例談復雜函數的化簡求導

陳以能

【摘要】對于某些復雜函數，直接用求導法則去求導是較困難的，如果把函數化簡再求導，則可以簡化運算過程關鍵詞：函數求導 復雜函數 化簡

導數作為初等數學與高等數學的重要銜接點，在這些年高考中有著重要的體現。熟練掌握函數的求導方法不單可以提升解題速度和正確率，提高高考成績，還可以為高等數學學習打下良好基礎。初等函數的求導一般是直接利用函數的四則求導法則以及復合函數的求導法則去求導。但對于某些比較復雜的函數，如果直接套用求導法則進行求導，會使求導過程繁瑣冗長且易出錯。所以在對復雜函數進行求導時，要仔細分析函數解析式的結構特征，如果可以將原函數進行合理變形化簡，則應該先轉化為較易求導的結構形式再求導數，這樣則可以大大的減少運算步驟。下面我通過具體的例子來介紹幾種常見函數形式的先化簡再求導方法。

一、原函數是連乘形式，可展開再求導

例1：求函數 的導數

分析：常規解法是利用積的求導法則進行求導，但由于是連乘，要運用兩次積的求導法則運算，這樣操作計算量大容易出錯。而先根據多項式乘法展開，再進行求導，就顯得簡單多了。

解：

小結：一般地，如果函數的解析式為連乘形式，可以考慮將解析式展開多個代數式的和差形式后再來求導，這樣就可以將應用多次積的求導法則求導變成簡單的和差求導法則求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，而且還不容易運算出錯。

二、原函數是分式形式，可去分母再求導

（一）分子每項都與分母有公因子的，可以裂項再求導

例2：求函數 ?的導數

分析：常規解法是利用商的求導法則進行求導，但由于商的求導公式比較長，會使求導過程繁瑣冗長而且易出錯。仔細分析函數解析式的結構特征，可發現原函數是一個分式形函數。將解析式進行裂項變形，轉化為多項式結構形式，這樣就可以簡化求導運算過程。

解：

（二）、原函數是根式形式，可有理化再求導

例3：求函數 ?的導數

分析：常規解法是利用商的求導法則進行求導，但若觀察該解析式分母含有根式，可先通過分母有理化加以化簡，進而再求導，就可以大大簡化求解過程

解：

小結：一般地，如果函數的解析式整體為分式，可以考慮將解析式去分母再求導，這樣就可以將商的求導法則求導變成簡單的和差求導法則求導，這樣可以減少計算量，優化運算過程。

三、原函數是三角形式，可恒等變化再求導

例4：求函數 的導數

分析：如果直接求導，則需要利用積的求導法則、三角函數求導公式以及復合函數求導來處理，計算量非常大并且容易出錯。先恒等變形再求導就容易多了。

解：

小結：由于三角函數恒等變形比較方便，而且學生也對三角恒等變換比較熟悉，所以如果見到比較復雜的三角函數類型的函數求導，在求導前利用三角恒等式將函數先化簡，然后進行求導，可以減少運算量。

原函數是對數形式，可拆開或者合并再求導

例5：求函數 的導數

分析：如果直接求導，要用到對數的導數公式和復合函數的求導法則，相當復雜。而先根據函數特點，利用對數運算法則將真數相乘后再求導，就很簡單了。

解：

例6：求函數 的導數

分析：如果直接求導，要用到對數的導數公式和商的求導法則以及復合函數的求導法則。而先根據函數特點，利用對數運算法則將真數除化為對數相減再求導，就很簡單了。

解：

小結：由于對數函數的運算法則可以將真數拆分或化為相乘形式，在求導前可以考慮將函數先變形處理，減少運算量。

總之，在復雜函數求導的時候，一定要養成分析函數解析式結構特征的習慣，主要可不可以可以將原函數進行合理變形化簡，切忌盲目計算，以免計算量加大的同時出錯的機率也增大。

參考文獻：

[1]丁家泰 ?微積分解題方法[M] 北京師范大學出版社，l982.

[2]萬東 ? 函數求導運算的方法與策略[J] ? 福建中學數學， 2017（3）