集合構造的過程．

例1一尺之錘，日取其中段三分之一，第n天取下多少？

這里需要幫助學生搞清楚“日取其中段三分之一”是什么意思，第一日取中段三分之一，留下來兩根長度為三分之一的棍子，所以第二日所取是每根棍子中間的三分之一，于是第二日留下了四根棍子，以此類推．這里實際上涉及到了兩個等比數列，一是每日留下來的棍子個數，二是每日截下的棍子的長度，如下表：

日期123…n每天取的長度1319×2=132×2133×22…13n×2n-1

顯而易見，每日截下來的棍子長度構成一個等比數列．根據上表可知，到第n天截下的棍子總長度為

剩下的長度為

這個例題如果僅僅用來實現鞏固運用的目的，這節課還是難以展現現代數學的魅力．因此不妨針對這個例子，結合前面的問題進一步提出一些拓展性的問題．

問題5如果日取其中段三分之一的過程不斷持續下去，最后留下了多少？試與問題1比較一下．