用高考原題來組織課堂生成性片斷教學①②
——以2020年山東卷解析幾何試題為例

李紅慶 黃曉曉 喻 平

(1.海南華僑中學 570206；2.南京師范大學 210097)

2020年高考山東卷第22題，是繼2019年全國Ⅲ卷考了圓錐曲線的一個通性：圓錐曲線C的準線l上一點D，自點D向C引兩條切線DA，DB，那么切點弦AB過準線l對應的焦點，今年又考了圓錐曲線的另一個通性：圓錐曲線張角成直角的弦所在的直線過定點，即簡稱“張角成直角，弦過定點”．

在高考原題的啟發下，教師應該引領高三學生去挖掘圓錐曲線的各種通性這一寶藏，因為這些圓錐曲線的通性都是人類科學智慧的結晶，所以挖掘寶藏需要倡導，需要傳承．僅以刷題為目的組織教學，教學效果未必有成效．筆者認為應該借用高考原題來組織課堂生成性片斷教學，每個片斷都有生成性學生核心素養的目的，要建立片斷間的內在聯系，并且片斷的切入點源于學生的通常思維，教師的責任是引領學生進行深層次的思考，找到解決問題的方法與手段．現僅以2020年山東卷解析幾何試題為例，談談借用高考原題來組織課堂生成性片斷教學．

1 通性簡介與證明

設點A(x0,y0)是圓錐曲線C上一點，如果C的弦AM，AN滿足∠MAN=90°，那么直線MN過定點R．

若C：y2=2px(p>0)，

則R(2p+x0,-y0)．

證明(片斷教學設計)

僅證明橢圓C的情形：不失一般性，設直線MN的方程為y=kx+m(y0≠kx0+m)，M(x1,y1)，N(x2,y2),

(通常情況下是證明一般性情況，檢驗斜率不存在的特殊性情況)

得(b2+k2a2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，

依根與系數關系，

(1.1)

(1.2)

因為∠MAN=90°，于是

=(k2+1)x1x2+(km-ky0-x0)(x1+x2)

(1.3)

(a2+b2)m2+2(a2kx0-b2y0)m+(a2-b2)(kx0+y0)(kx0-y0)=0，

(1.4)

將式(1.4)分解因式，得

[(a2+b2)m+(a2-b2)(y0+kx0)][m-(y0-kx0)]=0，

解得

故直線MN的方程是

故直線MN經過點

若直線MN的斜率不存在時，不難檢驗結論也成立．

片斷教學設計分享圓錐曲線的通性都需要一般情形來證明，證明過程中都涉及純的字母算式的運算，考慮當前學生數學運算能力普遍偏弱，運算手段單一，培養學生數學運算能力這一核心素養就迫在眉睫.教師可以引導學生分析算式的歸宿，即以算式的歸宿作問題的驅使導向，這種運算技巧學生短期內掌握并不是很困難，關鍵是效果還非常好．

2 高考原題片斷教學

2.1 高考原題

(1)求C的方程；

(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

2.2 怎樣尋找定點

從培養學生的邏輯推理這一核心素養的角度思考，希望學生要了解“張角成直角，弦過定點”這一通性，但并不是希望他們牢記定點的坐標，而是要把學生的大腦空間更多地留給邏輯思考，可以通過特殊情形找到定點，然后證明一般性．

真正解題過程中，可以先通過草紙驗算得到定點的位置，再根據題意選用恰當的方法得到結果．

圖1

2.3 怎樣利用定點解題

2.3.1 設直線MN的一般性方程

設直線MN：y=kx+m(2k+m≠1)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，D(x0,y0)，

得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-6=0，

依根與系數關系，得

于是

即得(3m+2k+1)(m+2k-1)=0，

圖2

上述方法是充分利用了定點R和平面幾何的性質，如果沒有注意到幾何意義，純代數方法也可以求解，下面設計沒有利用定點的片斷教學．

2.3.2 不利用定點的純代數方法

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

由式(1.7)、(1.8)，得

這個片斷設計是基于發現[(k2-1)+2k]2+[(k2-1)-2k]2=2(k2+1)2的導向，而通過代數發現規律，要比通過幾何性質發現規律往往要困難得多，當然如果沒有定點的問題驅使為導向，純代數計算也是天方夜譚.也可以把常量與變量換位思考，來設計片斷教學．

本題還可以這樣設計，點D在直線MN上，則y0=kx0+m，且k(y0-1)+(x0-2)=0，

(問題驅使導向是把常量看作變量)

由AM⊥AN，得3m+2k+1=0，即得

2.3.3 充分利用定點解題

片斷教學必須全方位考慮學生解題的各種切入的可能，解法不同，解題過程的難易差異很大，但這也不是絕對的，關鍵在于教師怎樣引領，運算手段怎樣選擇，下面解法的切入點是多數學生會選擇的，但如果沒有定點作為問題趨使導向，沒有整體思想，那么用這種方法解題，結果肯定是窮途末路．

設直線AM的方程y-1=k(x-2)，

得(2k2+1)(x-2)2+(4+4k)(x-2)=0，

直線MN的方程是

即得

教學反思這種方法是為數不少同學解題的切入點，課堂片斷教學是不能回避的，通過片斷教學設計，向學生滲透整體思想方法，引導學生分析多項式運算的歸宿，幫助學生養成關注定點的意識，如：多項式(2k2+1)(-k2+k)+(k2+2)(k+1)，算式的歸宿是一元四次多項式，打亂運算規則，分別算出四次項-2k4，三次項3k3，二次項0，一次項3k和常數項2．

2.4 參數方程與射影定理

從辯證法觀點來看，任何事物都有多種體現形式，這些形式都存在著內在的聯系，有些性質容易發現，有些性質不易發現，往往不易發現的性質，使用起來可能更簡捷．Rt△MAN內接于橢圓C，且點A為定點，AD⊥MN，容易發現的性質是射影定理．

設D(x0,y0)，直線MN的傾斜角為α，則直線MN的參數方程為

(1.9)

將式(1，9)代入C中，消去x，y得

(1.10)

又AM⊥AN，AD⊥MN，

由射影定理得|DA|2=-t1t2，

而|DA|2=(x0-2)2+(y0-1)2，所以

(1.11)

代入式(1.11)得

結束語高考試題是由命題專家命制的，它的科學性、示范性、經典性是不用質疑的．試題的各類解答專家心中都有數，但提供的解答必須是通性通法的解答．教師的教學就不限制于任何規定，可以充分挖掘各類解法，高三復習教學與其天天帶著學生刷題，倒不如利用高考經典試題設計各種片斷教學，來挖掘學生的潛能，激發學生的學習熱情，培養學生的學科核心素養，讓有限的課堂生成學生無限的能力，把數學教學提升到高層次的品味，讓中國數學走向世界．