神壇上的達·芬奇(續)
——以達芬奇的數學手稿為中心

代 欽

(內蒙古師范大學科學技術史研究院 010022)

5 達·芬奇的數學證明及其啟迪作用

發現問題、解決問題和證明命題是數學研究的重要內容，其中蘊含著直覺(直觀)想象能力和理性精神.數學命題的證明要言必有據，簡潔清晰.達·芬奇缺乏數學證明的嚴格訓練，原因有以下幾個方面：首先，達·芬奇沒有接受系統的數學教育，16歲之前只接受過幾個月的數學教育，在遇到盧卡·帕喬利之后才開始向他學習數學.這說明達·芬奇大部分數學知識是自學的，不成系統.另外，在達·芬奇手稿中的幾何圖形、工程建筑圖形數量壓倒性得多，這就導致人們錯誤地認為達·芬奇只注重直觀想象而忽略了抽象的演繹證明.其次，從1473年(21歲)開始，達·芬奇采用了從右至左的“鏡像”書寫方法，讀者直接閱讀他的文稿是非常困難的，必須通過鏡像才能正常閱讀.他使用“鏡像”書寫方法的目的在于防止他的研究成果被剽竊.因為那個年代還沒有可以讓人宣布發明權的期刊，也沒有專利申請或保護發明者不受剽竊侵害的機構.再次，達·芬奇的行文表達給別人的印象也很一般，正如歐仁·明茨所說：“對于當時的人文主義學者來說，精確清晰的語言表達是駕輕就熟的本領，而未曾受過修辭學教育的列奧納多，則習慣于用一套自己熟悉的方式來記錄他的研究成果.也許，他孤僻的性格與非凡的創造能力存在著一定的聯系，正如所謂的‘自古天才皆寂寞’.他的論述科學的文風既不出彩，也不簡潔.他的想法缺乏當時文人學者的系統性和條理性.他沒有把公式和想法整理成一個“理論體系”，而是把他的發現組織成段落，平鋪直敘，絲毫不帶學究氣或哲學條理.”(1)歐仁·明茨.列奧納多·達·芬奇(第二卷)[M].陳立勤，譯.北京：人民美術出版社，2014：54.最后，達·芬奇的認知與實踐之間的矛盾是明顯的.“優柔寡斷是他性格中的主導因素.隨著研究范圍的擴展，這種性格便愈趨明顯，使他難以在一個方向長時間地集中精力，無法歸納出有力而權威的結論.”(2)歐仁·明茨.列奧納多·達·芬奇(第二卷)[M].陳立勤，譯.北京：人民美術出版社，2014：60.在他的數學手稿中經常看到這種現象.盡管如此，我們在達·芬奇手稿和筆記中也常常看到注重邏輯證明的理性精神和對一些復雜的數學命題的證明.如他提醒自己“大膽懷疑，小心求證.”(3)[意大利]達·芬奇.達·芬奇藝術與生活隨筆[M].戴專，譯.北京：光明日報出版社，2012：129.他也認為“在偉大的數學事實里，論證的確定性最為顯著地提升了研究者的思維能力.”(4)[意大利]達·芬奇.達·芬奇藝術與生活隨筆[M].戴專，譯.北京：光明日報出版社，2012：97.而且他格外看重數學的論證，他認為：“人類的任何研究若不經數學的論證就不能稱為真科學.”(5)[英]艾瑪·阿·里斯特.達·芬奇筆記[M].鄭福浩，譯.北京：生活·讀書·新知三聯書店，2007:6.達·芬奇也對數學論證中的由因推果、由果索因等方法提出了獨到的見解.

下面主要介紹三個問題：1.達·芬奇對勾股定理及其證明的熱衷；2.對“化圓為方”的癡迷與希波克拉底定理的廣泛應用——直線形與曲線形的等積變換；3.立體幾何命題的證明.

5.1 達·芬奇對勾股定理的研究

勾股定理，正如開普勒所說是數學中的黃金.有了勾股定理才會發現無理數，以至產生連續的概念、函數的概念；有了勾股定理才會計算兩點間的距離，從而為笛卡兒創立解析幾何奠定了基礎.這些數學成就直接促使了微積分乃至現代數學的誕生.正因為如此，自古以來勾股定理吸引了成千上萬的數學愛好者和數學家，出現了勾股定理的數百種證明方法.數學發展史上沒有第二個定理有如此豐富的證明方法.在歷史的長河中，作為文藝復興時期偉大的藝術家和科學家的達·芬奇對勾股定理情有獨鐘，不僅給出了一種別出心裁的證明，而且其手稿中能夠見到勾股定理的直觀表達的各種圖形有一百多處.

達·芬奇各種手稿提供了一個重要信息，即他系統地學習了歐幾里得《幾何原本》，并對勾股定理等內容有自己的見解或擴展性思路.他在歐幾里得證明方法的基礎上，給出一個證明方法，具體如下(6)E.S.Loomis. The Pythagorean Proposition[M].Washington: National Council of Teachers of Mathematics，1972年復刻版.：

如圖17，Rt△AEK中，已知∠AKE=90°，KE=a，AK=b，AE=c，求證:AK2+KE2=AE2.

圖17 達·芬奇的勾股定理證明

證明：分別以AK、KE、AE為邊作正方形AKHI、KEFG、ABDE.以正方形ABDE對角線交點為中心，將△AKE旋轉180°至△DCB.連接線段CK、IF、HG.△AKE與ΔHKG關于線段IF對稱，所以S△AKE=S△HKG，且I、K、F三點共線.

∠IAE=90°+∠α=∠KAB，∠ABC=90°+∠β=∠AEF，四邊形IAEF可理解為關于點A逆時針旋轉90°，所以四邊形KABC與四邊形IAEF全等，即S四邊形ABCK=S四邊形IAEF，且有

S正方形ABDE+2S△AEK

=S六邊形ABCDEK=2S四邊形ABCK

=2S四邊形IAEF=S六邊形AEFGHI

=S正方形AKHI+S正方形KEFG+2S△AKE，

于是有S正方形ABDE=S正方形AKHI+S正方形KEFG，

也即AK2+KE2=AE2或a2+b2=c2.

達·芬奇對勾股定理情之所鐘，在他手稿中經常見到勾股定理的歐幾里得證明方法之圖形及由此而引發的各種有趣的變形問題(在直角三角形兩個直角邊上向外作兩個正方形，斜邊上向內作一個正方形)和其他擴展性問題.

達·芬奇給出了勾股定理的上述證明的同時，也思考了另外一種情形，在直角三角形兩個直角邊上向外作正方形，在斜邊上向內作正方形，如圖18(7)達·芬奇.大西洋古抄本[M].第1353頁.左下角和右上角兩幅圖所示.

圖18

達·芬奇雖然沒有給出證明過程，但是該圖形從直觀上給人一種有益的啟示.根據這個圖形也很容易證明勾股定理，如圖19.

圖19 勾股定理證明

我們可以根據圖18中勾股定理圖形證明該定理，具體如下：

如圖19所示，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，求證:BC2=AB2+AC2.

證明：分別以AC、AB、BC為邊作正方形ACDE、ABFG、BCHI.延長邊DE和邊FG并交于點M.

有S矩形BNLI=S平行四邊形MIBA=S正方形ABFG，

同理有S矩形HLNC=S平行四邊形HCAM=S正方形ACDE.

因為S正方形BCHI=S矩形HLNC+S矩形BNLI，

所以S正方形BCHI=S正方形ACDE+S正方形ABFG，

即BC2=AB2+AC2.

(2)勾股定理的擴展性思考

①在不破壞直線形的情形下，直角三角形三個邊上的正方形內切圓面積是否有與勾股定理相當的結果，如圖20.

圖20 達·芬奇對勾股定理的擴展性思考1

圖21 達·芬奇對勾股定理的擴展性思考2

②在直角三角形中，分別以三邊為直徑的半圓面積是否有與勾股定理相當的結果.

③在曲線形直角三角形三邊上作彎曲的正方形(彎曲菱形)并思考能否有與勾股定理相當的結果.如圖21(8)達·芬奇.大西洋古抄本[M].第1337頁.，曲線形直角三角形勾股命題的直觀圖形，這一想法本身就有很高的科學思想方法的價值.達·芬奇認為有三種曲線形三角形：(1)兩邊為直線一邊為曲線的三角形；(2)一邊為直線兩邊為曲線的三角形；(3)三邊皆為曲線的三角形.無論是哪一種曲線三角形，都會讓人思考一個問題，那就是曲線三角形的內角和是否是180°以及三角形的哪些性質仍然保持不變.于是很容易產生拓撲學的觀念了.甚至有人認為“列奧納多也是拓撲學領域的開拓者”.(9)[美]沃爾特·艾薩克森.列奧納多·達·芬奇——從凡人到天才的創造力密碼[M].汪冰，譯.北京：中信出版社，2018:208.

④如果將直角三角形三邊上的正方形擴展為立方體(或長方體)，如圖22(10)達·芬奇.大西洋古抄本[M].第1383頁.，那么以斜邊為邊的立方體體積是否等于分別以兩條直角邊為邊的立方體的體積之和？(設直角三角形斜邊為c,兩個直角邊分別為a、b，那么c3=a3+b3？).我們不妨把這個命題稱為“立方體的勾股命題”.這實際上是倍立方體問題的一般情形.達·芬奇雖然沒有給出自己的結論，但是從他的手稿中多處出現的類似幾何圖形可以看出，達·芬奇至少從勾股定理的結論類比得出一些有趣的問題.這些問題具有很高的數學思維方法方面的價值.

圖22 立方體的勾股命題

5.2 達·芬奇對希波克拉底定理的應用

古希臘人提出了三大作圖問題：三等分任意角；倍立方體，求作一立方體，使其體積為已知立方體體積的兩倍；化圓為方，求作一個正方形，使其面積等于已知圓的面積.這三大作圖問題有只使用沒有刻度的直尺和圓規之限定條件.數學史上已經證明了在限制條件下不能解決三大問題.但是在這一過程中不知多少學者殫精竭慮地探險并開辟新的道路，在這曲折而漫長的路上達·芬奇也留下了自己的足印.倍立方體問題和化圓為方問題引起了達·芬奇的濃厚興趣，特別是化圓為方問題使他癡迷到瘋狂的程度，甚至他宣布已經解決了該問題：“在圣安德助日(11月30日)，我來到化圓為方的終點；在晚間燭光即將熄滅時，在我寫的紙張上‘完成’了.”(11)華特·艾薩克森.達文西傳[M].嚴麗娟，林玉菁，譯.臺北：商周出版，2019:220.

圖23 471v幾何游戲

除此之外，達·芬奇的興趣更傾向于曲線型和直線形之間的等積問題，由此引出各種月牙形圖案.月牙形是一種邊緣為兩個圓弧的平面圖形.這主要體現在他的很多工程設計、建筑設計和幾何學手稿中.特別是在“幾何游戲”中給出的36幅圖形更是令人嘆為觀止，如圖23.“471v幾何游戲”的主題就是由圓和正方形的各種內切、外接、重疊、交叉等具有創意的操作而形成的各種圖案.其中，有一半以上圖形中有月牙形.據說，達·芬奇在試圖解決“化圓為方”問題的過程中，廢寢忘食地制作了各種各樣的月牙形、曲線三角形等有規則的圖形.他把制作月牙形的過程看作一種智力游戲，因此“決定寫一本論文——取名為《幾何學游戲》——想法填滿了一頁又一頁.可想而知，這本書也加入了其他未完稿的論文行列.”所謂“論文行列”就是《大西洋古抄本》.達·芬奇玩月牙形玩得快瘋了，就像月亮會影響人的情緒，引發精神失常(12)華特·艾薩克森.達文西傳[M].嚴麗娟，林玉菁，譯.臺北：商周出版，2019:219..

達·芬奇的月牙形問題來自古希臘數學家和天文學家希波克拉底(Hippocrates of Chios, 公元前5世紀下半葉).他生于希俄斯，公元前5世紀下半葉活動于雅典.早年經商，不幸落入海盜之手，財產喪失殆盡.為訴訟和查訪，在雅典住了很長時間，其間常到學校聽課.后來從事幾何學研究，做出杰出貢獻.他在研究化圓為方問題時提出一種化月牙形為方形的方法，并將一個月牙形和一個圓一起轉化為正方形，認為這樣就可以化圓為方.結論雖然有誤，但在解決這一問題過程中使用的方法和顯示出的幾何技巧長期為人稱道.希波克拉底的月牙形問題有以下三種不同情形：

(1)在直角三角形ABC中，如果以兩直角邊AC、BC為直徑向形外作半圓，又以AB為直徑向形內作半圓，則S月牙形AC+S月牙形BC=S△ABC，如圖24(13)沈康身.歷史數學命題欣賞[M].上海：上海教育出版社，2002:633..

圖24 希波克拉底定理1

(2)設扇形AOC為一個圓的四分之一.以AC為直徑在這四分之一圓的外面，作一個半圓.試證明：以這四分之一圓和這個半圓所圍的月牙形，與△AOC面積相等，如圖25.

圖25 希波克拉底定理2

(3)設ABCD等于以AD為直徑的圓的內接正六邊形的一半.作該圓與以AB為直徑的半圓之間的月牙形.試證明：梯形ABCD的面積等于該月牙形面積的三倍加上以AB為直徑的半圓的面積，如圖26.

圖26 希波克拉底定理3

5.3 立體幾何證明

立體圖形體積問題的研究內容主要在《馬德里手稿Ⅱ》第44頁-47頁、第65頁-70頁.達·芬奇其他手稿中也有一些研究立體體積的內容.下面從《馬德里手稿Ⅱ》中摭取三棱錐與正方體體積關系研究的一幅手稿，舉例說明，如圖27(14)Leonardo Da Vinci. Tratados Varios De Fortificacion Estatica Y Geometria Escritos En Italiano Ⅱ：Library Number 8936[M].Tokyo: Iwanamisyoten, 1975：70.，是將正方體分割成6個體積相等的三棱錐的過程，并給了簡單證明.

圖27 立體體積研究

把達·芬奇用鏡像寫法寫的論證過程反過來觀看，并翻譯成現代形式，如圖28-34，具體如下：

V三棱錐d-cbg=V三棱錐f-cbg(c-bfg)=V三棱錐n-bfg，

圖28

圖29

圖30

圖31

圖32

圖33

達·芬奇這個證明過程的整體思路和步驟是正確的，但是在個別細節問題上犯了寫錯字母的錯誤，我們在這里根據他的證明的說明予以糾正.

6 立體圖形的制作

用數學家的眼光看多面體的幾何圖形，就是由點線面組成的抽象的一個存在，換言之，這些幾何圖形與現實世界的具體事物無關.但是在達·芬奇的精神世界里多面體具有反映生命和自然相互統一的意義.在研究煉金術的過程中，達·芬奇發現可以人為地合成自然界中所沒有的化合物，他由此想到，利用幾何設計同樣可以創造出大自然中不存在的形體，也許可以揭示大自然隱秘不為人知的一面.另一方面，達·芬奇認為，人是微縮的地球，……因為人也是由土、水、氣和火構成，構成地球的要素也是構成人的要素(17)[意大利]達·芬奇.達·芬奇藝術與生活筆記[M].戴專，譯.北京：光明日報出版社，2012:149..達·芬奇的這一觀點是古希臘哲學家畢達哥拉斯和柏拉圖關于宇宙萬物形成元素的哲學觀點的繼承.即他們認為，正多面體有五種，它們對應宇宙元素情況如下：土元素對應正六面體，火元素對應正四面體，水元素對應正二十面體，氣元素對應正八面體，而正十二面體則象征著浩瀚的天空.宇宙萬物用這種幾何語言書寫了它的結構和規律.達·芬奇以柏拉圖的五種正多面體為出發點，在結合數學與藝術的內在聯系的基礎上，創作了精妙絕倫的多面體圖形，讓人們領略到數學的純粹美和達·芬奇的驚世才華.

達·芬奇手稿中的圖形多為立體圖形，其中為其老師盧卡·帕喬利著作《神圣比例》(如圖34)而作的插圖是最著名的.1496年達·芬奇與盧卡·帕喬利一同被聘請到米蘭宮廷后，達·芬奇有了向盧卡·帕喬利學習數學的良機，這使達·芬奇的數學水平有了很大的提高.1498年，達·芬奇為盧卡·帕喬利的著作《神圣比例》以柏拉圖五種正多面體為中心畫了60幅插圖，其中1幅為教堂門，3幅分別為圓柱體、圓錐體和球，其余為28種多面體的開窗型和具體型成對出現的56幅圖，如圖35.這些圖形的制作充分展示了達·芬奇卓犖不羈的空間直觀想象能力.在歷史上有人已經畫過柏拉圖正多面體，但是，“達·芬奇針對它們設計了一種更‘具體的’展現方式.他用鋼筆、墨水和水彩將這些形狀畫成懸掛在空間中、光影中以對稱方式塑造的實物.如圖37、圖38.此外，他還將每個形狀繪制成‘開窗’的式，以便向人們全面展示每個形狀的空間組合情況.”(18)[英]馬丁·肯普.達·芬奇100個里程碑[M].葉芙蓉，譯.北京：金盾出版社，2019:83.

圖34 帕喬利《神圣比例》封面

De divina Proportione(《神圣比例》，1498年)(19)Luca Pacioli. De divina Proportione [M].XXI-XXII中立體圖形的制作耗費了達·芬奇的大量心血，有些圖形的制作過程在其手稿的不同地方能夠見到，如在《大西洋古抄本》中制作空心正二十面體時，先作了一個簡單的素描(如圖36)，然后作了完整的圖36(20)達·芬奇.大西洋古抄本[M].第518r，第1203頁..

圖35 《神圣比例》中正十二面體

圖36 518r“幾何學研究”

圖37 達·芬奇為《神圣比例》作的插圖

圖38 達·芬奇為《神圣比例》作的插圖

除上述幾何圖形外，在達·芬奇手稿中還有一些富有啟發性的幾何圖形，如圖39“三維透視研究”(21)達·芬奇.大西洋古抄本[M].709r，第893頁..我們用三張大小相同的正方形紙張可以制作該圖的模型，連接各頂點就得到一個有規則的二十面體，但不是正二十面體.既然用三個相同的正方形兩兩垂直地交叉后得到一個有規則的二十面體，那么使用類似方法適當改變幾何圖形形狀能否得到一個正二十面體呢？答案是肯定的.我們可以用三張大小相同的黃金矩形制作該模型.

圖39 709r三維透視研究

人們由“三維透視研究”聯想到用三張相同的黃金矩形能夠制作正二十面體的過程是富有創意的.這種方法在中小學數學教學中有重要的用武之地，通過類似的活動可以培養學生手腦并用的能力，同時能夠增進學生數學文化知識，也可以培養學生對數學的學習興趣.

圖40 黃金矩形

圖41 正二十面體的制作

圖42 正二十面體

7 達·芬奇的數學應用

達·芬奇的數學應用涉及到他研究的所有領域，是極其廣泛的.這里僅簡要地介紹他在繪畫創作中的數學應用——比例理論和透視法.達·芬奇在不少繪畫創作中用到了數學，這是肯定的，如《維特魯威人》《馬的研究》等.在有些作品的創作中并不一定用到數學，他通過直覺可以把握要創作的諸對象的位置和大致比例，如不少人認為達·芬奇《最后的晚餐》《蒙娜麗莎》的創作中嚴格地使用了透視法、黃金比例，盡管在他的相關手稿中沒有發現使用透視法的跡象,“但是這依然無法令人信服地證明列奧納多在創作中自覺使用了精確的數學比例.”(22)[美]沃爾特·艾薩克森.列奧納多·達·芬奇——從凡人到天才的創造力密碼[M].北京：中信出版社，2018:207.

7.1 維特魯威人

馬爾庫斯·維特魯威·波利奧(Marcus Vitruvius Pollio)，公元前1世紀生活于羅馬共和制向帝制過渡的重要轉折時期，他是一個“保守主義者”，不遺余力地維護從古希臘傳承下來的人文價值觀和建筑理想.他學習研究的領域包括繪圖、幾何學、算術、光學、歷史學、哲學、音樂學、醫學、法律、天文學、古典語文學、古典文獻學等，非常廣泛.我們從他的經典著作《建筑十書》中可以看到這些研究領域.由于文藝復興時期的人文主義者崇尚古代文學藝術的輝煌，對希臘語和拉丁語文獻抱有濃厚的興趣，這使維特魯威的《建筑十書》進入他們的視野.因此，維特魯威的《建筑十書》很自然地成為了達·芬奇學習研究的珍貴文獻，并對他產生了深刻影響.也許是一種巧合，維特魯威有“措辭笨拙，語句臃腫，忽然節外生枝”(23)[古羅馬]維特魯威.建筑十書(典藏版)[M].[美]I.D.羅蘭，英譯，[美]T.N.豪，評注；陳平，中譯.北京：北京大學出版社，2019:英譯者前言XIII.的寫作方式，而達·芬奇在這方面有過之而無不及，甚至在一張稿紙上寫完全不同的內容，而且還采用鏡像書寫方法.

圖43 人體比例

《建筑十書》第3書中有：一座建筑應反映出人體的比例.維特魯威認為大自然是按照下述方式構造人體的，面部從頦到額頂和發際為身高的十分之一，手掌從腕到中指尖也是如此；頭部從頦到頭頂為八分之一；從胸部頂端帶發際包括頸部下端為六分之一；從胸部的中部到頭頂為四分之一.面部本身，頦底至鼻子最下端是整個臉高的三分之一，從鼻下端至雙眉之間的中點是另一個三分之一，從這一點至額頭發際也是三分之一.腳長是身高的六分之一，前臂為四分之一，胸部也是四分之一，其他肢體又有各自相應的比例.

圖44 維特魯威人

這種人體比例的思想對達·芬奇的繪畫創作也產生了重要影響.達·芬奇也崇尚維特魯威的人體比例并強調運用維特魯威的比例，指出建筑師維特魯威把人體的尺寸安排如下：四指為一掌，四掌為一足，六掌為一腕尺，四個腕尺為人之身高，四腕尺合一步，二十四掌合全身.他在建筑里也用到這些丈量方法，如果你叉開雙腿，使身高降低十四分之一，分別舉起雙臂使中指指尖與頭頂齊平，連接伸展的四肢的末端組成一個外接圓，肚臍恰巧在整個圓的中心位置，而兩腿當中的空間恰好構成一個等邊三角形.而且人在平伸雙臂時的寬度等于他的高度.人下跪的時候，他的高度就減少了四分之一等，(24)[意]達芬奇.達芬奇筆記[M].杜莉，譯.北京：金城出版社，2011：91.如圖43(25)(古羅馬)維特魯威.建筑十書(典藏版)[M].[美]I.D.羅蘭，英譯，[美]T.N.豪，評注；陳平，中譯.北京：北京大學出版社，2019:297..

由上述兩端敘述可以知道，維特魯威實際上給出了人體比例的兩個模型，即以肚臍為中心的圓模型和以恥骨為中心的正方形模型.達·芬奇綜合并適當調整這兩套模型創作了《維特魯威人》，這超越了維特魯威，描述了完美的人體比例.《維特魯威人》中描繪了一個男人在同一位置上的“十字型”和“火字形”的姿態，并同時被分別嵌入到一個矩形和一個圓形中，如圖44(26)[意]列奧納多·達·芬奇. 達·芬奇筆記[M].[美]H·安娜·蘇，編.劉勇，譯.長沙：湖南科學技術出版社，2015：45..

對于達·芬奇在創作《維特魯威人》時把人放置在正方形和圓中，有人認為這是達·芬奇對化圓為方的一種嘗試(27)Joel Levy. A Curious History of Mathematics: The Big Ideas from Primitive Numbers to Chaos Theory[M]. New York: Metro Books, 2013: 43..

對達·芬奇而言，人類不僅是一個具有無窮無盡的生命力的有機體，也是世界的典范，個人和宇宙的關系正如一面鏡子，相互折射，相互映襯，《維特魯威人》就是達·芬奇對兩者關系的完美詮釋.

7.2 《馬的研究》

馬在人類文明發展的進程中扮演了極為重要的角色.在現代文明誕生之前，馬是財富的象征，馬是身份的象征，馬是精神的象征，甚至馬是民族和國家文化的象征.自古以來，無論是東方還是西方，馬是藝術家們展示自己才華的對象之一.

圖45 馬的身體各部位的數據

既然人體的各組成部分之間存在固定的比例關系，馬是否也有類似于人體比例那樣的比例關系呢？這是達·芬奇曾經思考的問題.達·芬奇認為：“馬的體型是大自然賦予的，他試圖從中提取某種‘視覺音樂’.”(28)[英]馬丁·肯普.達·芬奇100個里程碑[M].葉芙蓉，譯.北京：金盾出版社，2019:60.于是達·芬奇為了掌握馬的解剖結構和體型比例，耗費了大量的精力.他以“一匹”和“十六分一匹”為單位詳細記錄了樣本馬的測量數據，然后以十六分之一為單位進行分解和二次分解，最后得到了馬的體型比例，如圖45(29)[英]馬丁·肯普.達·芬奇100個里程碑[M].葉芙蓉，譯.北京：金盾出版社，2019:61..達·芬奇關于馬的藝術作品一般以這種比例為前提而創作的.

8 結語

達·芬奇作為意大利文藝復興時期的偉人給人類留下了豐富而珍貴的文化遺產，他所做出的貢獻達到讓人無法想象的地步.他的成長過程、輝煌成就和睿智的思想為人們提供了如無邊無際的海洋一般的遐想空間.

首先，科學、藝術、建筑、哲學等所有人類智慧的歷史是他的偉大導師.他是歐幾里得《幾何原本》的研讀者；他是畢達哥拉斯、柏拉圖和亞里士多德的膜拜者；他是阿基米德力學和軍事學的繼承者；他是維特魯威《建筑十書》的超越者；他是繪畫為一門科學的提出者；他是解剖學的視覺化展示者；他是人類最高智慧的化身.

其次，達·芬奇是自學成才，不知道什么是系統教育.正因為這樣，他的興趣、所涉獵的領域、工作方式、思維過程等等不受任何所謂“規矩”的束縛.在歷史上這樣的例子不只達·芬奇一個，還有笛卡兒、愛迪生等等很多.雖然歷史是不能假設的，但是我們也不妨假設——如果這些天才們接受了小學、中學和大學的系統而規范的教育，那么情況會如何呢？是不是諸多規范將他們給“規范”死了呢？這是我們每一個教育工作者必須認真思考的問題，從這里也會提出一些教育悖論來.

再次，達·芬奇數學手稿為我們數學教育工作者提供了寶貴的啟示，使我們感到今天數學教育過于按部就班，過于教條.從手稿中發現以下幾點：1.在小學可以學習三角形的各種形態及其內角和是否等于180°的情形，也可以掌握拓撲學的初步觀念；2.在初中可以學習勾股定理的各種表述及由此而引發的曲線形勾股命題、立方體形的勾股命題等等，這對學生的直觀想象和猜想能力的培養至關重要；3.數學學習要勤奮，動手動腦，正如歐幾里得說的“沒有為國王鋪設的坦途”那樣.達·芬奇的數學學習和研究以及他的數學手稿告訴我們，幾何作圖能力和直觀想象能力的發展是相輔相成的.因此，數學教師要以身作則，引領學生養成動手動腦的習慣和能力，這是數學教學的根本.

最后，讓我想起加勒特·湯姆森在《萊布尼茨》序言中的一段引言：“當我評價別人時若出現差錯，我寧愿錯在寬容他人上.對他人著作的評價也是如此.在著作中，我努力發現的不是應該責怪什么，而是應該贊揚什么，應該從中學到哪些東西.”(30)加勒特·湯姆森.萊布尼茨[M]. 李素霞，楊富斌，譯.北京：中華書局，2014:1.達·芬奇雖然是神壇上的天才，但他是一個人.金無足赤，人無完人.達·芬奇的任何一項工作似乎都沒有做全，沒有完整的系統，而且個別研究中丟三落四或者出現錯誤.他的手稿是他生前沒有來得及整理出版的初稿，因此這些瑕疵的存在是有情可原的，這些絕不會沾污他的偉大，也許會點綴他人生的足跡.

(續完)