初中生數學高階思維的結構模型①

周 瑩 林 毅

(廣西師范大學數學與統計學院 541004)

互聯網技術的高速發展、全球化進程的持續發酵等時代因素推進了學生對高階思維的需求，也促使高階思維能力成為21世紀人才成功的先決條件.通俗來說，高階思維是完成復雜任務、解決劣構問題的一種重要能力和心理特征，是21世紀的一種高級綜合能力[1].數學作為中學教育中的主要科目，是一門極具抽象性、邏輯性的學科，核心素養的倡導要求數學課堂需要涵蓋高階思維的深度學習.通過高階思維的參與，幫助學生超越灌輸型的數學知識學習，深入挖掘數學知識的本質內涵，轉向有意義構建的數學思維學習.然而，數學教育中大部分學生的思維層次處于低層次或中等層次，在數學學習中他們拘囿于定向思維、正向思維等單一思維方式思考問題，習慣于思維定勢及循規蹈矩，拘囿于解決常規數學問題，卻不善于解決復雜性、開放性的問題情境[2] [3] [4].就以“青浦實驗”經驗為例，研究組成員前后相隔17年對同為初中二年級的數千學生進行數學認知水平測試，測試顯示，經歷數學教學改革以來，學生的數學認知能力在前三個水平(操作性記憶水平、概念性記憶水平與說明性理解水平)都有顯著提升，然而在最高水平——探究性理解水平并沒有太多變化.此外，研究組成員還發現數學教師的課堂教學理念也明顯從“重概念取向”轉向“重概念兼顧能力取向”，強調高層次思維技巧和創造性思維技能成為數學課堂的主流思想.“青浦實驗”雖是中國數學教育的一個縮影，其中折射出的問題卻是國內數學教育者都應思考的，如何打破數學高階思維發展的僵局？這也是生發本文研究靈感的啟迪器，自認識到數學高階思維的重要性及其匱乏困境，本文從探究初中生數學高階思維的評價結構模型構建及測量兩方面出發，以期深入認識數學高階思維的內在結構機制，為數學高階思維培養目標“落地”課堂教學提供參考與借鑒.

1 數學高階思維結構的研究假設

為探究數學高階思維的結構模型，本研究采用文獻梳理及實證檢驗的混合研究范式，即從國內外數學高階思維的相關研究成果中梳理其結構共性特征，結合我國數學教育特點提出數學高階思維的結構模型假設，再佐以問卷調查形式驗證其模型的合理性.

1.1 數學高階思維的內涵

國內外學者對數學高階思維的內涵認識多從其思維過程的角度出發.譬如，Klum(1990)提出，高階數學思維過程包括所有不僅僅涉及記憶和模仿的信息活動，還包括信息的變化與重構，它具有復雜性、解法和應用標準不唯一等特點，另外整個思維過程還需耍思維者的自我監控，并設計一些詳細的解釋和判斷過程[5]；David Tall認為高層次數學思維都應含有兩個特征：思維對象包括嚴謹的數學定義，思維過程包含數學定理與命題的邏輯演繹，它在數學學習中表現為學習者對數學思維對象理解的透徹和精確性，并能按照數學的方法和規則進行合理嚴密的邏輯推理，具有較強的數學問題解決能力[6]；Sophocleous和Pitta-Pantazi(2015)基于整體化思維模型，認為數學高階思維整合了基本數學知識、批判性思維、創造性思維和各種復雜的思維過程[7]；許禮光和沈瓊認為高層次數學思維是一種綜合性思維過程，常發生在元認知、問題解決、應用與創造性活動中，學生的思維經歷聯系與轉化、抽象與擴展、批判與監控的過程[8].盡管學者們關注的數學高階思維過程皆略有不同，但其中均有涉及共通的一般性高階思維技能在數學學習領域中的表現，如問題解決能力、批判性思維、創造性思維及元認知能力.基于上述，本研究從思維過程方面闡述數學高階思維的概念界定，即數學高階思維是指在數學知識學習過程中，順利運用批判性思維、創造性思維、問題解決及元認知能力為核心的高層次認知過程進行心智活動的綜合性能力.

1.2 數學高階思維的結構模型構建

綜觀數學高階思維的本土化研究，學者們鮮少細致探究數學高階思維的結構成分，多是以移植一般性高階思維的結構框架或是單獨研究數學高階思維的某一特殊思維.譬如，張紅霞、劉妍均以布盧姆認知目標分類學為基礎，將分析、綜合、評價和創造定為數學高階思維[9] [10].在數學課堂教學中，培養學生的高階思維能力是重要任務，也是課堂教學的重點問題[11].為方便教師在教學實踐中展開對數學高階思維的專項訓練與培訓，本文主要從數學高階思維的主要子能力著手研究，以實現子能力的平衡發展推動數學高階思維能力的整體提升.

就高階思維能力要素的角度分析，研究者一般枚舉高階思維的主要分類，將復雜的高階思維體系化為某幾種認知能力的集合體，重點關注具體思維的認知過程.譬如，Lewis和 Smith(1993)提出，高階思維包括批判性思維、問題解決、決策、創造性思維四種關鍵能力[12]； FJ King(1998)認為高階思維能力是包括批判性思維、邏輯思維、反省思維、元認知和創造性思維的思維技能集合[13]；鐘志賢教授(2004)認為高階思維能力是指問題求解、決策、批判性思維和創造性思維能力[14]；黃國禎(2014)結合21世紀新時代對人才的要求，總結歸納出高階思維的能力框架，包括：復雜問題解決能力和批判性思維能力、協作和溝通能力以及創造性思維能力[15].歸納以上國內外學者的研究成果，就如Udall與 Daniels(1991)所言，高階思維至少包括三種思考，分別是批判思考、創造思考與問題解決[16].借鑒一般性高階思維的結構共性，并突出在數學高階思維過程中思維者的自我監控調節作用，本文以數學批判性思維、數學創造性思維、數學問題解決能力、數學元認知能力四條主線構建數學高階思維的結構機制.問題是引發高階思維過程的起點，因此，數學問題解決能力是高階思維運轉機制的基石，批判性思維和創造性思維作為兩條主線貫穿在高階思維認知過程中，而數學元認知能力作為上層建筑集中調控高階思維的運行過程.

其中，數學批判性思維從屬于批判性思維，引用李文婧的觀點，數學批判性思維是指在數學學習活動中有目的、有意識地對已有的數學表述和數學思維過程、結果作出自我調節性分析、判斷、推理、解釋和調整的個性品質[17].通常，學者們會采用加利福尼亞批判性思維傾向測驗(CCTDI)中對批判性思維的維度界定，即將批判性思維分為：尋找真相、開放思想、分析能力、系統化能力、批判性思維的自信心、求知欲和認知成熟度7個維度[18].數學創造性思維即指運用已有知識經驗，在創造想象的參與下，通過思維揭示出數學對象的本質，而且在此基礎上產生出某種新穎獨特的、前所未有的思維成果的過程[19].考量數學創造性思維的能力水平一般從數學問題的多解法任務(Leikin，2009)著手，即以流暢性、靈活性和新穎性考察學生的數學創造性思維表現[20].數學問題解決能力是反饋學生數學能力的重要指標，蔡金法提出，數學問題解決是指學生將他們的數學知識綜合應用于新的問題情境的能力，它要求學生能識別所遇到的問題，能判斷這些問題的條件是否完備，并能根據已知條件構造和選擇恰當的策略、綜合所學知識去解決所碰到的問題，同時能對解題過程及答案作出評價，判斷解題過程和答案的正確性[21].在此基礎上，結合徐斌艷、高翔對數學問題解決能力的分析框架，本文將從策略合理性、表達清晰性及答案正確性三方面考察初中生的數學問題能力水平.數學元認知能力是指以數學認知活動、進程、結果等為對象的認知，也是學生對自己的數學認知活動進行計劃、體驗、監控和調節的過程[22] [23].為凸顯數學元認知對數學認知活動的統籌功能，本文繼承卡瓦諾和柏爾馬特(Cavanaugh J C & Perlmutter M)的元認知結構三分法，將數學元認知能力分為數學元認知知識、數學元認知監控、數學元認知體驗三個維度[24].基于上述，數學高階思維的測量結構框架假設可呈現為“四維度十六因子”模型，如圖1所示.

圖1 數學高階思維的測量結構框架假設

2 研究設計

2.1 問卷的初步編制

所編初始問卷的題目來源主要有：加利福尼亞批判性思維傾向測驗量表(CCTDI)、姜玉蓮的“高階思維調查問卷”[25]、王光明團隊的“初中生數學元認知調查問卷”[26].在問卷的編制初期，根據初中生數學學習特點及數學思考規律，對上述問卷進行引用及改編，隨之結合廣西師范大學的3名數學教育學專家與桂林中學的2名數學教師的指導意見，修改及增添部分題項，形成了65道題目的問卷初稿.問卷分為五部分，一為基本信息；二為數學批判性思維分量表28道題目；三為數學創造性思維分量表12道題目；四為數學元認知能力分量表14道題目；五為數學問題解決能力分量表11道題目.問卷采用李克特五點計分法，選項從“非常符合”、“符合”、“不確定”、“不符合”、“非常不符合”分別賦分為5、4、3、2、1.以問卷總分為數學高階思維評價指標，分數越高表示數學高階思維能力越強.

2.2 樣本選取與調查過程

為了取樣的代表性和普適性，調查樣本分別從公立和民辦兩種學校屬性的初中隨機選取，其范圍囊括了初一至初三三個年級.整個調查取樣分為三個階段進行.

第一階段：預測.樣本取自桂林市的廣西師范大學附屬外語實驗中學、桂林市德智中學，共發放問卷304份，經剔除問卷答案呈規律性、統一性、多選性以及大部分未作答的無效問卷，得到有效問卷270份，問卷有效率為88.82%.其中初一94人，初二98人，初三78人，男女比例為1∶1.177.該部分有效問卷數據經使用SPSS軟件進行項目分析及探索性因子分析，剔除部分問卷題項，檢驗數學高階思維的測量結構框架假設，以形成再測問卷.

第二階段：再測.樣本取自桂林市的廣西師范大學附屬外語實驗中學、桂林中學、寶賢中學.共發放問卷987份，經剔除無效問卷，得到有效問卷910份，問卷有效率為92.20%.其中初一465人，初二301人，初三144人，男女比例為1：1.106.該部分有效問卷數據主要進行信效度分析，經驗證性因素分析及相關性檢驗來考察問卷的結構效度，以學業成績為校標考察問卷的校標效度，并以Cronbach α系數與分半信度同時表征問卷信度，進一步明確數學高階思維的測量結構框架，形成正式問卷.

第三階段：重測.該階段以正式問卷調查再測調查的部分學生.其中回收問卷160份，經剔除無效問卷，得到有效問卷143份，問卷有效率為89.4%.該部分有效問卷數據主要用以計算重測的Cronbach α系數以驗證問卷是否具有良好的穩定性.

3 問卷的預研究結果分析

3.1 項目分析

項目分析的主要目的在于檢驗編制的量表或測驗個別題項的適切性或可靠程度，其過程就是探究高低分的受試者在每個題項的差異或進行題項間同質性檢驗，其結果可作為個別題項篩選或修改的依據[27].本研究采取的項目分析手段分別是極端組比較法和同質性檢驗法.首先，將問卷中的反向題進行反向計分，并重新核驗輸入數據有無缺失值或是錯誤值.隨之，求出量表個別題項的臨界比值(critical ratio 簡稱 CR 值)，即以根據題項總分加以排序分為高分組(總分最高的27%)和低分組(總分最低的27%)兩組，對兩組進行獨立樣本T檢驗，刪除高低分組平均數差異檢驗未達0.05顯著水平且CR值小于3.000的題項，共2道(27、28).而后，求出題項總分與個別題項的相關系數矩陣，剔除顯著性(雙尾)p的數值大于0.05且相關系數小于0.3的題項，共6道(3、4、6、7、27、28).綜合項目分析情況，問卷題項由65道精簡到59道.

3.2 探索性因素分析

進行探索性因素分析的目的在于偵測量表的潛在結構，檢驗數學高階思維的測量結構假設是否合理，同時進一步縮減題項的數目.首先就理論結構四個主維度分別計算其KMO抽樣適當性參數與Bartlett’s的球形檢驗，根據Kaiser(1974)的評判標準，四個主維度的KMO值均在0.7上下區間，且χ2值顯著(p=0.000<0.05).KMO與Bartlett’s檢驗結果表明，四個分量表的KMO值在0.689至0.818之間，且χ2值顯著，表示問卷數據具有共同因素存在，適合于進行因素分析.緊接著，采取主成分分析法及最大方差旋轉法確定四個主維度的因素結構及各因素所含的題項數目，共同因素保留的判斷依據為因子數符合碎石圖檢驗、因素特征值大于1且至少包含3道題項、題項因素負荷大于0.5以及共同性大于0.2.根據上述原則對數據進行探索性因素分析，可剔除15道題項(8、9、12、17、25、26、29、36、40、44、48、49、50、54)，形成44道題項的再測問卷，探索性因素分析結果如表1-2所示.

在探索性分析過程中，由于數學批判性思維分量表的原假設開放思想與認知成熟度維度中僅含2道題項，不滿足共同因素保留原則，因此剔除這兩維度.經探索性因素分析可見，各分量表所萃取的公共因子累積解釋方差占總方差的百分比分別為65.443%、59.423%、52.422%、57.988%，均在50%以上，滿足方差百分比決定法的最低要求，說明所萃取的公共因素基本可以反映數學高階思維的潛在特質.綜合問卷四個主維度的探索性因素分析結果及問卷的理論構念，數學批判性思維分量表(共16項)的五個因素分別命名為：求知欲、分析能力、系統化能力、批判性思維的自信心、尋找真相；數學創造性思維分量表(共9項)的三個因素分別命名為：新穎性、靈活性、流暢性；數學元認知能力分量表(共9項)的三個因素分別命名為：元認知知識、元認知體驗、元認知監控；數學問題解決能力(共10項)的三個因素分別命名為：答案正確性、策略合理性、表達清晰性.因此，除了數學批判性思維的維度架構與假設有所出入，其他分量表的維度架構均與假設一致.

表1 數學批判性思維分量表與數學創造性思維分量表的探索性因素分析結果

續表

表2 數學元認知能力分量表與數學問題解決能力分量表的探索性因素分析結果

4 問卷的正式確定及結果分析

根據再測樣本(n=910)的有效問卷數據，再次使用極端組比較法和同質性檢驗法進行分析，結果顯示高低分組平均數差異檢驗均達0.05顯著水平且CR值大于3.000，題項與總分的相關系數均大于0.3，因此，無需進一步剔除問卷題項.同時，對再測樣本數據進行探索性因素分析，分析結果與預測樣本數據的問卷結構架構基本吻合，說明問卷因素確定合理.

4.1 結構效度分析

4.1.1 驗證性因素分析

為進一步探究數學高階思維問卷的因素結構模型是否與實際搜集的數據契合，以及指標變量是否可以有效作為問卷因素構念(潛在變量)的測量變量，利用AMOS 20.0軟件對再測樣本數據進行驗證性因素分析，其中，運用最大似然估計法(Maximum Likelihood)進行模型運算.根據相關文獻研究和探索性因素分析的結果建構，待驗證的因素結構模型有：模型一、數學批判性思維分量表的結構模型；模型二、數學創造性思維分量表的結構模型；模型三、數學元認知能力分量表的結構模型；模型四、數學問題解決能力思維分量表的結構模型；模型五、數學高階思維總問卷的結構模型.由表3所呈現的整體模型擬合情況檢驗結果來看，絕對適配度指數、增值適配度指數、簡約適配度指數均達模型可接受的標準，表示本研究所提的理論模型與實際數據是可以契合的，即模型一至模型五的外在質量佳，結構效度良好.初中生數學高階思維的整體測量結構模型由圖2所示，各測量項目在其所屬共同因素上的因素負荷量均在0.60-0.76之間，說明問卷結構清晰，本文的問卷結構模型設置較為合理.

表3 數學高階思維問卷驗證性因素分析的擬合指標

圖2 初中生數學高階思維的測量結構模型

4.1.2 相關性檢驗分析

除了驗證性因素分析，相關性檢驗分析也是問卷結構效度檢驗的一個常用方式，即通過SPSS軟件計算并比較問卷各主維度之間的相關系數及其與總問卷的相關系數.計算結果見表4，問卷各主維度的相關系數在0.392～0.572之間，處于中等程度的相關水平，而各主維度與總問卷的相關系數在0.710～0.889，相關水平呈現良好態勢.這說明問卷各主維度之間既相互聯系，也具備良好的獨立性，能客觀反映問卷所需測量的內容.

表4 數學高階思維問卷的相關性檢驗結果

4.2 校標效度分析

本研究采用高分組和低分組學生的數學高階思維差異分析作為數學高階思維問卷的預測效標.按100分制，通常以60分為及格線，則將學生的最近一次集體測驗的學業成績作為分組依據，高于60分記為高分組，反之為低分組.由獨立樣本T檢驗結果顯示，高分組學生在數學高階思維各因素得分及總分均高于低分組學生，且顯著性概率值P均小于0.05，這說明高低分組學生在數學高階思維及其各因素水平均在統計學上呈現顯著性差異；同時，由實際效果值Eta Squared統計結果可見，效果值均大于0.14，即表示學業成績與數學高階思維及其各維度在實際上呈現一種高度關聯強度.基于上述，數學高階思維問卷具有較高的校標關聯效度.經結構效度分析及校標效度檢驗可得結論，44道題項的再測問卷效度良好，可作為初中生數學高階思維測量的正式問卷施以調查.

表5 高低分組學生的數學高階思維差異分析

4.3 信度分析

所謂信度，指的是測驗工具所得結果的可靠性與穩定性.本研究對再測樣本數據(n=910)進行統計得出總問卷及各分量表的Cronbachα系數，同時就總問卷按奇數題或偶數題分割成兩個次量表，計算其折半信度，以檢驗問卷的內在信度；再而就重測樣本數據(n=143)進行統計得出重測信度，以檢驗問卷的外在信度.統計結果表明，總問卷的Cronbachα系數為0.924，分量表的Cronbachα系數在0.757～0.875之間，總問卷的折半信度為0.832，分量表的折半信度在0.668～0.815之間，由此可見，總問卷及分量表的內部一致性較高.在重測中，總問卷的重測信度達0.920，各分量表的重測信度0.750～0.837之間，說明測量問卷的穩定性較好，外在信度達標.

5 討論及結論

5.1 數學高階思維的結構

數學高階思維的測量是數學高階思維實證研究的重要組成部分，對客觀把握數學高階思維水平，深入探究數學高階思維的影響機制以及長遠性探索其培養策略具有重要意義.然而，現有數學高階思維的相關研究并不多，更缺乏科學高效的測量問卷對數學高階思維水平進行大規模的測評研究.在國內學者的認知中，數學高階思維應是多維結構的思維體系，然而由于研究者對其概念內涵理解、研究視角的不同，往往生發出不同的數學高階思維結構模型.譬如，周超的五維數學高階思維模型(深刻性、靈活性、獨造性、批判性與敏捷性)[28]、張紅霞的四階層數學高階思維模型(分析、綜合、評價和創造).本章基于已有研究經驗，以通用高階思維的共有能力要素為基礎，結合數學學科特征明確界定了數學高階思維：數學高階思維是指在數學知識學習過程中，順利運用批判性思維、創造性思維、問題解決及元認知能力為核心的高層次認知過程進行心智活動的綜合性能力.在其概念基礎，深入探尋其主要能力要素的測評經驗，形成測評模型構想，并依據初中生思維發展規律，征求有關專家意見編制對應的問卷工具.為驗證該理論構想，研究以1000多名初中生學生分批展開問卷的預測、再測及重測，并就有效問卷數據進行探索性分析和驗證性分析.結果顯示，除了數學批判性思維的維度架構與理想構想有所出入，其他分量表的維度架構均與理論構想一致.分析數學批判性思維中開放思想及認知成熟度的缺失原因，可歸結于通用性批判性思維移植數學學科的不適性，這兩因素更指向一般性批判思維特征，數學學科特征在其中表現不夠明顯.總的來說，研究中的數學高階思維結構構想還是得到了大量實證數據的有力支持，因此，數學高階思維以數學批判性思維、數學創造性思維、數學元認知能力及數學問題解決能力為要素進行測評的想法是合理的.

5.2 數學高階思維的心理測量學特征

研究通過系統梳理國內外高階思維、數學高階思維等相關文獻，明確提出數學高階思維的操作性定義及測評模型構想.在問卷初稿編制過程中，研究者邀請了數名數學教育學及心理學專家、一線數學教師對問卷條目進行修訂，并挑選數名初中生對問卷條目的可讀性進行驗證，綜合各方反饋意見再次確定問卷初稿條目65項，以確保問卷的內容效度.為確保問卷條目質量，研究進行了三輪不同規模的測試及測量學分析.首先以預測檢查問卷結構，經極端組比較法和同質性檢驗法進行項目分析剔除6道低效題項，并經探索性分析剔除了15道題項，形成了四維度十四因子的測評模型，各維度的累積貢獻率均達50%以上，合理驗證及修正了原問卷結構的模型假設.而后以再測檢驗問卷質量，經驗證性因素分析及相關性檢驗測評問卷的結構效度，并以學業成績為校標檢驗其校標效度，結果顯示，雙重效度分析結果均呈現良好狀態，說明問卷結構設置合理且有效.最后輔以重測驗證問卷可靠性，同質性信度、分半信度及重測信度測試結果表明問卷具有良好的穩定性，內外在信度均達標.基于上述，初中生數學高階思維問卷的各項效度指標、信度指標均達到心理測量學標準，可見，該問卷是一個可靠、有效的心理學測量工具.