淺談高等數(shù)學與高中數(shù)學的區(qū)別和如何有效學習高等數(shù)學

皮曉瑞

摘 要：高中數(shù)學與高等數(shù)學之間，有著銜接困難的問題。問題主要存在于高考結(jié)束后，高中生踏入大學校園生活，尤其是文科類學生在學習高等數(shù)學有吃力的感覺。針對高中數(shù)學的學習方法，能否適用于高等數(shù)學還有如何改變學習習慣，提出個人的建議和做法。并且在學習高等數(shù)學的過程中，微積分的計算屬于基本要求掌握且重要的章節(jié)，是高等數(shù)學金字塔體系中的重要一環(huán)。所以當我們理解透徹微積分的計算后，便能更加有效地學習好高等數(shù)學。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學; 高等數(shù)學; 文科生; 微積分

中圖分類號：G644.5? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ?文章編號：1006-3315（2021）3-118-002

2019年高考結(jié)束，我們進入大學開始新的學習。通過一個學期的學習，再去掉軍訓的時間差不多只有三個月的學習時間。大一上學期我們只是基本了解到高數(shù)的基本內(nèi)容是函數(shù)。到了大一下學期的時候，由于疫情的影響，我們只能通過上網(wǎng)課的方式來學習高數(shù)，并且在大二下學期中主要重點學習不定積分和定積分的章節(jié)。

在高中我們學習數(shù)學的時候，涉及的內(nèi)容非常廣泛，總共有五本必修和三本選修書。在函數(shù)這一塊，高中數(shù)學學習的是初等函數(shù)，包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和經(jīng)過有限次四則運算和復合運算得來的。而高等數(shù)學，我們學習的內(nèi)容主要就是函數(shù)，所以高中數(shù)學函數(shù)內(nèi)容學好了，就是大學高等數(shù)學學好的基礎(chǔ)。很多同學覺得高數(shù)不是很容易學進去，實際上這個門檻就在于高中數(shù)學關(guān)于初等函數(shù)的基礎(chǔ)沒有打扎實，對初等函數(shù)的性質(zhì)沒有很熟悉，因此在一開始學習和做題目就感到困難。

在此我們再次熟悉高中數(shù)學關(guān)于初等函數(shù)對于大學高數(shù)函數(shù)銜接的相關(guān)定義。對于冪函數(shù)，形如y=xa（a為有理數(shù)）的函數(shù)，在高等數(shù)學中，其a除了有理數(shù)還可以是任意實數(shù)或復數(shù)。對于指數(shù)函數(shù)，形如y=ax（a[>0]，a[≠1]）的函數(shù)，應用到e值時，為y=ex，這里的e是數(shù)學常數(shù)，近似等于2.718281828。對于對數(shù)函數(shù)，它的形式為y=logaX（a[>0]，且a[≠1]），與指數(shù)函數(shù)是互為反函數(shù)的關(guān)系。那么何為反函數(shù)呢？其定義是反函數(shù)X=f-1（y）的定義域、值域，分別是函數(shù)y=f（x）的值域、定義域。簡單來說，就是兩函數(shù)的值域和定義域互換，有不同的表達函數(shù)，具有可逆性。同時，我們所知的三角函數(shù)與反三角函數(shù)也是反函數(shù)的關(guān)系。對于三角函數(shù)，有正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx這三種常用三角函數(shù)，而到了大學，我們還需要學習正切函數(shù)y=tanx，余切函數(shù)y=cotx，正割函數(shù)y=secx和余割函數(shù)y=cscx。還有反三角函數(shù)的反正弦函數(shù)y=arcsinx、反余弦函數(shù)y=arccox（-1[≤x≤1]，0[≤y≤Π]）、反正切函數(shù)y=arctanx、反余切函數(shù)arccotx（-[∞≤x≤+∞]，0[≤y≤Π]）反正割函數(shù)y=arcsecx、反余割y=arccscx。這些函數(shù)在高中階段并沒有要求我們掌握，而大學高數(shù)課堂上老師也會因為這是高中內(nèi)容而不去講述。因此產(chǎn)生了知識空白，需要我們自己去自主補充學習，如果不去掌握，學習高數(shù)就開始變得困難。而在高數(shù)課本同濟7版中，附屬頁面有詳細說明其性質(zhì)，我們可以由此掌握。

在學習上，高中數(shù)學和高等數(shù)學是有很大的不同。高中數(shù)學主要講究的是對各類題型的掌握和熟練，需要我們?nèi)ァ八㈩}”來“積累套路”，并且高中數(shù)學知識的概念是比較簡單的，大多數(shù)都是淺嘗輒止。因為本人是文科生，高中學的是文科數(shù)學，在內(nèi)容上比理科數(shù)學少了一些，相對來說難度也低了一些。所以在學習方法上就是，通過記憶力記住公式，然后學會套用運用解題。簡單來說就是“題海戰(zhàn)術(shù)”。通過大量做題來達到熟練題型的目的，思維十分單一，這是應試考試的學法。

高中數(shù)學的學習習慣對我們在大學學習高數(shù)也有影響。在高三階段時，文科生背誦方面的能力較好，在學習數(shù)學的時候，有部分同學是有通過背題來掌握題類的習慣。這種方式在基礎(chǔ)題方面有效，是因為基礎(chǔ)題的變通性較弱，并且題型比較固定，因此在背誦后，可以通過步驟拿分掌握相關(guān)類型的題目。而在高等數(shù)學的學習中，基礎(chǔ)題似乎只存于能直接使用相關(guān)公式解出的題，這種背誦題目的習慣在面對高數(shù)需要技巧性強或者思考難度較高的題目，就不適用了。通常來說文科生的邏輯思維比理科生差，對公式的掌握和熟悉顯然是理科背景的同學更加老到，因此文科生在高數(shù)的學習中就比較受阻了。在此，我根據(jù)自己的學習經(jīng)驗，提出學習高數(shù)的方法供同為文科生的同學參考。我們在學習的時候，看書、做題和思考是通用法則。而在看書這方面，不必苛求理解，可以利用我們背書的天賦，先熟悉公式，在心中對公式定理有個大概的印象。最后再去看公式是如何推導出來，了解公式的產(chǎn)生和證明，有益于我們做題時對公式能夠靈活的運用。有句老話說，“書讀百遍，其義自見”在此也適用。所以文科生的學法相對枯燥無味，但堅持也是我們的韌性所在。

而到了大學階段，高等數(shù)學最主要也是最為核心的就是極限思想。如果我們沒有理解好極限思想，后面的學習也很難繼續(xù)展開。所以要求我們改變死記硬背的習慣，要多思考為什么，學會提出問題，我們才能更好的解決問題。因為高等數(shù)學對函數(shù)的學習是不斷深入和拓展的，而極限則是基本要求。并且知識概念都很抽象化，還有許多我們不熟悉的符號，很難去形象表達，需要我們?nèi)フJ真思考和讀懂這些概念。最后，高等數(shù)學的知識體系就像一座金字塔，最下面是極限，然后環(huán)環(huán)相扣，后一章的內(nèi)容一般都會用到前一章的內(nèi)容。同時每一章的公式也是特別的多，定義定理等也是十分之多，需要我們記憶的內(nèi)容也就更多了。

我們在學習高等數(shù)學的時候，對一個知識點的掌握，一般可以通過去弄通經(jīng)典例題，來深刻體會和掌握知識點。我在學習不定積分和定積分時，是先去讀通了它的概念表達了什么，首先是它們的關(guān)系是什么：定積分是一個數(shù)，而不定積分是一個表達式，它們不過是在數(shù)學邏輯上存在一個計算關(guān)系。不定積分其實就是一個函數(shù)的導數(shù)的形式，然后它只給你這個導數(shù)的表達式子，我們需要通過這個式子，去求出原來的這個函數(shù)，因為有許多函數(shù)求導之后可能是相同的式子，比如3x+1和3x，他們求導后都是3，所以這個求導后的式子就是不定的，因為他們之間差了常數(shù)，如果我們確定了這個常數(shù)，那么我們就可以確定了這個式子，那么這個式子就是定積分了。

我們在做題的時候也要掌握好面對不定積分和定積分的方法。對于不定積分來說，方法有直接積分法、第一換元積分法、第二換元積分法和分部積分法。直接積分法需要我們對積分表掌握熟悉才能使用。對于后面的方法，在這我舉例幾個例題來演示下如何運用。

直接積分法的使用：舉個例題：[（1-1x2）][xxdx]，首先我們需要看這個式子能否直接運用，不過我們看到?jīng)]有公式可以直接套用，這個時候我們就需要進行簡單的恒等變換，把式子變形成[（x34-x-54）dx]，最后直接通過公式得出答案[47x74+4x14+c]。這個方法主要需要我們對式子的細心觀察和對公式要足夠熟悉。不然我們這個方法使用起來也是挺困難的。

第一換元積分法：其實這個方法就是湊微分法。如[f（x）dx]，我們要先湊成[g[φ（x）]φ'（x）dx]，然后令[φ（x）=u]，我們就可以得到[g（u）du]，然后求出G（u）+c，最后還原回來，就得到G[[φ（x）]]+C。舉個例子：[tanxcosxdx]。我們把tanx拆開得到[sinxcosxcosxdx]，然后變成[-dcosxcosxcosx]，得到-[（cosx）-32dcosx]，最后求出答案是[2cosx+C]。我們做題的關(guān)鍵就是把例題本來的元素x，換成了元素cosx，這樣方便我們更迅速地去做題。湊成了cosx的微分，讓我們計算變得更加簡便和輕松。

第二換元積分法的核心就是：設(shè)一個代換的元素，然后這個元素是可以單調(diào)可導的，并且這個元素的導數(shù)不能等于0.這個做法的關(guān)鍵就是我們要如何去選擇代換的元素，讓我們?nèi)グ蔁o理式的積分化成有理式的積分，通常我們是用于消去根號，然后使得我們的計算更簡便。

分部積分法：這個方法的公式是[uv'dx=uv-u'vdx]。舉個例子：[x3exdx]。我們先變形成[x3dex]，再利用公式得出[x3ex-3x2dex]，然后再對后者用一次公式等到[x3ex-3x2ex+6xdex]，最后得到答案是[x3ex-3x2ex+6xex-6ex+C]。這個方法就是如何確定u和v'，當我們確定好了v'是[ex]，就可以更加方便地得出答案，因為[ex]的導數(shù)就是它本身，對于我們計算更加簡單，所以選取它。我們計算定積分的時候，首先我們需要明白牛頓-萊布尼茲公式，是告訴我們一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間ab上的定積分，是等于它任意一個原函數(shù)在區(qū)間上的增量。公式為[abf（x）dx=F（b）-F（a）=F（x）ab]。在此舉個例題，[0Π2（2cosx+sinx-1）dx]，通過積分表可以得到2[sinxΠ2][0-cosx][Π2][0-xΠ2][0]，再根據(jù)其公式的意思，分別把上下限的數(shù)值代入相應的函數(shù)相減，再把三個函數(shù)結(jié)果值相加，得到3-[Π2]。這就是公式的基本思想和應用。不過定積分也是經(jīng)常用到換元積分法和分部積分法，對于換元積分法，首先要理解定積分的換元公式要滿足的條件，需要f（x）函數(shù)在區(qū)間ab內(nèi)可連續(xù)，換元后的函數(shù)在區(qū)間αβ上是單值的和有連續(xù)的導數(shù)，所以公式為[ba（x）dx=αβf[φ（t）]φ'（t）dt]。在此舉個例題，[0Π2cos5xsinxdx]，首先我們觀察例題發(fā)現(xiàn)，cosx是高次，因為我們需要更換cosx，減少復合函數(shù)的運算量，所以有令t=cosx，那么dt=-sinxdx，又由定積分的上下限分別推出x=[Π2][?]t=0，x=0[?]t=1。那么原式=-[10t5dt=t6610=16]，這里由于前面有個負號，因此積分上下限調(diào)換過來抵消掉。在此我們需要注意到一個容易錯漏的地方，在換成新自變量t的時候，我們需要把積分的上下限也相應的做出改變。同時，定積分不需要像不定積分一樣變換為原來自變量x的函數(shù)，只用在新變量下，帶入原來表示t的函數(shù)的式子進行積分上下限的相減就行了。定積分的分部積分法則和不定積分一樣計算。公式為[abudv=[uv]ba-abvdu]。舉個簡單的例題，[012arcsinxdx]。令u=arcsinx，則du=[dx1-x2];dv=x，則v=x。依照公式得出式子[[xarcsinx]12][0-012xdx1-x2]對于后一個式子變形得到[01211-x2d（1-x2）]。最后上下限代入整個式子運算得到答案為[Π2+32-1]。我們要學會運用這兩種方法來解決這兩種積分，這可以幫助我們更有效積累做題的經(jīng)驗。不定積分和定積分是我們攀登高數(shù)山峰途中遇到的第一道門檻，只要我們在跨過這道門檻后，我們就會擁有信心，迎接接下來章節(jié)的挑戰(zhàn)，而在這其中學習到的方法，會使我們后續(xù)章節(jié)學起來也會游刃有余。

最后對于我們在大學如何更好的學習高等數(shù)學，從我的經(jīng)驗看來，其實上課這個時間段必須利用好，不能覺得老師講的太簡單就不用心聽課，然后下來自己突擊一兩章也能考好，這會是個留有后患的問題——你需要培養(yǎng)自己盡快適應不同老師講課的能力，不能沉浸在之前高中時候數(shù)學老師督促我們學習的狀態(tài)。我們在疫情期間一天的大多數(shù)時間都是上網(wǎng)課，好好利用起來上課的時間，不管能聽懂多少都要盡量跟下來，不能覺得自己只要下課補回課堂知識就行了。然后就是老師上課讓做的例題，要去仔細思考和做題，老師讓我們?nèi)プ龅念}目都是這個知識點的經(jīng)典運用，我們想學習一個新東西和要想掌握新東西，最好的方法就是去用它。所以老師當堂布置的題一定要抓住機會去練，最后嘗試用自己的語言去翻譯它，我們的知識點就會更加掌握?？梢哉覚C會教別人，教別人做題也是在鞏固自身所學的知識。只有打好基礎(chǔ)，我們學習高數(shù)才會比較輕松和有效。也可以為以后考研打下基礎(chǔ)。其實如果我們現(xiàn)在有同學沒有認真聽課的話，想追上來，就會是一個苦功夫了。所以有效學習高數(shù)應該做好的心理準備是，不蛻一層皮是學不好的。但是日積月累的作用是令人震撼的。只有靜心去學習高數(shù)和向別人求助，堅持和努力我們才能有效學習好高數(shù)。

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