在一般觀念引領下探索空間幾何圖形的性質
——“立體幾何初步”內容分析與教學思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

在義務教育階段，學生學習的“圖形與幾何”內容主要有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的概念、性質和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動；等等.學生在掌握“圖形與幾何”的基礎知識、基本技能的同時，空間觀念得到了一定發展，在借助圖形思考問題的過程中，初步建立了幾何直觀.因為初中幾何課程主要以平面圖形為研究對象，所以在高中幾何課程中，首先需要建立基本立體圖形的概念，認識點、直線和平面的位置關系，在此基礎上再用適當的工具和方法展開空間圖形性質與關系的研究.

實際上，立體幾何所運用的數學思想方法與平面幾何沒有本質差別，不同的是研究對象，特別是要在一張紙上處理空間圖形，借助“理念作圖”展開思考，導致其抽象程度提高，對直觀想象、邏輯推理和數學運算等方面的要求都大大提高了.

1 課程定位

課程標準提出：立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系.本單元的學習，可以幫助學生以長方體為載體，認識和理解空間點、直線、平面的位置關系；用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念.本章的內容有基本立體圖形、基本圖形位置關系、幾何學的發展.

分析課程標準的上述表述，可以得出如下認識：

第一，立體幾何的研究對象是空間圖形(1)課程標準在這里的表述是“立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系”，筆者覺得這是一個“筆誤”.現實世界中的物體不是幾何的研究對象，幾何的研究對象是從現實世界中抽象出來的空間形式，這種空間形式在現實世界中并不存在，例如現實世界中是不存在數學中的“直線”、“平面”這種東西的.，研究內容是圖形的形狀、大小和位置關系，研究順序是先從現實世界中抽象空間圖形獲得幾何對象，再對其形狀、大小和位置關系等性質展開研究.在本單元中，形狀、大小是對有界圖形(柱、錐、臺、球等)的研究，位置關系是對點、直線、平面的研究.

第二，在認識點、直線、平面的位置關系中，長方體是一個好用的模型；直線、平面的位置關系主要研究平行、垂直的性質與判定，其重點是用數學語言(日常語言、符號語言和圖形語言)表述和論證.之所以將位置關系的研究聚焦在平行和垂直上，是因為“在空間的種種性質中，最為基本而且影響無比深遠者，首推對稱性和平直性”，而平直性和對稱性在立體幾何中的表現，“乃是空間中的‘平行’與‘垂直’以及兩者之間的密切關聯.其實平行與垂直乃是整個定量幾何基礎所在，當然也就是讀者學習立體幾何的起點與要點所在.”([1]，p.101)

第三，就像平面幾何中的度量問題一樣，只要有了簡單幾何體的表面積和體積的度量公式，其組合體的度量就可以利用這些公式進行化歸.

第四，對空間圖形性質的研究，通過直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算，可以實現由表及里、從定性到定量的認識，在不斷深化對空間圖形認識的過程中，可以使學生逐步建立空間觀念.

2 本單元內容與要求

1.基本立體圖形

(1)利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.

(2)知道棱柱、棱錐、棱臺、球的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.

(3)能用斜二測法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖.

2.基本圖形位置關系

(1)借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義，了解以下基本事實和定理.

基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

(2)從上述定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關系，歸納出以下性質定理，并加以證明.

①一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

②兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.

③垂直于同一個平面的兩條直線平行.

④兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.

(3)從上述定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關系，歸納出以下判定定理.

①若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

②若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

③若一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.

④若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

(4)能利用以上已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題.

3.幾何學的發展

收集、閱讀幾何學發展的歷史資料，撰寫小論文，論述幾何學發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻.

由課程標準的上述內容和要求可以發現，立體幾何初步的教學重點并不是要建立結構完善、邏輯嚴密的立體幾何知識體系.對柱、錐、臺、球等空間幾何體，強調從整體到局部、從具體到抽象的原則，通過豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現空間幾何體，幫助學生認識它們的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，逐步形成空間觀念.這就意味著，這里只要掌握柱錐臺球的基本概念，不要求掌握它們的性質.空間圖形的性質將在選擇性必修中以向量為工具進行研究.

對于點、直線、平面等基本圖形的位置關系，強調通過對長方體等圖形的觀察和操作，發現和提出描述基本圖形平行、垂直關系的命題，逐步學會用準確的數學語言表達這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題；對相應的判定定理，只要求直觀感知、操作確認，在選擇性必修課程中再用向量方法對這些定理加以論證.

幾何學的發展歷史悠久，課程標準在這里安排了一個與數學史、數學文化相關的選學內容，讓學生通過查閱幾何學發展的資料、撰寫小論文，在論述幾何學發展歷史、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻等過程中，提高對數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值的認識.

3 內容的理解與教學思考

3.1 基本立體圖形的結構特征

1.定義幾何圖形的數學方式

高中立體幾何課程的研究對象可以分為兩類，一類是基本立體圖形，包括柱、錐、臺、球及其組合體，它們是“有界圖形”；一類是點、直線和平面，它們是最基本的空間圖形，直線、平面都具有無限延展性.定義這些數學對象的數學方式是怎樣的呢？我們可以分析一下幾何圖形的定義，看看它們有哪些共性.

三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，邊、頂點、內角是其基本元素，外角、高、角平分線、中線、中位線是相關元素；

多邊形：在平面內由一些線段首尾順次相接組成的圖形，邊、頂點、內角是其基本元素，外角、對角線等是相關元素；

多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，面、棱、頂點等是其基本元素；

棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，棱柱的底面、側面、側棱、頂點等是其基本元素；

棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，棱錐的底面、側面側棱、頂點是其基本元素；等等.

從以上定義可以發現，定義直線型圖形、多面體圖形的數學方式是：

利用組成圖形的基本元素，將基本元素的形狀、位置關系作為刻畫圖形結構特征的“要件”.

所以，認識一類立體圖形的結構特征，就是抽象這類圖形的組成元素及其形狀和位置關系，并用準確的數學語言予以表達.教學中可以先引導學生回顧三角形、平行四邊形以及圓等的定義，幫助學生總結出定義幾何圖形的數學方式，再讓他們以此為指導去觀察相應的實物、模型，并利用計算機軟件展示更豐富的幾何圖形幫助學生進行多角度觀察，在充分地直觀感知的基礎上再進行本質特征的抽象，得出基本幾何圖形的結構特征.

2.如何研究幾何體的結構特征

幾何體的結構特征從定性描述、定量刻畫兩個角度展開，因為定量的要求較低，而且是基于定性性質的，所以這里著重就定性描述進行討論.

數學思想：幾何體的結構特征有多種表現形式，選擇刻畫一類對象的充要條件作為定義，且要求包含的要素關系盡量少，實現對幾何圖形的數學抽象.再以此為出發點，研究其他特征，獲得幾何體的性質.

研究內容：以“屬+種差”的方式對幾何圖形進行“從粗到細”的分類.

過程與方法：從觀察與分析一些具體幾何圖形組成元素的形狀、位置關系入手，歸納共性，抽象出分類標準，再概括到同類圖形而形成抽象概念.

研究結果舉例：

幾何體的分類——以幾何體的表面特征(是否都為多邊形)為分類標準，把空間幾何體分為多面體、旋轉體.

多面體的分類——以組成元素的形狀、位置關系為分類標準分為棱柱、棱錐、棱臺等等.例如：棱錐有一個面(底面)是多邊形，其余各面(側面)都是三角形，這是組成元素的形狀；三角形有一個公共頂點，這是組成元素的位置關系.

對一類多面體的分類——以這類多面體的組成元素的某種特征或關系為標準進行分類.例如，以棱錐底面多邊形的邊數為標準將棱錐分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；以底面多邊形的形狀+頂點在底面的正投影的位置為標準，分為正棱錐和非正棱錐；等等.

另外，還要對一些特殊的圖形進行特別的研究，例如正多面體.

可以看到，對幾何體結構特征的認識是通過分類完成的.分類是理解數學對象的重要一環.一個數學對象的具體例子不勝枚舉，按某種特征對它們“分門別類”，就使這一對象所包含的事物條理化、結構化，并可由此確定一種分類研究的路徑，使后續研究順序展開.

分類就是把研究對象歸入一定的系統和級別，形成有內在層級關系的“子類”系統結構，從而就進一步明確了數學對象所含事物之間的邏輯關系，由此可以極大地增強“子類特征”的可預見性，從而也就有利于我們發現數學對象的性質.

3.關于作圖

首先明確一個觀點，即：作圖是立體幾何學習的“第一大事”， 在紙上畫立體圖形，是培養直觀想象素養的重要契機.所以，立體幾何教學中必須要求學生“認真讀題，根據題意先作出直觀圖”，并且要把圖畫得盡量準一點，以利于看出各種關系.然而，觀察當下的課堂，發現“導學案”中不僅給出了命題，而且畫好了圖形，學生已經不需要“根據題意作出圖形”了.鑒于目前“導學案”泛濫的實情，幾何課不要求學生作圖的做法應該不是個案.我們認為，這是導致當前立體幾何教學質量不高的主要原因之一.

關于立體幾何作圖對培養直觀想象素養的意義，我們可以與平面幾何作圖比較一下.

首先，平面幾何作圖在一個“平的面”上進行，一張紙、一塊黑板都是這樣的一個面，因此平面圖形可以在紙上或黑板上用直尺、圓規真實地畫出來，但立體幾何作圖做不到.因為立體圖形是三維的，而“三維紙”或“三維黑板”是難以提供的.

其次，平面幾何作圖中，我們可以利用直尺和圓規完成那些“基本作圖問題”，例如用直尺在紙上畫出兩點所決定的那條直線的局部，用圓規畫出給定圓心和半徑的圓；但在立體幾何作圖中，我們沒有這樣的工具能方便地畫出不共線三點所決定的那個平面的局部，只能畫“示意圖”，而這種圖原則上并不唯一.

第三，立體幾何作圖是“在二維平面上作三維立體圖形”，在本質上是“理念作圖”.作出的“直觀圖”可以引導我們想象它所代表的“真實圖形”的樣子，但它不是平面幾何中那樣的實在圖形.

在立體幾何中，我們真正在做的是把某種真實存在的立體幾何事物，在理念中逐步分解成平面上某些特定的平面圖形的組合來加以明確刻畫.正如項武義先生指出的：這種理念作圖是在訓練如何把立體幾何中的基本圖形歸于平面幾何作圖來加以分析，唯有通過這種理念作圖的練習，才能學會如何有效運用所學的平面幾何知識去理解空間的本質.我們與生俱來的視覺是具有相當好的空間想象能力的，但是要把它提升到對于空間圖形及其所蘊含的空間本質的洞察力，這種訓練是不可缺少的！([1]，p. 113-114)

所以，在二維平面上畫三維圖形，對培養學生直觀想象素養的意義是基本而重要的，對培養學生嚴謹的思維品質、優良的學習習慣以及審美情趣等也有作用.我們應該立即改變不重視作圖的錯誤做法，在獲得幾何對象、定義概念、發現性質等各個環節中都要加強“理念作圖”的訓練，并在解題教學中把“根據題意作出圖形”作為第一步.

4.“基本立體圖形”的育人價值

“基本立體圖形”的學習，理性思維的要求不高，以直觀感知、操作確認的方式為主，通過對基本立體圖形的分類，達到對柱、錐、臺、球結構特征的認識.從數學思想和方法的角度看，本單元的教學應關注如下幾個方面，這也是本單元的主要育人價值所在：

(1)掌握描述幾何體結構特征的方法——以幾何體的表面組成元素、形狀、位置關系為“要件”得出結果；

(2)形成數學地認識、刻畫幾何圖形結構特征的能力——抓關鍵要素及其基本關系(平行、垂直(對稱))；

(3)掌握描述事物特征的邏輯方法——以“屬+種差”的方法對一類幾何體進行逐層分類，從而有序地、有邏輯地認識事物的特征，培養理性思維.

3.2 基本圖形的位置關系

本單元的整體架構是：平面——直線、平面的平行(平直性)——直線、平面的垂直(對稱性).這是在定義空間基本圖形的基礎上，按位置關系逐類展開研究.研究過程中滲透著公理化思想，而對平面基本性質的描述(幾何原始概念的定義方式)、基本圖形位置關系的分類中體現著數學地認識事物的思維方式，對發展學生的理性思維能起到非常積極的作用.

1.平面

點、直線、平面是構建幾何圖形的基本材料.根據歐氏幾何公理體系的要求，對點、直線和平面等基本圖形特征的描述是立體幾何的出發點.這種處于原始出發點的圖形特征的描述往往很困難，因為這有“從無到有創生幾何”的味道.這里的任務就是要設法描述清楚直線的“直”、平面的“平”到底是怎么回事.根據數學地刻畫一個事物的基本方式，我們可以通過直線、平面的組成元素之間確定的相互關系(位置關系)進行描述，實際上這也就給出了“平面的基本性質”.

顯然，直線AB上的點、線段與直線AB有如下基本關系：

以上以“兩點之間線段最短”為出發點，討論了直線上的點、線段和直線的基本關系，即“∈”、“?”、“?”等，這種關系體現了直線的“直”的含義，也就是“直線的基本性質”.

一脈相承地，我們可以用這種思想方法討論平面的“平”.

其次，看直線與平面的關系.顯然，直線與平面的最基本關系是“直線在平面內”.那么到底需要直線上幾個點在平面內就可以確定直線在平面內呢？由“兩點確定一條直線”容易想到只要兩個點即可，這就是“基本事實2”的內容.

再次，看平面與平面的關系.到處存在的直觀材料和直覺經驗告訴我們，兩個平面有一個公共點，那么就有過這個公共點的一條公共直線，也就是說，兩個平面不可能只交于一個點，這就是“基本事實3”的內容.

由基本事實2，3可以發現，直線的“直”和平面的“平”具有內在的一致性.另外，反思刻畫“直”、“平”的過程可以發現，得出“基本事實”的思想方法，是從“最少條件”出發來考慮的，這是數學的基本手法.

順便指出，平面的基本事實及其推論的教材具有研究內容、過程和方法的統一性，都由三個環節組成：生活實例——基本事實——三種語言表示，教學時要注意加強實踐性，讓學生多想、多說、多畫.另外，關于“基本事實”，還可以引導學生進行多角度理解.例如：

不共線三點確定一個平面：如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么它們重合；

“兩條相交直線確定唯一一個平面”與“平面內兩個不共線向量組成一個基底”異曲同工；等等.

2.如何定義基本圖形的位置關系

為了概括定義基本圖形位置關系中使用的數學思想方法，我們把空間直線、平面位置關系的定義放在一起，分析一下它們的共性.

空間兩條直線的位置關系：

直線與平面的位置關系：

直線在平面內——有無數個公共點；

直線與平面相交——有且只有一個公共點；

直線與平面平行——沒有公共點.

兩個平面之間的位置關系：

兩個平面平行——沒有公共點；

兩個平面相交——有一條公共直線.

可以發現，定義基本圖形的位置關系，先從兩個圖形有無公共點及公共點的個數上進行分類，當僅從公共點角度不能確定位置關系時，再利用“公共直線”.

我們知道，點是0維的，是直線、平面的基本組成元素；直線是1維的，是平面的組成元素；平面是2維的.“公共點”、“公共直線”都是幾何圖形組成元素的一種相互關系.

所以，空間基本圖形位置關系的定義方式是：

通過基本圖形組成元素的相互關系定義它們的位置關系.

這樣的定義也是基于直觀的.基本圖形的位置關系中，異面直線的定義比較“拗口”，“不同在任何一個平面內的兩條直線”就是這兩條直線既不平行也不相交.在一個平面內，既不平行也不相交的兩條直線是不存在的.

空間直線、平面位置關系的教學，首先要利用好長方體模型，幫助學生建立相應的直觀形象基礎.其次，要重視“三種語言”的教學，要讓學生動

腦想、動嘴說、動手畫.特別是畫圖，要讓學生在觀察相應的實物模型、動手操作等基礎上進行作圖，使學生體會如何才能使所作圖形具有直觀性.例如，可以要求學生作出不同的異面直線示意圖(如圖1就是三種直觀性較好的示意圖).

圖1

(未完待續)