近五年高考概率與統計試題的統計與分析
——以全國Ⅰ卷(理科)為例①

廖藝捷 朱展霖 胡典順

(華中師范大學數學與統計學學院 430079)

1 問題提出

概率與統計是《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下簡稱“2017年課標”)中的主題之一，其蘊含著抽樣思想、統計推斷思想、隨機思想[1]、小概率思想以及誤差控制思想等，是考核學生數學核心素養的重要媒介．這類問題與現實生活之間的聯系較為緊密，解決相關問題需要經歷問題情境的數學化、模型的建構、數據分析、數學運算、還原為現實問題的解等步驟，是學生數學建模能力的重要體現；另一方面，統計試題中有時會出現大量的數據，需要依據題目要求對數據進行合理的篩選和處理，對于學生的數據分析、數學運算能力要求較高．

近幾年的概率與統計試題形式多變，頗具創新性，使得不少一線教師難以把握高考復習的方向．鑒于全國Ⅰ卷使用地區較多，具有較強的代表性，因此本文以全國Ⅰ卷(理科)為例對其概率與統計命題特點進行分析，有利于清楚地把握高考的考核方向，以更好地輔教導學，同時也可以為其他內容領域的高考命題研究提供參考．

2 研究框架

本文采用定性和定量研究相結合的研究方法，從情境領域、知識點、數學思想方法、綜合難度四個維度對試題進行統計和分析，以便于進一步得到概率與統計試題的命題特點．在統計編碼過程中，作者經過和相關專家進行多次討論后確定統計結果，以確保統計數據的準確性．

2.1 情境領域

概率與統計試題相較于其余內容領域的試題而言具有鮮明的情境性，要求學生能夠從復雜的問題情境中抽象出數學問題，并建立數學模型進行解決，最終將數學問題的解還原為現實問題的解釋或決策．本文依據2017年課標中對于情境的維度劃分(科學情境、數學情境、現實情境)[2]進行問題情境的統計和分析．

2.2 知識點

對于考查知識點的梳理有利于把握核心知識點，明確考試重難點.由于2020年沒有單獨編寫高考考試大綱，而是繼續沿用2019年的高考考試大綱，且僅在此基礎上作部分修訂：提出增加基礎性、綜合性、應用性、創新性的能力要求；增加數學文化內容；但考試大綱未對具體考點進行修訂[3]．為便于統計，本文在參考2019年高考考試大綱的基礎上，對概率與統計部分的考點(共8個一級考點，22個二級考點)進行編碼，具體內容如表1所示：

表1 2019年高考考試大綱概率與統計部分考點編碼

續表

用字母表示一級考點，數字表示二級考點.例如A1表示簡單隨機抽樣，B3表示用樣本的數據特征估計總體.部分題目除了以上涉及的主要知識點外還融合了其余內容領域的知識點，但由于數量較少，因此未對其進行單獨的編碼，而是直接在后續具體分析的表格中列出．

2.3 數學核心素養

數學核心素養是具有數學基本特征的思想品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現[4].在高考逐漸從“知識立意、能力立意”向“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”轉變的總體趨勢下[5]，數學核心素養越來越展現出其在人才培育方面的重要價值.相較于其余知識領域而言，概率與統計所蘊含的數學核心素養更為豐富，且存在一些細節上的差異，例如傳統內容主要是在定義、假設基礎上的演繹推理，概率與統計內容是在個體的基礎上進行的歸納推理[6]，本文依據2017年課標中對于核心素養的維度劃分(數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析)[2]進行試題的統計和分析．

2.4 綜合難度

試題難度也是試題的重要特點之一．對于試題難度的分析，較多學者采用鮑建生綜合難度模型，該模型涵蓋“探究”“背景”“運算”“推理”“知識含量”五個難度影響因素[7]；武小鵬指出，在標準化測試中該模型的應用效果存在欠缺，因此他在鮑建生綜合難度模型基礎上進行了改進，增加了“是否含參”和“思維方向”兩個維度．鑒于對綜合評價模型維度的全面性和合理性的考慮，本文采用武小鵬構建的綜合難度模型進行試題難度評估，具體等級劃分見表2[8]．

表2 難度因素等級劃分

3 特點分析

考慮到非解答題(包括選擇題和填空題)與解答題在考查重點及考查方式上通常存在一定的差異，故本文分非解答題和解答題兩類進行2016-2020高考數學全國Ⅰ卷(理科)的概率與統計試題命題特點分析．

3.1 非解答題命題特點分析

依據本文第二部分構建的研究框架，對2016—2020高考數學全國Ⅰ卷(理科)非解答題部分的概率與統計試題進行統計，具體內容如表3.

表3 2016—2020年全國Ⅰ卷(理科)概率與統計試題非解答題統計

由上表可知，近五年概率與統計非解答試題的問題情境以現實情境為主，數學情境和科學情境較少．這充分體現出概率與統計研究與現實應用的緊密關系，尤其在當今數據化時代背景下概率與統計理論與應用研究凸顯出巨大價值．為了體現概率與統計在人類文明的發展中所具有的重要作用，近五年高考數學全國Ⅰ卷(理科)將概率與統計命題與人文藝術、社會發展、科技創新等多個領域相互滲透，展現出概率與統計領域所獨具的理性之美．例如2018年第3題充分彰顯了數據統計和分析對于明確新農村建設成果在各個領域的變化趨勢研究中的重要價值，在幫助學生感受數學之美時，更弘揚了一種應用數學知識解決實際問題從而服務社會的責任和擔當意識；2019年第6題將文理相互交融，既展現了中華民族傳統文化之魅力，又凸顯了深度思考之理性，是數學高考改革趨于文理不分科的初步實踐．

從知識點統計維度來看，概率與統計非解答題通常只考查1—2個知識點，且考查水平以理解和簡單應用為主，部分題目中還融入了函數、幾何等知識點．在近五年間呈現出明顯的變化趨勢，2016—2018年全國Ⅰ卷(理科)選擇題均考查了幾何概型這一知識點，而該知識點在近兩年均未考查，更加偏向于對數據分析、數學抽象等能力的考查，這一定程度上反映了高考目標逐漸從知識的考查轉向能力的考查的變化趨勢．

就非解答題中數學核心素養的融入而言，從以上統計結果可以看出近五年數學全國Ⅰ卷(理科)中的概率與統計領域命題涉及對學生數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模、數據分析等核心素養的考查．尤其在2020年的命題設計中，數據分析這一能力素養的考核在概率與統計題目中得到了落實，這在一定程度上體現出高考數學命題順應時代特征的趨勢．例如在2020年全國I卷第5題以溫度與發芽率關系這一科學背景作為問題情境，考查了學生對現實問題進行數學抽象從而進行模型構建的能力，并在問題解決的過程中讓學生感受到了回歸方程在實際生活中的價值.

為研究近五年的題目難度變化特征，對同一年出現多道非解答題的難度進行平均，并繪制折線圖如圖1，其中參考線為五年試題的平均難度0.57，由圖可見除2018年、2020年難度略有提升，其余各年難度呈現下降趨勢，且均位于五年平均水平之下.難度系數的偏度值為1.279，故數據呈現明顯的右偏態，表明概率與統計非解答題的難度偏低，即試題中概率與統計以基礎題為主．其中2018年第10題難度系數最高，達到0.70．仔細分析其各個難度因素可知，其問題情境為數學情境，不需要學生對現實情境進行抽象，但需要學生仔細分析各個圖形之間的面積關系，設出直角三角形三邊長度并表示出各個部分的面積，進一步基于面積關系得到概率關系．其難點主要在于運算過程中含有參數，故對數學運算的水平要求較高．單獨從概率與統計的維度來看，幾何概型在解題中所占的比重并不高，其考查水平也相對較為基礎．

圖1 非解答題難度趨勢

3.2 解答題命題特點分析

依據第二部分構建的研究框架對2016—2020高考數學全國Ⅰ卷(理科)解答題部分的概率與統計試題進行統計，具體內容如表4.

表4 2016—2020年全國Ⅰ卷(理科)概率與統計試題解答題統計

續表

在解答題部分，問題情境以現實情境為主，含有少量的科學情境．從對具體題目的相關統計分析可以看出，近五年非解答題的問題情境設計逐漸貼近學生日常生活，充分順應了學生的心理認知發展規律．例如從產品的包裝和加工生產到研制藥實驗，再到羽毛球賽制，數學問題解決與社會、經濟、科技等各方面的發展充分融合，有助于學生理解題目中的信息，并有利于促進其將更多的注意力集中在問題解決上．另一方面，基于學生已有認知水平的問題情境設計也可幫助學生切實感受到概率與統計相關知識在生活中的應用價值，從而提升數學學習興趣并認識到數學學習對未來發展的重要意義．

相較于非解答題而言，解答題所考查的知識點更多，通常涵蓋3—5個知識點，水平多為應用和分析，在部分試題中融入了函數中的部分知識點．從表4的統計數據可以看出，其中的高頻考點為D3、G2、B3，但在近兩年的試題中所考查的知識點不盡相同，知識點數量也相對減少，且近兩年的命題設計中考查的知識點更加隱蔽，即未告知求解問題的方向，而更加偏向在復雜情境中考查學生的數學建模能力．

就解答題在問題解決過程中所需的數學核心素養來看，每一個問題的解決過程中都涉及了多種核心素養的綜合運用，且命題中對應素養的考查水平均在2—3等級之間，幾乎所有的題目都需要將現實問題抽象為數學問題，并在此基礎上對數據或者其他已知條件進行建模，再通過一定的邏輯推理對問題進行轉化．例如用樣本數據估計總體數據，用先驗概率推知事件發生概率等．以2020年第19題為例，以學生日常生活中非常熟悉的羽毛球比賽情境作為問題背景，要求學生將其中的關鍵信息用數學語言予以表征，討論事件可能出現的情形，對數學抽象、邏輯推理和數學建模素養要求較高.

為檢驗解答題與非解答題難度上是否有顯著性差異，進行獨立樣本t檢驗可得，概率與統計解答題難度顯著高于非解答題(P=0.000<0.05)，非解答題的平均難度為0.79，其中2019年第21題難度最高，為0.89．為研究近五年的解答題的難度變化趨勢，進一步作出折線圖如圖2所示，由圖可見除2018、2020年難度略有下降外，題目難度總體呈現上升趨勢，這表明在解答題部分對概率與統計要求上升．仔細分析解答題的各個難度因素，可分析出其難度較高的原因主要有以下幾個方面：

圖2 解答題難度趨勢

①存在逆向思維．由于在列舉事件可能發生的情況時極容易存在遺漏或重復，因此正難則反這一解題策略在概率與統計這一知識領域中顯得尤為的重要．例如2020年第19題第二問中，直接討論進行五場比賽的概率相對較復雜，就需要從事件的反面來考慮，即只需賽四場的情況；2017年第19題第一問若直接計算16個零件中尺寸在規定區間外的個數大于等于1的概率，則需要對零件的故障個數進行分類討論，而若從反面則直接利用獨立事件的概率計算公式即可解決.

②含有參數．在近五年的解答題中有四道題均含有參數，一類參數來源于分布中的參數估計值，另一類則是題目中設置的參數．第一類如2017年第19題，其中含有正態分布的均值方差等參數，雖然參數對于解題的影響不大，但一定程度上會增加學生對于題目的恐懼心理；第二類如2019年第21題，由于第一問中未給出兩種藥治愈率的具體數值而需要進行一定的符號運算，第二問雖然直接給出兩種藥的治愈率數據，可代值計算出a,b的值，但又出現了新的參數pi，而導致其推理過程變得較為復雜.

③綜合性較高．既表現在涵蓋知識點的豐富性，又表現在與函數、數列等跨章節或醫學、工程學、物理的跨學科的知識上的交互性．在各章節的學習中常常集中于某一知識點，有助于知識點的深度理解，但是實際的問題解決卻比教學中的出現的問題復雜得多，往往不是某一個知識點就能夠解決的，而是需要綜合多個知識進行分析．因此這種綜合性的提升是解決現實問題的必然要求，也可為學生更好地融入和適應社會提供幫助．

4 教學建議

(1)豐富情境設計，拓展學生認知廣度

概率與統計的內容及思想推動著人類文明的發展進程，其應用是無處不在的．這為在教學中需創設合適的問題情境提供了極大的便利——既可以在所處的時代中挖掘具有時代特色的素材，也可以從歷史中挖掘具有人文氣息的素材；既可以是來源于數學的問題，也可以是來源于其余學科領域的問題；既可以以中國的傳統文化為背景，又可以以全球多元文化為背景．從不同的問題情境出發，幫助學生感受到概率與統計的獨特魅力，體會其蘊含的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值[2]．但情境設計的豐富性并不是無限制的，也需要結合學生的認知能力和認知方式選取一些學生熟悉的或感興趣的生活材料，在學生的最近發展區進行適當地延伸和拓展．

情境的真實性也是情境創設是否合理的重要判斷依據，真實的問題情境有助于學生數學抽象、數學建模素養的發展，由于概率與統計相關知識不同于其余內容領域的知識，其靈活性較大，數據分析的維度和模式并不是固定的，因此教師也可以適當地給予學生一些機會根據情境提出相關問題并進行解決，并鼓勵學生比較和分析不同解決方式的優劣．

(2)整體把握知識，構建完整認知圖式

知識本身具有多維性，如果僅將目光局限于高中教材的某一章節則會導致知識失去其本來的色彩．F.克萊因認為優秀的中學數學教師應當站在更高的視角去審視和理解初等問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單[9]．高中階段概率與統計中的部分概念并未給出準確的定義，例如將概率中的樣本點與統計中的樣本混為一談，但結合概率論相關知識即可知兩者在本質上存在一定的區別，而理解清楚這一概念是理清概率與統計之間關系的重要一步；其次，高觀點也為解釋一些高中階段的問題提供了一些途徑，例如2019年的第21題如果將其過程理解為帶吸收壁的隨機游動問題，則其解決過程會更加直觀易懂．

此外，隨著高考改革的逐漸推進，對于學生的綜合應用能力的要求會越來越高，這就要求教師要在教學內容中適當地融入一些其他知識領域的內容，并啟發學生關注到不同知識的這種關聯性，構建完整的認知圖式，以促進對于知識的全面認識和把握．

(3)打破思維定勢，滲透數學思想方法

一方面，由于概率與統計試題相較于其余內容領域的題目而言閱讀量和信息量偏大，因此學生可能遺漏一些關鍵信息或者理不清楚題目意思，為幫助學生理解題意尋求問題解決方法，教師可在相關教學中引導學生對問題進行不同維度表征，例如將題干中的數據或文字用一定的圖表來加以呈現，從順向和逆向進行思考等，打破學生的固有思維，以培養學生的發散性思維．

另一方面，由于課時的限制，高中階段的教材中概率與統計部分以案例為主，導致許多學生只能機械地模仿進行解題，而并不理解為什么要這樣建立模型或者分析數據，從而導致在命題不再按照固定的模式出現時學生無從下手．為改變這一現狀，教師可在教學中給予學生更多的思維空間，讓學生經歷包括數據收集、數據處理、數據分析等問題解決的全過程，并在這些過程中逐漸拓展學生的思維廣度和深度．尤其注重滲透概率與統計內容中所特有的一些數學思想方法，例如隨機思想與學生一直以來所學習的確定性思想在很大程度上存在差異，尤其在當今時代背景下，這一思想對學生適應社會發展具有重要影響．因此教師應在相關問題中滲透這一思想并重視評估學生在解決現實問題的過程中是否進行了準確表達或推理．

(4)重視知識本質，挖掘數學教育價值

數學高考命題不僅是為了考查學生數學知識技能的掌握程度，更重要的價值在于能夠引導學生在數學知識的學習過程中深入體會其中蘊含的數學思想方法及其本質內涵，并為學生樹立正確的數學學習觀和人生價值觀指明方向．尤其在當今大數據迅速發展的時代背景下，基本的知識和技能傳授已經不能滿足培養社會未來優秀人才的需要．而只有從“授人以魚”向“授人以漁”的方向轉變，從強調解題技巧過渡到在解決數學問題的過程中啟發學生領悟其中蘊含的智慧源泉，才能真正讓學生的數學核心素養發展得以落地生根．

概率與統計作為學生適應大數據時代的必備知識，同時也是數據分析、數學建模素養的重要載體，為了確保所有的學生都能樹立一定的概率意識，科學地看待事件的發生情況以及事物之間的變化，教師應在相關教學中要重視對于核心概念、方法的本質揭示，引導學生認識到知識所蘊含的思想內涵．在命制相關試題時，逐漸從簡單情境到復雜情境，從單一知識到綜合應用，從正向思維到逆向思維進行過渡，循序漸進地提升學生相關知識的應用能力．